2 (Лекции по математическому анализу)

П.4. Предел функции4.1 Предел функции при x→x 0] f(x) ∈ X и (.)x 0 ∈ X или x 0 ∉ X.Последовательность: x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …Числовая последовательность: f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ), …, f(x n )Ø1 (На языке последовательностей, по Гейне) Число A называется пределом функции f(x)в (.) x=x 0 (x→x 0 ), если для любой сходящейся к x 0 последовательности x 1 , x 2 , x 3 ,…, x n … значений аргумента x, отличных от x 0 , соответствующаяпоследовательность f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ), …, f(x n ) значений функции сходится кчислу A.lim f(x) = A .x→x0Примеры 1) f(x)=c=constf(x n )=c в каждой (.) есть предел, lim f(x) = cx→x02) f(x)=xf(x n )=x n , lim f(x) = lim x = f(x0 ) = x0x→x03)f(x)=x2 +x−1x−1x→x0, f(x n ) при n→ ∞2lim f(x0 ) = limn→∞n→∞x2n +xn −1xn −1=( lim xn ) + lim xn −1n→∞n→∞lim xn −1= ∞n→∞Ø2 (На языке ε- δ, по Коши) Число A называется пределом функции f(x) в (.) x=x 0(x→x 0 ), если для любого числа ε>0 существует число δ>0 такое, что для всехx∈X, x≠x 0 , удовлетворяет неравенству |x - x 0 |<δ, выполняется неравенство|f(x) – A| < ε.Или ∀ε>0 ∃δ>0, ∀x∈X, x≠x 0 , |x - x 0 |<δ: |f(x) – A| < εОпределения предела функции Ø1 и Ø2 эквивалентны.4.2 Предел функции при x→x 0 - и при x→x0+.Ø3 Число A называется правым (левым) пределом функции f(x) в (.)x 0 , если длялюбой сходящейся к x 0 последовательности x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , элементы x nкоторой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2)сходится к A.lim→0+ () = (lim→0 − () = )Или∀ ε >0 ∃δ>0 ∀x, x 0 <x<x 0 +δ: |f(x)-A|< ε справа∀ ε >0 ∃δ>0 ∀x, x 0 -δ<x< x 0 : |f(x)-A|< ε слеваПример: = 1, > 0f(x) = sgn x = { = 0, = 0 = −1, < 0lim→0+ = 1 , lim→0− = −1Теорема 1.

Функция f(x) имеет в (.) x 0 предел тогда и только тогда, когда вэтой точке существует как правый, так и левый пределы, и они равны. В этомслучае предел функции равен односторонним пределам.□ ] lim→ − () = lim→ + () = . Тогда из Ø3⇒ ∀ε>0 ∃δ >0 и δ >0 такие,0102что ∀x: x 0 -δ 1 <x< x 0 и x 0 <x<x 0 + выполняется неравенство |f(x)-A|< ε. Возьмёмs=min {δ 1 , δ 2 }. Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству |x-x 0 |<δ, x≠x 0будет выполнятся |f(x)–A|<ε, т.е.

lim→0 () = .Обратно, ] lim→0 () = . Тогда, согласно определению предела функции в(.)x 0 ∀ε>0 ∃δ>0 такое, что ∀x: |x-x 0 |<δ, x≠x 0 |f(x)–A|<ε. Тем самым, как дляx 0 -δ<x<x 0 , так и для x 0 <x<x 0 +δ, |f(x)–A|<ε. А это по Ø3 и естьlim→0− () = lim→0 + () = .■4.3 Предел функции при x→ ∞, x→ +∞, x→ −∞Ø4 Число A называется пределом функции f(x) при x→ ∞, если для любойбесконечно большой последовательности x 1 , x 2 , x 3 , …, x n значений аргументасоответствующая последовательность f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ), …, f(x n ) значенийфункции сходится к A.lim→∞ () = Ø5 Число A называется пределом функции f(x) при x→ +∞ (x→ −∞), если длялюбой бесконечно большой последовательности значений аргумента,элементы x n которой положительны (отрицательны), соответствующаяпоследовательность значений функции сходится к A.lim→+∞ () = (lim→∞ () = )Пример f(x) =1, lim→∞ () − ? ;1;1;11 2 3;…;1…1lim→+∞ = 0П.5.

Два замечательных предела5.1 Первый замечательный предел =→ (Доказательство самостоятельно посмотреть)Примеры 1)lim→01−cos = lim→02) lim→03) lim→0222 = lim→0= lim→05sin 422sin 1cos 22 = lim→0= lim→05/4= lim→0(sin 4)/(4)=sin 2limlim = 1 ∙ 0 = 02→01→0 cos 5/4lim→0 (sin 4)/(4)=1∙1=1=5/41= 1,255.2 Второй замечательный предел1 1lim→∞ (1 + ) = lim→0 (1 + ) = (Доказательство самостоятельно изучить)Примеры 1) lim→0 (1 + )1⁄3 замена:11 = ,=[=lim+](1) =→∞ → 0 при → 02) lim→∞ (1 + ) = [ = 31 3] = lim (1 + ) =при → ∞ и → ∞→∞1 1 1 = lim [(1 + ) (1 + ) (1 + ) ] = ∙ ∙ = 3→∞3) lim→0log (1+)11= lim [ log (1 + )] = lim log (1 + ) =→0 →01= log [lim(1 + ) ] = log →0П.6.

Бесконечно малые и бесконечнобольшие функции6.1 Бесконечно малые функцииØ1 Функция f(x) называется бесконечно малой в (.) x=x 0 , если ∀ε>0 ∃δ>0:∀x∈X, x≠x 0 , |x - x 0 | <δ: |f(x)| <ε.Аналогично для при x→ ∞, x→ +∞, x→ −∞, x→x 0 -, x→x 0 +Теорема 1.

Для выполнения равенства lim→0 () = необходимо идостаточно, чтобы функция α(x) = f(x) – A была бесконечно малой при x→x 0 /6.2 Бесконечно большие функцииØ1 Функция f(x) называется бесконечно большой в (.) x=x 0 , если ∀ε>0 ∃δ>0:∀x∈X, x≠x 0 , |x - x 0 | <δ: |f(x)| >ε.Если f(x) >ε (f(x) <-ε), то пишут, что lim f(x) = +∞ ( lim f(x) = −∞), и говорят, чтоx→x0x→x0функция имеет в (.) x 0 бесконечный предел +∞(−∞).6.3 Сравнение бесконечно малых и бесконечнобольших функцийПравила сравнения бесконечно малых функций.1) Если ()→ ()= , то () – бесконечно малая функция более высокогопорядка, чем ().2) Если ()→ ()= ≠ ( − число), то () и () – бесконечно малыефункции одного порядка.3) Если ()→ ()= , то () и () – эквивалентные бесконечно малыефункции.4) Если ()→ ()= ≠ ( − число), то () – бесконечно малая функция n-гопорядка относительно ().Аналогичные правила для сравнений бесконечно малых функций при x→ ∞,x→ +∞, x→ −∞, x→x 0 -, x→x 0 + .Примеры 1) sin x и x при x→ 0sin →0= 1 эквивалентные2) sin3x и sinx при x→ → = (→ ) ()= →→ =Бесконечно малые одного порядка3) () = − , при x→ − →= →=(( ) →) =() является бесконечно малой функцией 2ого порядка поотношению к x 2 .При сравнении часто используют о («о малое»).

Если функция () –бесконечно малая в (.) x 0 более высокого порядка, чем бесконечно малая вэтой же (.) (), то записывается() = о(())Примеры 1) () =lim→0α(x)β(x)+; () =при x→ = lim (1 + ) = 1 эквивалентные бесконечно малые→02) α(x) = 2 + 4 ; β(x) = 3 − 2 при x→ ∞lim 2 +4→∞ 3 −24= lim1+ 22→∞ −2= lim1→∞ =0α(x) бесконечно большая более низкого порядка, чем β(x)3) α(x) = 4 + + 1 ; β(x) = 2 + 1 при x→ ∞lim 4 ++1→∞ ( 2 +1)2= lim 4 ++1→∞ 4 +2 2 +1=111+ 3 + 4lim 2 1→∞ 1+ 2 + 4=1() бесконечно большая второго порядка по отношению кбесконечно большой ()..