Мат. анализ, 1 часть; 1 семестр(1) (Все лекции в электронном виде), страница 5

Рассмотрим снова функцию y x  u (*)  f ( x )    .1(рис. 6). Нетрудно видеть, чтоx 111  , а lim  .x 1 x  1x 1 x  1Замечание. Неограниченная функция не обязательно является бесконечнобольшой.Пример. Функция y  x  sin x , график которой представлен на рис. 7, являетсянеограниченной при x   , но не является бесконечно большой при этом стремленииаргумента. Действительно, для любых (сколь угодно больших) чисел M  0 и   0 намножестве | x |  найдется точка x1 (и не одна), в которой выполняется неравенство| f ( x ) | M , поэтому функция неограниченна при x   .

Но, с другой стороны, во всехточках множества | x |  (во всей  -окрестности  ) неравенство | f ( x ) | M выполнятьсяне будет (функция периодически обращается в ноль), поэтому она не является бесконечнобольшой при x   .limТеорема. Функция, имеющая конечный предел при х*, локально ограничена вточке *.Доказательство. По условию теоремы, функция f ( x ) имеет предел при x  * :lim f ( x)  a .x *|a|.2По определению предела, для этого  найдется такое   0 , что при xвыполняется неравенство | f ( x )  a |  . Раскрывая модуль, получим:Зададим  ()a    f ( x)  a   ,илиa|a||a| f ( x)  a .2224Рис.

7. График функции y  x  sin x .При a  0 имеем:a3 f ( x)  a .22При a  0 :3aa  f ( x)  .22В обоих случаях, существует такая окрестность u (*) , в которой функция f ( x )|a||a|ограничена и сверху (числом M  a ) и снизу (числом M  a ).

Следовательно,22функция локально ограниченная в точке *.Теорема доказана.В дальнейшем будет использоваться также следующая теорема, которую приведемздесь без доказательства.Теорема. Пусть функция y  f ( x ) при х*, имеет конечный предел отличный от10. Тогда функциялокально ограничена при х*.f ( x)Лекция 4§1. Бесконечно малые функции.Опр. Функция f(x) называется бесконечно малой (б.м.) при x*, если ее пределпри этом стремлении равен нулю:{ f ( x)  б. м.

при x  *}  df {lim f ( x)  0} .x *25Другими словами, функция f ( x ) называется б.м. при x  * , если  0   0 : x  u (*) | f ( x) |  .1Пример. Функция y (рис. 6, л. 3) является б.м. при x   . Функцияx 1y  x  sin x (рис. 7, л.3.) является б.м. при x   k , при любом k  Z (в частности, приx  0 ).§ 2. Теоремы о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой.Докажем прямую и обратную теоремы о связи между функцией, ее пределом ибесконечно малой.Теорема. Если функция y=f(x) имеет конечный предел при x  * , то её можнопредставить в виде суммы этого предела и бесконечно малой  ( x ) при x  * :lim f ( x)  a   f ( x)  a   ( x),  ( x)  б.м., x  * .x *Доказательство.

Т.к. lim f ( x)  a то   0   0 : x  u (*) | f ( x)  a |  . x *Введем обозначение  ( x )  f ( x)  a . Тогда f ( x)  a   ( x) . При этом  ( x ) – б.м.Действительно,  0   0 : x  u (*) |  ( x ) |  ,т.е.lim  ( x)  0 .x *Теорема доказана.Теорема. Если функция y=f(x) представима в виде суммы постоянной a и б.м.  ( x )при х→*, то существует конечный предел этой функции при х→* и он равен a :f ( x)  a . f ( x)  a   ( x),  ( x)  б.м., x  *  limx *Доказательство. Т.к.  ( x ) – б.м.

при x  * ,  0   0 : x  u (*) |  ( x ) |  ,но ( x )  f ( x)  a .Следовательно,  0   0 : x  u (*) | f ( x)  a |  ,но это и означает, чтоlim f ( x)  a .x *Теорема доказана.§ 3. Свойства бесконечно малых.Теорема. Если  ( x ) – бесконечно малая при х→*, то она локально ограничена приэтом стремлении аргумента.26Доказательство. Зададим произвольной число   0 Т.к.  ( x ) - б.м. при x   ,т.е.

lim  ( x)  0 , то для этого  существует u (*) , в которой |  ( x) |  . Значит внутриx *окрестности u (*) функция  ( x ) ограничена, причем  - верхняя и нижняя грань. Такимобразом, функция  ( x ) локально ограничена при x   .Теорема доказана.Теорема. Алгебраическая сумма конечного числа б.м. – есть б.м.:{  ( x ),  ( x) – б.м. при x  * }  { h( x)   ( x )   ( x ) – б.м. при x  * }Доказательство. Зададим произвольное   0 и обозначим   . Тогда2 1 : x  u1 () |  ( x) |  2 : x  u 2 () |  ( x ) | Обозначим через u () пересечение 1 - и  2 - окрестностей *: u ()  u1 ()  u 2 () .Соответственно,  - радиус окрестности u () (например, если   x0 - конечноудаленная предельная точка, то   min{1 ,  2 } и пересечение окрестностей естьнаименьшая из этих окрестностей, рис.

1). Тогда при x (*)выполняются|  ( x) | одновременно оба неравенства: .|  ( x) | Но|  ( x)   ( x) ||  ( x) |  |  ( x) | 2   .Таким образом, показано, что   0  : x  u () |  ( x)   ( x) |  , что и означает, чтоlim( ( x)   ( x ))  0 ,x *т.е. сумма h( x)   ( x )   ( x ) - есть б.м. при x   .Теорема доказана.Рис.

1. Иллюстрация понятия пересечения окрестностей.Нетрудно убедиться, что эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.Теорема. Произведение б.м.при х→* на локально ограниченнуюприэтом стремлении есть функция б.м. при х→*.Доказательство. В силу локальной ограниченности такое М, что внекоторой окрестности u1 () выполняется неравенство| f ( x ) | M .(1)27Зададим произвольное сколь угодно малое положительное  . Обозначим  . Т.к.Mlim  ( x)  0 , найдется окрестность u 2 () , в которой выполняется неравенствоx *|  ( x)}|  .(2)В окрестности u ()  u1 ()  u 2 () выполняются оба неравенства (1) и (2), и|  ( x)  f ( x ) ||  ( x ) |  | f ( x ) |   M M  .MТаким образом, показано, что  0  u () : x  u () |  ( x )  f ( x) |  .Последнее означает, чтоlim  ( x) f ( x)  0 , т.е.

функция h( x)   ( x )  f ( x) есть бесконечно малая при x   .x *Теорема доказана.Следствие 1. Произведение конечного числа б.м. – есть б.м.Следствие 2. Произведение б.м. на постоянную – есть б.м.Теорема 4. Если б.м. функция есть постоянная, то она равна нулю (тождественно).Доказательство этой теоремы достаточно очевидно и мы его опускаем.§ 4. Теоремы о связи б.м.

и б.б. функций.Докажем две теоремы – прямую и обратную.Теорема 1. Если функция f ( x ) – б.б. при х→*, то функция g ( x ) 1– б.м. приf ( x)этом стремлении аргумента.Доказательство. Зададим произвольное  > 0 и обозначим М =Т.к. f ( x ) – б.б. при х→ (т.е. lim f ( x)   ), то  x  u (*)  | f ( x ) | Mx 111 0,   limx * f ( x )f ( x) Mт.е.1- б.м.

прих→*f ( x)Теорема доказана. g ( x ) 10.x  x 2Символически эту теорему можно записать в виде:Пример. lim1 0.Теорема 2. Если функция f ( x ) – б.м. при х→* и существует окрестность u1 () , вкоторой f ( x )  0 , то функция g ( x ) 1- б.б. при этом стремлении аргумента.f ( x)281. Т.к. f ( x ) Mдля этого   u 2 () , внутри которой | f ( x ) |   Внутри окрестностиДоказательство. Зададим произвольное М > 0 и обозначим  б.м. при х→*,u ()  u1 ()  u 2 () выполняется неравенство11 M.f ( x) Следовательно, функция g ( x ) 1б.б.

при х→*.f ( x)Теорема доказана.1Пример. lim 3   .x0 xСимволически эту теорему можно записать в виде:1.0§ 5. Единственность предела.Теорема. (О единственности предела). Если предел функции f ( x ) существует, тоон единственен.Доказательство. Доказательство проведем от противного. Допустим  двапредела: lim f ( x)  a и lim f ( x)  b , причем a  b . На основании 1-ой (прямой) теоремы оx *x *связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой, f ( x)  a   ( x), где  ( x ) и  ( x ) – б.м.

при x  * . f ( x)  b   ( x)Вычитая от второго равенства первое, получим: 0  b  a   ( x )   ( x)  b  a   ( x ) .Поскольку сумма б.м. есть б.м. (см. свойства б.м.), то  ( x )   ( x)   ( x ) – б.м. при х→*. Сдругой стороны,  ( x )  a  b  const . Однако, как было сказано ранее, если б.м. – естьпостоянная, то она тождественно равна нулю (см. свойства б.м.). Таким образом, ( x )  a  b  0 , а следовательно a  b .

Последнее противоречит сделанномупредположению о существовании двух различных пределов, а значит предел единственен.Теорема доказана.§ 6. Арифметические свойства предела.Теорема. Пусть существуют конечные пределы lim f ( x)  a , lim g ( x)  b . Тогдаx *x *существует конечный предел суммы функций  ( x )  f ( x)  g ( x ) при х→* и он равенab :lim( f ( x )  g ( x))  lim f ( x )  lim g ( x ) .x *x *x *Доказательство.

На основании 1-ой (прямой) теоремы о связи функции, ее пределаи бесконечно малой, функции f и g представимы в видеf ( x)  a   ( x) , g ( x )  b   ( x ) ,29где  и  - б.м. при x   . Следовательно, ( x ) = f ( x)  g ( x) = a  b   ( x )   ( x )  c   ( x) ,где c  a  b – постоянная, а  ( x )   ( x)   ( x) - б.м. (как сумма двух б.м.). На основании2-ой (обратной) теоремы о связи функции, ее предела и бесконечно малой,lim  ( x)  c  a  b .x Теорема доказана.Теорема.