3 (Лекции по математическому анализу)

П 7 Понятие непрерывности функцииО1 Функция f(x) называется непрерывной в (.)x0, если предел функции и еезначение в этой (.) равны, т.е. limx→0 (x) = f(х0)Или limх→х0 (х) = (limx→х0 х) , т.е. для непрерывной функцииможно переставить знак функции и знак предела.О2 ( − ) Функция f(x) называется непрерывной в (.) (х0) если:∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀х ∈ Х, |х − х0 | < δ: |(х) − (х0 )| < Если limх→х0+ (х) = (х0 ) (limх→х0+ (х) = (х0 )), то функция f(х)называется непрерывной в (.) х0 справа (слева) или непрерывной в точке.Представим в другом виде lim(х−х0 )→0 [(х) − (х0 )] = 0∆х = х − х0 -приращение аргумента∆у = (х) − (х0 ) – приращение функции в (.) х0∆у = (х0 + ∆х) − (х0 )О3 Функция называется непрерывной в (.)х0, если ее приращение в этойточке является бесконечно малой функцией при ∆х → 0Теорема 1(арифметические действия)Пусть функции g(x) и f(x) непрерывны в(.) x0. Тогда функции f(x)±g(x), f(x)*g(x)и f(x)/g(x) также непрерывны в этой точке (g(x)≠0)ПримерПоказать, что функция y = sin непрерывна в любой точке x.∆у = sin( + ∆) − sin ∆у = 2cos ( + (lim∆→0 sin(∆2∆ ∆2 2∆2sin( )) = lim∆→0 (∆∆)) ∗ sin( )22) = lim∆→0∆2= 0 =>функциянепрерывнаП.8 Классификация точек разрываО1 Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в (.)x0 неявляется непрерывной. Разрыв первого родаТочка x0 называется точкой разрыва 1ого рода функции f(x), если в этой (.)f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределыlim (х) ≠ lim (х)х→х0+х→х0− Разрыв второго родаТочка x0 называется точкой разрыва 2ого рода функции f(x), если в этой (.)f(x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов илихотя бы один из односторонних пределов ∞Примерf(x)=1/x, x0=0 – точка разрыва второго рода11limх→х0+ = +∞; limх→х0− = −∞О2 Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на [a;b], если онанепрерывна во всех внутренних точках [a;b], за исключением, быть может,конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1ого рода и, кроме того,имеет односторонние пределы в (.) a и в (.) b.П.9 Понятие сложной функцииО1 Если на некотором промежутке Х определена функция z=φ(x) смножеством значений Z, а на множестве Z определена функция y=f(z), тофункция y=f(φ(x)) называется сложной функцией от х, а переменная z –промежуточной переменной сложной функции.Примерy=sin(x2+1) – сложная функция, определенная на Хy=f(z)=sin z, z=φ(x)=x2+1Теорема 1Пусть функция z=φ(x) непрерывна в (.)х0, а функция y=f(z) непрерывна в (.)z0=φ(x0).

Тогда сложная функция y=f(φ(x)) непрерывна в (.)х0.Доказательство:Возьмем из Х любую последовательность точек:х1, х2, х3… хnсходящуюся к (.)х0. Тогда в силу непрерывности z=φ(x) в (.)х0 имеем:limn→∞ zn = limn→∞ φ(xn ) = φ(x0 ) = z0 , то есть последовательность z1, z2,z3… zn, сходящаяся к (.) 0 . В силу же непрерывности f(z) в (.) z0 получаемlimn→∞ f(zn ) = f(z0 ), то есть limn→∞ f(φ(xn )) = f(φ(x0 )).Следовательно, предел функции f(φ(x)) в (.)х0 равен ее значению в этой (.),что и доказывает непрерывность сложной функции f(φ(x)) в (.)х0.∎П.10 Понятие обратной функцииО1 Будем говорить, что функция f(x) не убывает (не возрастает) намножестве Х, если для любых х1, х2∈Х, удовлетворяющих условию х1<х2,справедливо неравенство f(х1) ≤ f(х2) (f(х1) ≥ f(х2))Неубывающие и невозрастающие функции объединяют общим названием –монотонные функции.Если х1<х2 и f(х1) < f(х2) (f(х1) > f(х2)), то функция f(x) называется возрастающей(убывающей) на множестве Х.

Возрастающие и убывающие функцииназываются строго монотонными.О2 Пусть Х и У – некоторые множества и пусть задана функция f, т.е.множество пар чисел(х,у), (х∈Х, у∈У), в котором каждое число х входит в однуи только одну пару, а каждое число у, по крайней мере, в одну пару. Если вкаждой паре этого множества числа х и у поменять местами, то получитсямножество пар (у,х), которое называется обратной функцией к функции f.Обозначается х=φ(у).