4 (Лекции по математическому анализу)

Глава 2. ДифференцированиеП 2.1 Понятие производной] y  f ( x )  X , возьмём x0  X и x0  x  X получим приращениеy  f ( x0  x)  f ( x0 )О1 Производной функции y  f ( x ) в (.) x0 называется предел при x  0отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (приусловии, что этот lim  ).Обозначение y , y( x0 ), f ( x0 ).f ( x0  x)  f ( x0 )y limx 0 xx 0xf ( x0 )  limИногда наз. конечной производной.Пример.Найти y y  f ( x)  x 2 в точке x  x0y  f ( x0  x)  f ( x0 )  ( x0  x) 2  x0 2  x0 2  2 x0 x  (x) 2  x0 2  2 x0 x  (x) 22 x x  (x) 2y lim 0 2 x0x  0 xx  0xlimy  f ( x0 )  2 x0П. 2.2 Геометрический смысл производнойS – касательная линияk  tg0lim  ( x )   0x 0tg ( x ) y f ( x0  x )  f ( x0 )xx ( x )  arctglim arctgx 0yxyy arctg lim arctgf ( x0 )x 0 xxlim  ( x )  arctgf ( x0 )x 0tg0  f ( x0 ) - производная y  f ( x ) в (.)x0 равна угловому коэффициентукасательной к y  f ( x ) в точке Мп.2.3 Физический смысл производнойПусть y описывает закон движения материальной точки М по прямой линииx  x1  x0 , x1 - путь, y  f ( x1 )  f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 )y- средняя скорость (vср )xy- мгновенная скорость в (.) x0 (vмгн )x  0 xlimО2 Правой (левой) производной функции y  f ( x ) в (.) x0 называется правый(левый) пределyпри x  0 (если lim  )xyyf  ( x )  lim( f  ( x )  lim) 0 x0 x  0 x0 xп.

2.4 Понятие дифференцируемости функции в данной точкеО3 Функция y  f ( x ) называется дифференцируемой в точке x0 , еслиприращение y в этой точке можно представить в видеy  Аx  (x)x,A – число (x) - функция аргумента x , являющаяся б.м. при x  0 , т.е.lim (x)  0x 0Теорема 1.Для того, чтобы функция y  f ( x ) была дифференцируема в (.) x0 ,необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечнуюпроизводную.□ НеобходимостьПусть y  f ( x ) дифференцируема в (.) x0 , т.е. y  Аx   (x)x │: xy А   (x)xlimx 0y lim ( А   (x))  А => f ( x0 )  Ax x0ДостаточностьПусть конечнаяy f ( x0 )x 0 xf ( x0 ) , limПусть f ( x0 )  A ,  (x) y А - б.м. при x  0 .

Следовательно,xy  Аx   (x)x , где lim  ( x)  0x  0∎Операцию нахождения производной называют дифференцированием.п. 2.5 Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывностиТеорема 2.Если y  f ( x ) дифференцируема в данной точке x0 , то она и непрерывна вэтой точке.□lim y  А lim x  lim  (x) lim x  0 , что означает непрерывность функцииx 0x 0x 0x 0y  f ( x ) в (.) x0 (О3 непрерывности).∎Обратно неверно. Функция может быть определённой в (.), но не бытьдифференцируемой ( y  x )п. 2.6 Определение и геометрический смысл дифференциалаФункция дифференцируема в (.) x0 , т.е.

y  Аx   (x)xО4 Дифференциалом функции y  f ( x ) в (.) x0 называется главная, линейнаяотносительно x , часть приращения функции в этой точкеdy  Axилиdy  f ( x0 )dx => f ( x0 )  dydxS – касательная в (.)Мdy  NQ - приращение“ординаты касательной” кграфику функцииPQ  y - приращение“ординаты самой функции”Иногда1 1Пример:y  dy2f ( x)  x , y  x0 x  x0  dyx0 x  x0  ( x )x  ( limx 0Заменяемx0 x  x0( x0 x)( x0 )1)x  ( lim)x xx 0 x( x x  x )x2x000x   , x0 1п. 2.7 Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частногоТеорема 3.Еслиu  u( x) и v  v( x)дифференцируемы в (.)x, то +, -, ×, ÷ такжедифференцируемы в этой (.) и имеют формулы:uv uv(u  v)  u  v , (uv)  uv  uv , (u ) vv2Таблица производных1)2)3)4)5)6)7)(С )  0( xn )  nxn11(loga x)  loga exa x  a x ln a1cos 2 x19) (ctgx)  sin 2 x110) (arcsin x) 1 x 2111) (arccos x)  1 x 2112) (arcctgx)  1 x 28)  ln x   1x(sin x)  cos x(cos x)   sin x(tgx) п.

2.8 Правило дифференцирования сложной функцииТеорема 4.Еслиx   (t )имеет производную в (.) t , а функция0производную в соответствующей точкеx0   (t0 ) ,то сложная функцияf ( (t )) имеет производную в (.) t0 и справедлива формула:y(t0 )  f ( x0 ) (t0 )□ Т.к. y  f ( x) дифференцируема в (.) x0 , то приращениеy  f ( x0 )x   (x)x │: t , lim  (x)  0x 0yxx f ( x0 )  (x)tttx xlim   (x)   lim  (x) lim 0 (t0 )  0t 0t0t0t t∎Примеры:1)y  earctgxy  f ( x) имеетy  eu , u  arctgx1arctgx 1y( x)  y(u)u( x)  eue1 x 21 x 22)y  tg 2 x 2 1y  u2 , u  tgv , v  w , w  x2 1y( x)  y(u)u(v) v(w)  w( x)  2u1111(2 x  0)  2tg x 2 12x2cos v 2 wcos 2 x 2 1 2 x 2 1.