Мат. анализ, 1 часть; 1 семестр(1) (Все лекции в электронном виде), страница 8

Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки x0 называетсянепрерывной в этой точке, если:441) существует limf (x) ;2) существует limf (x) ;x  x0 x  x0 3) limx  x0 f ( x )  limx  x0 f ( x )  f ( x0 ) .Ещеодну(эквивалентнуюпредыдущим)формулировкуопределениянепрерывности можно дать в терминах приращений.Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x0 . Выберемкакое-нибудь значение x из этой окрестности и назовем разность x  x  x0приращением аргумента. Отметим, что приращение аргумента может быть какположительным, так и отрицательным.

Соответствующую разность y  f ( x)  f ( x0 )назовем приращением функции (рис. 3).Рис. 3. Иллюстрация понятия приращения функции.Опр. Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x0 если бесконечно маломуприращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращениефункции:{ f ( x)  C ( x0 )}  df {lim y  0} .x  0Эквивалентность этой формулировки определения непрерывности самой первойформулировке, очевидна из того факта, что x  0 тогда и только тогда, когда x  x0 , аy  0 тогда и только тогда, когда f ( x )  f ( x0 ) .Итак, в настоящем параграфе дано четыре равносильных формулировкиопределения непрерывности функции в точке.§ 2.

Понятие односторонней непрерывности.Рассмотрим функцию y  x . Бессмысленно говорить о том непрерывна ли она вточкеx=0, поскольку она определна только при x  0 . Однако можно ввести понятиеправосторонней непрерывности.Опр. Функция f ( x ) , определенная в правосторонней окрестности точки x0называется правосторонне-непрерывной в этой точке (непрерывной в точке x0 справа),если существует предел данной функции при x  x0  и он равен значению функции вточке x0 :lim f ( x )  f ( x0 ) .x  x0 Нетрудно видеть, что функция y  x является правосторонне-непрерывной в точке x0 .Аналогично определяется левосторонняя непрерывность.45Опр.

Функция f ( x ) , определенная в левосторонней окрестности точки x0называется левосторонне-непрерывной в этой точке (непрерывной в точке x0 слева), еслисуществует предел данной функции при x  x0  и он равен значению функции в точкеx0 :lim f ( x)  f ( x0 ) .x  x0 Теорема. Для того, чтобы функция f ( x ) была непрерывна в точке x0, необходимои достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке, как слева, так и справа.Справедливость этой теоремы очевидна из теоремы о связи двустороннего пределафункции с односторонними.§3. Арифметические операции над непрерывными функциями.Теорема.

Сумма функций, непрерывных в точке x0, есть функция непрерывная вэтой точке.Доказательство. Пусть функции f ( x ) и g ( x) , определенные в некоторойокрестности точки x0 непрерывны в этой точке. По определению непрерывности (перваяформулировка) это означает, что lim f ( x)  f ( x0 ) и  lim g ( x)  g ( x0 ) .x  x0x x0Значение функции  ( x )  f ( x)  g ( x ) в точке x0 очевидно равно  ( x0 )  f ( x0 )  g ( x0 ) .В силу теоремы о пределе суммы, существуетlim  ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  f ( x0 )  g ( x0 )   ( x0 ) ,x  x0x  x0x  x0что и означает непрерывность функции  ( x ) в точке x0 .Теорема доказана.Очевидно, что эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.Аналогично доказываются две следующие теоремы.Теорема.

Произведение функций, непрерывных в точке x0, есть функциянепрерывная в этой точке.Следствие. Произведение непрерывной функции на число – функция непрерывная.Действительно, число (т.е. постоянная) есть функция непрерывная на R .Теорема. Частное двух функций непрерывных в точке x0 есть функциянепрерывная в этой точке, при условии, что делитель (функция, стоящая в знаменателе) неравен нулю.§4. Переход к пределу под знаком непрерывной функции. Непрерывность сложнойфункции (композиции функций).Теорема. Пусть функция z  g ( y ) непрерывна в точке y0 , а функция, y  f ( x )имеет конечный предел при x  x0 равный y0 : lim f ( x)  y0 .x x0Тогда lim g ( f ( x))  g ( lim f ( x))x  x0x  x0Доказательство.Поскольку g(y) непрерывна в точке y0,46 lim g ( y)  g ( y0 ) .y  y0По условию теоремы, существует такжеlim f ( x)  y0 .

Но, по теореме о пределе сложной функции, из этих двух фактов вытекает,x x0что lim g ( f ( x))  g ( y0 )  g lim f ( x) .x  x0x  x0Теорема доказана.Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция y  f ( x )непрерывна в точке x0 , а функция g ( y ) непрерывна в точке y0 , причем y0  f ( x0 ) . Тогдасложная функция F ( x )  g ( f ( x)) непрерывна в точке x0 .Доказательство. Поскольку функция f ( x ) непрерывна в точке x0 , lim f ( x)  f ( x0 ) .x  x0Но, в силу предыдущей теоремы, lim F ( x)  lim g ( f ( x))  g lim f ( x)  g ( f ( x0 ))  F ( x0 ) ,x  x0x  x0x  x0что и означает непрерывность функции F ( x )  g ( f ( x)) в точке x0 .Теорема доказана.§5. Локальные свойства функции, непрерывной в точке.Теорема.

Если функция f ( x ) непрерывна в точке x0 и f ( x0 )  0 , то существуетокрестность u ( x0 ) , в которой знак функции совпадает с ее знаком в точке x0 .Доказательство. . Поскольку функция f ( x ) непрерывна в точке x0 , lim f ( x)  f ( x0 ) .x  x0В силу теоремы о сохранении функцией знака предела, существует окрестностьu ( x0 ) , в которой знак функции совпадает со знаком f ( x0 ) .Теорема доказана.Данная теорема проиллюстрирована на рис. 4. Очевидно, что раз непрерывная функцияположительна в точке x0 , то она останется положительной и в некоторой (хотя бы малой)окрестности этой точки.Рис. 4.

Иллюстрация сохранения знака непрерывной функцией.47Теорема. Функция, непрерывна в точке x0, локально ограничена в этой точке.Справедливость этой теоремы вытекает из теоремы о локальной ограниченности функции,имеющей предел и определения непрерывности. Доказательство опустим.Лекция 7§1. Непрерывность функции на промежутке.Опр. Функция f ( x ) , определенная на интервале (a, b) называется непрерывной наэтом интервале, если она непрерывна в каждой его точке.Опр.

Функция f ( x ) , определенная на полуинтервале [a, b) , называетсянепрерывной на этом полуинтервале, если она1. непрерывна на интервале (a, b) ;2. правосторонне непрерывна в точке a .Опр. Функция f ( x ) , определенная на полуинтерваленепрерывной на этом полуинтервале, если она1. непрерывна на интервале (a, b) ;2. левосторонне непрерывна в точке b .( a, b] ,называетсяОпр.

Функция f ( x ) , определенная на отрезке [a, b] , называется непрерывной наэтом отрезке, если она1. непрерывна на интервале (a, b) ;2. правосторонне непрерывна в точке a .3. левосторонне непрерывна в точке b .Пример. Функция y  1  x 2 непрерывна на отрезке x  [1,1] .Класс (множество) функций, непрерывных на промежутке X обозначается C ( X ) .Соответственно, факт непрерывности функции на промежутке X можно записать в виде:f ( x )  C ( X ) .

Например, если функция непрерывна на интервале (a, b) , то f ( x)  C (a, b) .§2. Непрерывность элементарных функций.Справедлива следующая теорема.Теорема. Основные элементарные функции непрерывны в области определения.Эта теорема доказывается для каждой из основных элементарных функций (степенной,показательной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических)по отдельности, на основе определения непрерывности функции в точке.В качестве примера, докажем, что функция y  sin x непрерывна на R . Очевидно,что она является непрерывной в точке x  0 : lim sin x  sin 0  0 , т.е. при x достаточноx0близких к нулю, значения этой функции будут сколь угодно близки к нулю.

Рассмотримпроизвольную точку x0  R . Приращению x аргумента в этой точке отвечаетприращение функции48y  sin( x0  x )  sin x0  2sinxx cos( x0  ) .22x) ограничена на R :2x| 2cos( x0  ) | 2 ,2xа функция sin– б.м. при x  0 , по теореме о пределе сложной функции и в силу2того, что lim sin x  0 .

По теореме о произведении б.м. функции на локальноФункция 2cos( x0 x0ограниченную, y  0 при x  0 , а последнее и означает непрерывность функцииy  sin x в точке x0 . В силу произвольности выбора точки x0 , функция y  sin xнепрерывна на R .Как уже говорилось в лекции 2, элементарной функцией называется любаяфункция, полученная из основных элементарных функций и постоянных с помощьюарифметических операций (сложения, умножения и деления), а также композиции(построения сложной функции).Теорема. Элементарные функции непрерывны в области определения.Справедливость этой теоремы очевидна из предыдущей теоремы и теорем онепрерывности суммы, произведения, отношения и композиции непрерывных функций. Вкачестве примера докажем непрерывность многочлена.Многочлен Pn ( x)  c0  c1 x  ...

 cn x n определен на R . Покажем, что он непрерывен наR . Очевидно, что постоянная y  c есть непрерывная на R функция: для любого x  R идля любого xy  c  c  0 ,а следовательно при x  0 y  0 .(Впрочем, для того чтобы убедиться в непрерывности постоянной, достаточно изобразитьее график). Функция y  x тоже непрерывна на R :y  x , следовательно, при x  0 y  0 .Функция y  x 2  x  x непрерывна на R , как произведение непрерывных функций.Следовательно, непрерывна и функция y  x 3  x 2  x и т.д., вплоть до функцииy  x n  x n 1  x .