Мат. анализ, 1 часть; 1 семестр(1) (Все лекции в электронном виде)

А.В. ГласкоЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУАНАЛИЗУМОДУЛЬ 1«ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ИПРЕДЕЛЫ»Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана20131Лекция 1§1. Логическая символика.При записи математических выражений будем использовать следующие логическиесимволы:СимволЗначениеСимволЗначение, &иилиДля любого, для всякого, для всех (отангл. any)Существует, найдется, имеется (exist)неВлечет, следует (следовательно)Эквивалентно, тогда и только тогда,необходимо и достаточноТак если А и В какие-либо высказывания, тоЗаписьA BЗначениеАиВA BА или В (или А или В, или и А и В)AНе АAНе Аx : AДля любого x имеет место Аx : AСуществует x , для которого имеет место АИз А следует В (если верно А, то верно В)A B(импликация)А эквивалентно В, А имеет место тогда и только тогда, когда имеет место В,A Bдля В необходимо и достаточно АЗамечание.

“ A  B ” означает, что для В достаточно А, а для А необходимо В.Пример. (х=1) => (х2-3х+2=0) => ((х=1)  (x=2)).Иногда мы будем использовать ещё один специальный символ:А =df В.Он означает, что А = В по определению.§2. Множества. Элементы и части множества.Понятие множества – первичное понятие, не определяемое через более простые.Слова: совокупность, семейство, набор – его синонимы.Примеры множеств: множество студентов в аудитории, множество преподавателей накафедре, множество автомобилей на стоянке и пр.Первичными понятиями также являются понятия элемента множества и отношения2между элементами множества.Пример. N – множество натуральных чисел, его элементами являются числа 1,2,3,…Если х и у – элементы N, то они находятся в одном следующих отношений: х=у, х<y илих>у.Условимся обозначать множества заглавными буквами: A, B, C, X, Y, …, а их элементы –строчными: a, b, c, x, y, …Отношения между элементами или множествами обозначаются символами, вставленнымимежду буквами.

Например. Пусть А – некоторое множество. Тогда отношение a  Аозначает, что а – элемент множества А. Запись а  А означает, что а не является элементомА.Множество можно задать различными способами.1. Перечислением его элементов.Например, А={a, b, c, d}, B={1, 7, 10}2. Указанием свойств элементов. Пусть A – множество элементов а, обладающихсвойством р.

Это можно записать в виде: A={ a:p } или A={ ap }.Например, запись А= { x : ( x  R )  ( x2-1>0) } означает, что A – есть множествовещественных чисел, удовлетворяющих неравенству x2-1>0.Введем несколько важных определений.Опр. Множество называется конечным, если оно состоит из определённогоконечного числа элементов. В противном случае оно называется бесконечным.Например, множество студентов в аудитории конечно, а множество натуральных чисел илимножество точек внутри отрезка бесконечно.Опр. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым иобозначается .Опр.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех жеэлементов.Пример. А={1, 3, 5}, B={5, 1, 3}A=B.Т.е. понятие множества не подразумевает того или иного порядка следования элементов.Опр. Множество Х называется подмножеством множества Y, если любой элементмножества Х является элементом множества Y (при этом, вообще говоря, не любойэлемент множества Y является элементом множества X).При этом используется обозначение: XY.Например, множество апельсинов O является подмножеством множества фруктов F :O  F , а множество натуральных чисел N является подмножеством множествавещественных чисел R : N  R .Cимволы “” и “” называются символами включения. Считают, что каждое множествоявляется подмножеством самого себя.

Пустое множество является подмножеством любогомножества.Опр. Любое непустое подмножество В множества А, не равное А, называетсясобственным подмножеством.§ 3. Диаграммы Эйлера-Венна. Элементарные операции над множествами.Множества удобно изобразить графически, в виде областей на плоскости. При этомподразумевается, что точки области соответствуют элементам множества.

Такиеграфические представления множеств называются диаграммами Эйлера-Венна.Пример. А – множество студентов МГТУ, В – множество студентов в аудитории.Рис. 1 наглядно демонстрирует, что A  B .Диаграммы Эйлера-Венна удобно использовать для наглядного изображенияэлементарных операций над множествами. К основным операциям относятся следующие.3Рис. 1. Пример диаграммы Эйлера-Венна.1.

Пересечением А  В множеств А и В называется множество C, состоящее из всехэлементов, принадлежащих одновременно обоим множествам А и В:С=А  В =df { z : (zA)  (zB) }(на рис. 2 множество C представлено заштрихованной областью).Рис. 2. Пересечение множеств.2.Объединением А  В множеств А и В называется множество C, состоящее из всехэлементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.C=А  В =df { z : (zA)  (zB) }(на рис. 3 множество C представлено заштрихованной областью).Рис. 3. Объединение множеств.Рис.

4. Разность множеств.43.Разностью А\В множеств А и В называется множество C, состоящее из всехэлементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В:А \ В ={ z : (zA) (zB) }(на рис. 4 множество C представлено закрашенной желтым цветом областью).§4.Множество действительных чисел.Построим множество вещественных (действительных) чисел R. Для этогорассмотрим, прежде всего, множество натуральных чисел, которое определимследующим образом. В качестве первого элемента возьмем число n=1.

Каждыйпоследующий элемент будем получать из предыдущего добавлением единицы:N = {1, 1+1, (1+1)+1, …} = { 1, 2, 3, …, n, … }.Введем, далее, множество целых отрицательных чисел, изменив знак всех элементов N:-N = { -1, -2, -3, …, -n, … }.Множество целых чисел Z определим как объединение трех множеств: N, -N и множества,состоящего из единственного элемента – нуля:Z = -N  { 0 }  N.Множество рациональных чисел определим как множество всевозможных отношенийцелых чисел:Q = { xx = m/n; m, nZ, n0 }.Очевидно, что N  Z  Q.Известно, что каждое рациональное число может быть записано в виде конечнойдействительной или бесконечной периодической дроби. Достаточно ли рациональныхчисел для измерения всех величин, с которыми мы можем встретиться при изученииокружающего нас мира? Уже в Древней Греции было показано, что нет: если рассмотретьравнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длинной единица, длинугипотенузы нельзя представить в виде рационального числа.

Таким образом, мы не можемограничиться множеством рациональных чисел. Необходимо расширить понятие числа.Это расширение достигается введением множества иррациональных чисел J, котороепроще всего мыслить как множество всех непериодических бесконечных десятичныхдробей.Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называетсямножеством действительных (вещественных) чисел R :R =Q  Y.Иногда рассматривают еще расширенное множество действительных чисел R , понимаяпод ним множество R, к которому присоединено два символа + и -.

При этомполагают, что x R:< x<+ и - < + .Действительные числа удобно изображать точками на числовой оси.Опр. Числовой осью называется прямая, на которой указано начало отсчета, масштаби направление отсчета.5Между действительным числами и точками числовой оси устанавливается взаимнооднозначное соответствие: любому вещественному числу соответствует единственнаяточка числовой оси и наоборот.Аксиома полноты (непрерывности) множества действительных чисел. Каковыбы ни были непустые множества А= { a }  R и B= {b}  R такие, что для любых a и bвыполняется неравенство a ≤ b , найдется число c R такое, что a ≤ c ≤ b (рис. 5).Рис.5. Иллюстрация аксиомы полноты множества вещественных чисел.§5.

Числовые множества. Окрестности.Опр. Числовым множеством называется любое подмножество множества R.Важнейшие числовые множества: N, Z, Q, J, а такжеотрезок: [a, b]  {x  R | a  x  b} ,интервал: (a, b)  {x  R | a  x  b} , (, ) =Rполуинтервалы: [a, b)  {x  R | a  x  b} ,(a, b]  {x  R | a  x  b} ,[a, )  {x  R | a  x  }(, b]  {x  R |   x  b} .Важнейшую роль в математическом анализе играет понятие окрестности точки числовойоси.Опр.  -окрестностью точки x0 называют интервал длиной 2 с центром в точкеx0 (рис. 6):u ( x0 )  ( x0   , x0   ) .Рис. 6. Окрестность точки.Опр. Проколотой  -окрестностью точкииз которой исключена сама точка x0 (рис. 7):называется окрестность этой точки,u ( x0 )  u ( x0 ) \ {x0 }  ( x0   , x0 )  ( x0 , x0   ) .6Рис.

7. Проколотая окрестность точки.Опр. Правосторонней  -окрестностью точки x0 называется полуинтервалu ( x0  )  [ x0 , x0   )(рис. 8). Аналогично определяется левосторонняя окрестность.Рис. 8. Правосторонняя окрестность точки.Опр. Проколотой правосторонней  -окрестностью точки x0 называется интервалu ( x0  )  ( x0 , x0   ) ,т.е. правосторонняя  -окрестность этой точки, из которой исключена сама точка x0 .Аналогично определяется левосторонняя проколотая окрестность.Опр.  -окрестностью плюс бесконечности («точки»  ) называется интервалu ()  ( , ) .Аналогично определяется  -окрестность «точки»  .Опр.

 -окрестностью бесконечности («точки»  ) называется интервалu ()  {x  R : | x |  } (рис. 9).Рис. 9. Окрестность бесконечности (  ).Другими словами, -окрестность бесконечности – это объединение  -окрестностиплюс бесконечности и  -окрестности минус бесконечности:u ()  (,  )  ( , )  u ()  u ( ) .Окрестности u ( x0 ), u ( x0 ), u ()называются двусторонними, а окрестностиu ( x0  ), u ( x0  ), u () и т.д. – односторонними. Число  называется радиусомокрестности.7§ 6. Ограниченные и неограниченные числовые множества.Рассмотрим произвольное числовое множество X (X R).Опр. Множество Х называется ограниченным сверху, если существует такое числоM, что все элементы этого множества меньше либо равны M:M  R : x  X  x  M .

Число М называется верхней гранью множества Х.Аналогично определяется множество ограниченное снизу и нижняя грань.Опр. Множество, ограниченное как сверху – так и снизу, называется ограниченным.Очевидно, что у любого ограниченного множества существует бесконечное множествоверхних и нижних граней. Например, множество X={3,5,8}, состоящее из трех элементов,ограничено. При этом, в качестве верхней грани можно рассматривать число M=100(поскольку любой элемент множества X меньше 100), а можно – M=1000.Опр. Наименьшая из всех верхних граней множества Х называется его точнойверхней гранью (супремумом) и обозначаетсяx  sup X(от лат. supremum - наивысшая).Опр.