!1164 (Финансовая Математика, Ширшов Е.В., 2010)

Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик,А.Г. Тутыгин, Т.В. МеньшиковаФИНАНСОВАЯМАТЕМАТИКАРекомендовано Учебно-методическим объединениемпо образованию в области финансов, учета и мировой экономикив качестве учебного пособия для студентов,обучающихся по специальностям «Менеджмент»,«Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Финансы и кредит»,«Экономика и управление в отраслях лесного комплекса»Изданиепятое,переработаннноеМОСКВА2010идополненноеУДК 681.140ББК 65.26я73Ш64Эксперт:М.С.

Красе, проф. кафедры математического моделирования экономических процессовФинансовой академии при Правительстве РФ, д-р физ.-мат. наукРецензенты:П.Д. Андреев, доц. кафедры математического анализа и геометрии Поморского государ­ственного университета им. М.В. Ломоносова, канд.

физ.-мат. наук,В.А. Скрипниченко, проф. кафедры финансов, налогообложения и бюджета Всероссий­ского заочного финансово-экономического института, д-р экон. наукШиршов Е.В.Ш64Ф и н а н с о в а я м а т е м а т и к а : у ч е б н о е п о с о б и е / Е . В . Ш и р ш о в , Н.И. П е т ­рик, А.Г. Т у т ы г и н , Т.В. М е н ь ш и к о в а . — 5-е изд., п е р е р а б .

и д о п . — М . :К Н О Р У С , 2010. — 144 с.ISBN 978-5-406-00823-2Систематизированы методы количественного финансового анализа. Приведеныразличные методы и способы разнообразных финансовых и кредитных расчетов.Подробно рассмотрены методы начисления процентов, обобщающие характери­стики рентных платежей, методики определения эффективности краткосрочныхи долгосрочных финансовых вложений.Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических вузов, обучающихсяпо специальностям «Менеджмент», «Бухучет и аудит», «Финансы и кредит», «Эко­номика и управление в отраслях лесного комплекса» всех форм обучения.УДК 681.140ББК 65.26я73Ширшов Евгений ВасильевичПетрик Надежда ИвановнаТутыгин Андрей ГеннадьевичМеньшикова Татьяна ВикторовнаФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКАСанитарно-эпидемиологическое заключение№ 77.99.02.953.Д.003Э65.04.09 от 01.04.2009 г.Изд№ 2481.

Подписано в печать 12.02.2010. Формат 60x90/16.Печать офсетная. Гарнитура «TimesNewRoman».Усл. печ. л. 9,0. Тираж 2000 экз. Заказ № 1914.ООО «Издательство КноРус».129110, Москва, ул. Большая Переяславская, 46, стр. 7.Тел.: (495) 680-7254, 680-0671, 680-1278.E-mail: office@knorus.ru http://www.knorus.ruОтпечатано в полном соответствиис качеством предоставленных диапозитивовв ГУП «Брянское областное полиграфическое объединение»241019, г. Брянск, пр-т Ст. Димитрова, 40.ISBN 978-5-406-00823-2© Коллектив авторов, 2010© ООО «Издательство Кнорус», 2010СОДЕРЖАНИЕВведение6Раздел I.

Основные понятия финансовой математики71. Основные виды процентов1.1. Простые проценты1.2. Простые учетные ставкиЗадачи для самостоятельного решения1.3. Сложные проценты1.4. Непрерывные проценты2. Дисконтирование и его сущность2.1. Математическое дисконтирование2.2. Банковское дисконтирование2.3. Дисконтирование по сложной процентнойи по сложной учетной ставкамЗадачи для самостоятельного решения3. Эффективная ставка при начислении сложных процентовт раз в году4. Эквивалентность процентных ставок5. Средние процентные ставки6.

Доходность ссудных и учетных операцийс удержанием комиссионных7. Налог на полученные проценты8. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции9. Финансовая эквивалентность обязательств10. Консолидация платежей11. Аннуитеты (финансовые ренты)11.1. Годовой аннуитет11.2. Конверсия финансовых рент11.3. Консолидация рентЗадачи для самостоятельного решенияРаздел И. Практические приложения количественногофинансового анализа12. Методы погашения долгов7810121215i61717182021222326282933333539454749525212.1. П о г а ш е н и е долга равными срочными уплатами12.2. П о г а ш е н и е займа переменными выплатамиосновного долга .

. . . Г13. Ипотечные ссуды13.1. Стандартная ипотека13.2. Стандартная ипотека с неполным погашениемзадолженности и выплатой в конце срока остатка долга13.3. Н е с т а н д а р т н ы е ипотеки. Ипотека с ростом платежей(схема G P M — Graduated Payment Mortage)13.4. Ссуды с периодическим увеличением взносов(SRM — Step Rate Mortgage)13.5. Ссуда с залоговым счетом14. Потребительский кредит14.1. Погашение потребительского кредитаравными выплатами14.2.

Погашение потребительского кредитаизменяющимися суммами14.3. Сравнение коммерческих контрактов..14.4. Предельные значения параметровкоммерческих контрактов15. Вычисления по ценным бумагам15.1. Влияние купонной ставки на оценку облигации15.2. Зависимость оценки облигацииот среднерыночной ставки15.3. Определение доходности облигации15.4. Разновидности облигаций15.5. Доходы от акции15.6. Государственные краткосрочные облигации (ГКО)15.7.

Дополнительные характеристики облигации15.8. Риск и доходность портфельных инвестиций15.9. Актуарные расчеты565860606263656669.7070727579828283848689909497Задания к типовому расчету105Основные формулы109Контрольные тесты по финансовой математике114ПриложенияПриложение 1. Порядковые номера дней в годуПриложение 2. Коэффициент наращения для сложных ставокссудного процента к = (1 + i ) "и124126Приложение 3. Коэффициент дисконтированиядля сложных ставок ссудного процентаПриложениеПриложениеПриложениеПриложение4.5.6.7.£=1/(1+0"Коэффициент наращения аннуитета F V I F A .Коэффициент приведения аннуитета PVIFA.Таблица смертностиКоммутационные числаВВЕДЕНИЕВ любом из современных курсов экономики используется мате­матический аппарат.

Профессиональное занятие бизнесом требует,прежде всего, умения оценивать все возможные варианты финансовыхпоследствий при совершении любой сделки. Центральная проблема эко­номики — это проблема рационального выбора, для этого необходи­мы определенные знания в области финансовых вычислений, основан­ные на теории и практике количественного финансового анализа. Рольматематических методов в экономике постоянно возрастает.В первом разделе пособия рассмотрены основные понятия финан­сового количественного анализа, приведены параметры финансовыхвычислений — проценты, система процентных ставок, наращение про­центов, дисконтирование платежей, финансовая эквивалентность пла­тежей, влияние инфляционных процессов, консолидация платежей, ан­нуитеты, показана их взаимосвязь.Во втором разделе уделено внимание вопросам, относящимсяк количественному анализу разнообразных потоков платежей.

Рассмот­рены методы погашения долгов, ипотечное кредитование, операциис ценными бумагами, страхование.Все разделы пособия содержат типовые примеры, что облегчаетвосприятие теоретического материала и делает его доступным для са­мостоятельного освоения и применения в практической деятельностикак студентами, так и специалистами различных финансовых институ­тов.

Изложение материала построено от простого к сложному, что по­зволяет сделать правильный математический расчет в определеннойхозяйственной ситуации и сделать выбор.Пособие представляет интерес не только для студентов экономи­ческих вузов, бизнес-школ, колледжей, но и специалистов — сотруд­ников банков, инвестиционных компаний, пенсионных фондов и стра­ховых компаний.Раздел IОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ1. О С Н О В Н Ы Е В И Д Ы П Р О Ц Е Н Т О ВПроценты, процентные деньги — это абсолютная величина дохода(interest) от предоставления капитала в долг в любой ее форме: выдачассуды, покупка облигации, учет векселя, продажа товара в кредит и т.д.Проценты обозначаются буквой /. Величина полученного дохода опре­деляется исходя из:1) величины вкладываемого капитала Р;2) срока и, на который вкладывается капитал;3) размера и вида процентной ставки (обозначения г, d, j , f, о).Наращение основной суммы 5 происходит за счет присоединенияпроцентных денег к основному капиталу: S = Р +1.Коэффициентом наращения называется безразмерная величина,которая показывает, во сколько раз вырос капитал.Период начисления — это промежуток времени, за который на­числяются проценты.

Период начисления может быть разбит на интер­валы, по прошествии которых происходит начисление процентов.Существуют два способа начисления процентов: декурсивныйи антисипативный. При декурсивном способе проценты начисляютсяв конце каждого интервала начисления. Их величина определяется ис­ходя из предоставляемого капитала Р. Процентная ставка представляетсобой отношение суммы начисленного за определенный интервал до­хода (процентов) к сумме имеющегося капитала на начало данного ин­тервала. При антисипативном (предварительном) способе процентыначисляются в начале каждого интервала. Сумма процентных денег (до­хода) определяется исходя из наращенной суммы.

В этом случае про­центная ставка представляет собой отношение суммы дохода, выпла-чиваемой за определенный интервал, к величине наращенной суммы.Такая процентная ставка называется учетной (в широком смысле).При обоих способах начисления проценты могут быть либо про­стыми, либо сложными.1.1. Простые процентыВеличина процентной ставки определяется как i = — , где 1 —Гсумма процентов за год; Р — сумма капитала, предоставляемого в кре­дит. Процентная ставка выражается десятичной дробью.Для простых процентов доход за п лет:1 = 1 п.гНаращение основной суммы:S = P + I = P + Pin = Р(1 + in),где 1 + in = ка — коэффициент наращения.Когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, пери­од начисления равен отношению числа дней функционирования сдел­ки к числу дней в году К, т.

е.:Э«=-.В этом случае формула наращенной суммы примет вид:S = P(l +i~).На практике применяются три варианта расчета процентов с ис­пользованием временной базы К.1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (англий­ская практика). Продолжительность года К (временная база) равна365 (366) дням. Точное число дней ссуды определяется путем подсчетачисла дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. Для под­счета числа дней можно воспользоваться прил. 1.2. Обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом днейссуды (французская практика). Величина Э рассчитывается как в пре­дыдущем случае, а временная база принимается: К = 360 дн.3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды(германская практика).

В этом случае год делится на 12 месяцев по30 дней в каждом и временная база К = 360 дн.При точном и приближенном методах начисления процентов деньвыдачи и день погашения ссуды принимают за один день.Пример 1.1. Банк выдал кредит 50 тыс. руб. 15 января. Срок воз­врата кредита — 12 сентября. Процентная ставка установлена в размере10% годовых. Год невисокосный. Определить сумму, подлежащую возврату.Р е ш е н и е . Наращенную сумму долга 5, подлежащую возвра­ту, рассчитаем тремя методами.1. По формуле точных процентов с точным числом дней ссуды.Точное число дней ссуды определим по прил. I .

Порядковый номер 15января — 15, порядковый номер 12 сентября — 255. Точное число днейссуды: Э = 255 - 15 = 240 да.5 = 50 -(1 + 0,1 • ~ ) т 53,288 тыс. руб.3652. По формуле обыкновенных процентов с точным числом днейссуды:2405 = 50 (14-0,1- — ) = 53, 333 тыс. руб.J6U3. По формуле обыкновенных процентов с приближенным числомдней ссуды. Приближенное число дней ссуды: январь — 16 дней, фев­раль, март, апрель, май, июнь, июль, август — 30 х 7 дн., сентябрь — 12 да.Тогда:Э = 16 + 30 7 + 12 - 1 = 237 дн.;2375 = 50 • (1 + 0,1 • — ) « 53,292 тыс.

руб.Начиная с 2000 г. в нашей стране для реальных расчетов применя­ется английская практика (начисление точных процентов).Рассмотрим случай, когда на различных интервалах начисленияпроцентов применяются различные простые процентные ставки. Нара­щенная сумма на конец срока определяется следующим образом:т5 = Р(1 + цщ + i n22+ ... + i m )mm= P(l + £(=iгде i — ставка простых процентов в периоде t;(t — 1, т;п, — продолжительность периода;тП = £(=1Л, .i,n,) ,Пример 1.2. Контракт предусматривает следующий порядок начис­ления процентов: первый год — ставка 10%, в каждом последующемполугодовая ставка повышается на 1%.

Необходимо определить коэф­фициент наращения за два года.Р е ш е н и е . Находим коэффициент наращения:т*я- 1+1+0-1-1 +0,11-0,5+ 0,12-0,5 = 1,215.Обычно к наращению по простым процентам прибегают при выда­че краткосрочных ссуд (на срок до одного года) или в случае, когдапроценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачи­ваются кредитору.,На практике при инвестировании средств в краткосрочные депо­зиты прибегают к начислению процентов на уже наращенные в преды­дущем периоде суммы, т. е. происходит многоразовое наращение, име­нуемое реинвестированием, или капитализацией, процентов. В этом слу­чае наращенная сумма определяется по формуле:S = P{\ + i,n ){\ + i n )-..,{\x22+in)mm.Пример 1.3.