Мат. анализ, 1 часть; 1 семестр(1) (Все лекции в электронном виде), страница 9

Функции y  ck  x k ( k  0,1,..., n ) тоже непрерывны на R , какпроизведения двух непрерывных функций. Наконец, многочлен Pn ( x) непрерывен на R ,как сумма непрерывных функций.Теорема о непрерывности элементарных функций играет важнейшую роль длявычисления пределов. Действительно, именно из нее по определению непрерывностиследует, что если элементарная функция y  f ( x ) определена в точке x0 , тоlim f ( x)  f ( x0 ) , чем мы постоянно пользуемся при вычислении пределов, заменяяx  x0предел функции на ее значение в предельной точке (см.

лекцию 3). Например,tgxsin xsin x1lim lim lim lim 11  1 .x0 xx  0 x cos xx 0x0xcos xsin x1lim 1 , как первый замечательный предел, а lim 1 , поскольку значение этойx0x0xcos xфункции в предельной точке равно единице.49§3. Классификация точек разрыва.Опр. Пусть функция f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности точкиx0 . И пусть она непрерывна в любой точке этой окрестности, но не является непрерывнойв самой точке x0 . В этом случае, точка x0 называется точкой разрыва функции f ( x ) .При классификации точек разрыва, будем отталкиваться от второй формулировкиопределения непрерывности функции в точке:функция f ( x ) называется непрерывной в точке x0 , если существуют оба одностороннихпредела данной функции в этой точке, причемlim f ( x )  lim f ( x )  f ( x 0 ) .x  x0 x  x0 Выделим несколько случаев нарушения указанных условий.Опр. Если x0 – точка разрыва функции f ( x ) , но существуют (конечные) пределыlim f ( x )  f ( x 0  ) и lim f ( x)  f ( x0 ) ,x  x0 x  x0 точка x0 называется точкой разрыва первого рода.Можно выделить два подкласса таких точек разрыва.Опр.

Если f ( x0  )  f ( x0 ) , точка разрыва первого рода x0 называется точкойконечного разрыва (точкой скачка). При этом разность   f ( x0  )  f ( x0 ) называетсяскачком функции в точке x0.Пример точки конечного разрыва представлен на рис. 2 лекции 6.Опр. Если f ( x0  )  f ( x0 )  f ( x0 ) , в частности, если f ( x0 ) не определено, точкаразрыва первого рода x0 называется точкой устранимого разрыва.Рис. 1. Пример точки устранимого разрыва.Пример. Рассмотрим функцию f ( x ) sin x(рис.

1). Эта функция не определена вxточке x  0 . Но, как известно,sin xlim1x0x50sin xsin x lim 1 . По определению, x  0 – точка устранимогоx0xxразрыва для данной функции. Точка x  0 является точкой устранимого разрыва такжедля функциии, следовательно, limx 0 Рис. 2. Пример точки устранимого разрыва. sin x, x0f ( x)   x, 2, x  0график которой представлен на рис. 2.Разрыв называется устранимым, поскольку достаточно доопределить (переопределить)значение функции в одной точке и получится непрерывная функция (в случае точкиконечного разрыва, это невозможно).

Так функция sin x, x0f ( x)   x 1, x  0является непрерывной.Опр. Если хотя бы один из односторонних пределов lim f ( x )  f ( x 0  ) илиx  x0 lim f ( x)  f ( x0 ) не существует (в частности, равен ∞), то точка x0 называется точкойx  x0 разрыва второго рода.В частности, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности,точка x0 называется точкой бесконечного разрыва.11Так функции y  и y  2 имеют точку бесконечного разрыва x  0 (рис.

3, рис. 4).xxЗамечание. Точка разрыва второго рода не обязательно является точкой1бесконечного разрыва. Так для функции y  sinне существуют ни конечные, ниxбесконечные односторонние пределы при x стремящемся к нулю (так как не существуетни конечный, ни бесконечный предел функции sin x при x   ), и точка x  0 являетсядля этой функции точкой разрыва второго рода, но не точкой бесконечного разрыва, рис.5 Частота колебаний возрастает по мере приближения к точке x  0 как справа так и слева51Рис. 3. Пример точки бесконечного разрыва.Рис. 4.

Пример точки бесконечного разрыва.и стремится к бесконечности при x  0 . В результате, для того, чтобы достичь точкиx  0 , двигаясь вдоль графика (например, справа), пришлось бы преодолеть бесконечноечисло колебаний (пройти по бесконечно длинной кривой).Рассмотрим несколько примеров исследования функции на предмет наличия точекразрыва.Примеры.

Найти точки разрыва функции y  f ( x ) , исследовать их характер ипостроить эскиз графика функции вблизи точек разрыва.| x  1|1. y .x 1Возможная точка разрыва: x  1 , так как функция не определена в этой точке.| x  1|x 1lim lim 1.x 1 x  1x 1 x  1Действительно, при x  1 (в правосторонней окрестности точки x  1 ) | x  1| x  1 .| x  1|x 1lim  lim 1 .x 1 x  1x 1 x  1Действительно, при x  1 (в левосторонней окрестности точки x  1 ) | x  1| ( x  1) .52Рис. 5. Пример точки разрыва второго рода, не являющейся точкой бесконечного разрыва.Таким образом, x  1 – точка разрыва 1-го рода, конечного разрыва. Эскиз графика вблизиточки разрыва представлен на рис. 6.Рис. 6.

Эскиз графика функции y | x  1|вблизи точки разрыва.x 112. y  e x .Возможная точка разрыва: x  0 , так как функция не определена в этой точке.1lim e x   .x 0 Действительно, при x  0 11  (при x  0  0 ), а et   при t   .xx1xlim e  0  .x 0 11  (при x  0 0 ), а et  0 при t  xxt(представьте себе график функции y  e ).

Символ « 0  » означает, что функцияДействительно, приx 0531y  e x  0 больше нуля в малой левосторонней окрестности точки x  0 , т.е. график1входит в точку (0, 0) сверху (очевидно, что функция y  e x  0 на всей областиопределения).1Рис. 7. Эскиз графика функции y  e x вблизи точки разрыва.Таким образом, x  0 – точка разрыва 2-го рода, бесконечного разрыва. Эскизграфика вблизи точки разрыва представлен на рис. 7. Точка (0, 0) изображена в видепустого кружочка, чтобы подчеркнуть, что функция не определена в этой точке.§4. Свойства функции, непрерывной на отрезке.Теорема.

Если функция непрерывна на отрезке x  [a, b] , то она ограничена наэтом отрезке.Справедливость этой теоремы иллюстрируется рис. 8: m  f ( x)  M . Рис. 9демонстрирует, что если функция не является непрерывной, то она не обязательноограничена (на этом рисунке x0 – точка бесконечного разрыва). Рис. 10 демонстрирует,что даже если функция непрерывна на интервале (a, b) , а не на отрезке, то она необязательно является ограниченной на этом интервале (на рисунке lim f ( x)   ).x b Теорема. Если функция непрерывна на отрезке x  [a, b] , то она достигает на этомотрезке своего наименьшего ( m ) и своего наибольшего ( M ) значений.Справедливость этой теоремы демонстрируется рис.

8. Рис. 9 показывает, что еслифункция не является непрерывной, то она не обязательно достигает своего наименьшего инаибольшего значений. Рис. 10 демонстрирует, что непрерывности функции на интервалене достаточно для того, чтобы она принимала на этом интервале наименьшее инаибольшее значения.Теорема. Если функция непрерывна на отрезке x  [a, b] и принимает на границахэтого отрезка различные значения: f (a)  f (b) , то в точках интервала x (a,b) она хотябы один раз принимает любое значение, заключенное между ее значениями на границахотрезка: : f (a)    f (b), c  (a, b) : f (c )  (здесь для определенности предполагается, что f (a)  f (b) ).54Рис. 8.

Функция непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке.Рис. 9. Если функция не является непрерывной, то она не обязательно ограничена.Рис. 10. Если функция непрерывна на интервале (a, b) , то она не обязательно ограниченнана этом интервале.Справедливость этой теоремы демонстрируется рис. 11. Рис. 12 показывает, чтоесли функция не является непрерывной, то она не обязательно принимает в точкахинтервала (a,b) произвольно выбранное значение, заключенное между ее значениями на55границах отрезка [a, b] .

Рис. 13 демонстрирует, что непрерывности функции на интервале(a,b) не достаточно для того, чтобы она принимала в точках этого интервала любоезначение, заключенное между ее значениями на границах отрезка [a, b] .Рис. 11. Функция, непрерывна на отрезке [a, b] , принимает в точках интервала (a,b)любое значение, заключенное между ее значениями на границах отрезка.Если функция непрерывна на интервале (a,b), она не обязательно принимает вточках этого интервала любое значение, заключенное между ее значениями на границахотрезка (рис.

13).Следствие. Если функция непрерывна на отрезке [a, b] , а f(a) и f(b) имеют разныезнаки, то найдется точка с (a,b), в которой функция f(x) обращается в ноль: f(с)=0 (рис.14).Если функция не является непрерывной на отрезке [a, b] , то такой точки может ине быть (рис. 15).Рис. 12. Не непрерывная функция может не принимать в точках интервала (a,b)произвольно выбранное значение  , заключенное между ее значениями награницах отрезка [a, b] .56Рис. 13. Непрерывности функции на интервале (a,b) не достаточно для того, чтобыона принимала в точках этого интервала любое значение, заключенное между еезначениями на границах отрезка [a, b] .Рис.

14. Если функция непрерывна на отрезке [a, b] , а f(a) и f(b) имеют разные знаки, тонайдется точка с (a,b), в которой функция f(x) обращается в ноль: f(с)=0.Рис. 15. Если f(a) и f(b) имеют разные знаки, но функция f(x) не является непрерывной наотрезке [a, b] , то она может не обращаться в ноль внутри интервала (a, b) .57.