Мат. анализ, 1 часть; 1 семестр(1) (Все лекции в электронном виде), страница 7

Сравнение функций при данном стремлении аргумента.Пусть две б.м. (две б.б.) функции f ( x ) и g ( x) определены в окрестности u (*) , иf ( x)пусть существует конечный или бесконечный предел lim.x * g ( x )f ( x) 0 , говорят, что б.м. f ( x ) имеет высший порядок малостиОпр. Если limx * g ( x )(в.п.м.) по сравнению с б.м. g ( x) при x   (б.б. g ( x) имеет высший порядок роста(в.п.р.) по сравнению с б.б. f ( x ) при x   ).

При этом используется следующееобозначение:f ( x)  o( g ( x)), x   .Примеры.(sin x) 2  o( x) при x  0 .Действительно,(sin x) 2sin xlim limsin x  0 ,x0x0xxт.к. первый сомножитель под знаком предела стремится к единице, а второй – кнулю.11 o   при x   ,2xxно1 1  o  2  при x  0xx (докажите самостоятельно).f ( x)g ( x)  , очевидно, это означает, что lim 0 (поЗамечание. Если limx * g ( x)x * f ( x )теореме о связи между б.м. и б.б.), т.е. g ( x)  o( f ( x)), x   .f ( x) a  0 , то f ( x ) и g ( x) называются б.м.Опр.

Если существует конечный limx * g ( x)(б.б.) одного порядка малости (роста) при x  * .Примеры.Функции y  shx и y  e x имеют одинаковый порядок роста при x   .Действительно,shxe x  e x 11lim x  lim lim 1  e 2 x   0  xx  ex 2e2 x 22 x(здесь использовано то, что e  0 при x   ).Функции y  e x  1 и y  sin 2 x имеют одинаковый порядок малости при x  0(докажите самостоятельно).38f ( x) 1 , то функции f ( x ) и g ( x) называются эквивалентными приg ( x)x   . При этом используется обозначение:Опр.limx *f ( x ) ~ g ( x) при x  * .Примеры.sin x ~ x при x  0 , в силу теоремы о первом замечательном пределе.tgx ~ x при x  0 , в силу следствия из теоремы о первом замечательном пределеtgx( lim 1 ).x0 xМногочлен3 x3  x 2  5 x ~ 3x3 при x   .Действительно,3x 3  x 2  5 x15lim lim  1   2   1 ,3x x 3x 3x x т.к.

два последних слагаемых под знаком предела стремятся к нулю.Тот же многочлен3 x3  x 2  5 x ~ 5x при x  0 .(докажите самостоятельно).Опр. Если существует конечный пределf ( x)lim k a  0 , где k  0 ,x * g ( x )число k называется порядком малости (роста) f ( x ) относительно g ( x) при x  * .Пример. Сравним функции f ( x )  sin x 2 , g ( x )  x 3 при x  0 .limx0f ( x)sin x 2sin x 2 1limlim.x0g k ( x ) x 0 x 3 kx 2 x 3k  2Этот предел конечен и отличен от нуля только при k 2. Действительно, в этом случае3получаемsin x 2sin t lim 1,2x0t 0xtгде t  x 2 .22При k  предел равен  , а при k  – нулю.33Таким образом, порядок малости б.м. f ( x ) относительно б.м. g ( x) при x  0 равен2k .3lim§4.

Основные соотношения эквивалентности.Из определения эквивалентности функций, а также теорем о первом и второмзамечательных пределах и их следствий, вытекают следующие соотношенияэквивалентности при x  0 :sin x ~ xtgx ~ xarcsin x ~ xarctgx ~ x39x22ln(1  x) ~ x1  cos x ~log a (1  x ) ~xln ae x  1~ xa x  1 ~ x ln axp1 x 1 ~pИсходя из определения эквивалентности, легко доказать также, что многочленэквивалентен старшей степени при x   и младшей степени (если a0  0 ) при x  0(см. последние два примера к определению эквивалентности):a0  a1 x  ...  an x n ~ an x n при x   .a1 x  ...

 an x n ~ a1 x при x  0 .§5. Теоремы об эквивалентных функциях.Теорема. Если при x  * f ( x ) ~  ( x ) и g ( x) ~  ( x ) , то f ( x ) ~ g ( x) .Доказательство.f ( x)f ( x)  ( x)f ( x) ( x)lim lim lim lim 1 1  1 ,x  g ( x)x   ( x) g ( x)x   ( x) x  g ( x )следовательноf ( x ) ~ g ( x) при x  * .Теорема доказана.Теорема. Разность 2-х эквивалентных б.м. функций f ( x ) и g ( x) имеет высшийпорядок малости по сравнению с каждой из них.Доказательство.

Пусть f ( x ) ~ g ( x) при x  * . Покажем, чтоf ( x)  g ( x)  o( g ( x )) при x  * . f ( x) f ( x)  g ( x)f ( x)lim lim  1   lim1  1 1  0 .x *x*x*g ( x)g ( x) g ( x) Следовательно,f ( x)  g ( x)  o( g ( x )) при x  * .Поскольку же f ( x ) ~ g ( x) , то, очевидно также, что f ( x)  g ( x)  o( g ( x )) .Теорема доказана.Теорема.

Если разность двух функций f ( x )  g ( x ) есть бесконечно малая функцияпо сравнению с одной из них при x  * , то эти функции эквивалентны:Доказательство. Пусть, для определенности, f ( x)  g ( x)  o( g ( x )) при x  * .Тогда f ( x) f ( x)  g ( x)f ( x)lim lim  1   lim1  0x *x * g ( x )g ( x) x* g ( x )Следовательно,f ( x)lim 1,x * g ( x)40т.е.f ( x ) ~ g ( x) при x  * .Теорема доказана.Теорема. Сумма бесконечно малых (бесконечно больших) различного порядкамалости эквивалентна слагаемому низшего порядка малости (высшего порядка роста).Доказательство. Пусть  ( x ) и  ( x ) б.м.

(б.б.) при x  * , причем   o( ) . Тогда  ( x)  ( x )   ( x) ( x) lim 1  1  lim 1.x *x *x *  ( x ) ( x)  ( x) Следовательно, ( x )   ( x ) ~  ( x ) при x  * .Теорема доказана.limНетрудно убедиться, что эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.Пример. x 3/ 2  2 x ~ 2 x при x  0 Соотношения эквивалентности для многочлена при x  0 или при x   являютсяследствиями доказанной теоремы.Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых (двух бесконечно больших)функций не изменится при замене этих функций на эквивалентные, т.е.если f ( x ) ~ f 0 ( x ) при x  * , а g ( x) ~ g 0 ( x ) при x  * , тоf ( x)f ( x)lim lim 0.x * g ( x)x * g ( x)0Доказательство.g ( x)f ( x)f ( x)f ( x)f ( x) g0 ( x) f 0 ( x)f ( x)lim lim lim lim 0 lim 0 lim 0.x * g ( x)x * f ( x )g ( x) g 0 ( x) x* f0 ( x) x * g ( x ) x* g 0 ( x) x* g 0 ( x)0Теорема доказана.§6.

Использование соотношений эквивалентности для вычисления пределов иасимптотического сравнения функций.Последняя теорема, вместе с таблицей эквивалентных функций, является основойнаиболее удобного и широко используемого метода вычисления пределов.Пример.

Найдем пределln(1  x 2 )  (sin x) 2lim.x05x 4  x6Поскольку при x  0 ln(1  x 2 ) ~ x 2 ( ln(1  t ) ~ t при t  0 , t  x 2 ), sin x ~ x , 5x 4  x 6 ~ 5x 4 ,тоln(1  x 2 )  (sin x)2x2  x 2 1limlim .x0x 0 5 x 45x 4  x65Соотношения эквивалентности (табл. 1) удобно также использовать для асимптотическогосравнения функций.Пример. Предел0ln(cos x ) 0ln(1  (1  cos x))1  cos xx21lim lim lim lim 2  .222x0x0x0x0xxx2x241Здесь использованы соотношения эквивалентности ln(1  t ) ~ t при t  0 ( t  1  cos x ) иx2при x  0 .2Пример.

Предел1  cos x ~2xlimx e 12/ x lim2.x11/ xtgxЗдесь использованы соотношения эквивалентности et  1 ~ t при t  0 ( t 2, очевидно,x1что при x   t  0 ) и tgt ~ t при t  0  t   .xПример. Пределy x 0ycos   cos 0sin22   lim2  lim2   lim y   1 .limx  x  y 0y 0y 0 2 yyy2Здесь использована замена переменной y  x   ( x  y   , y  0 при x   ), формулаприведения cos       sin  и соотношение эквивалентности sin t ~ t при t  02yt   .2Пример. Предел1 1x2lim(cos x )  lim ex0x 012ln(cos x ) x1 lim ex0x2ln(cos x )12e ,т.к.0ln(cos x ) 0 1limx0x22(см.

выше) и на основании теоремы о пределе сложной функции (внутренняя функцияln(cos x )y, внешняя – g ( y )  e y ). Здесь использован тот факт, что любое2xположительное число a можно представить в виде a  eln a (т.к. экспонента и натуральныйлогарифм – взаимно-обратные функции).Вообще, при x  x0  0   , удобно использовать замену переменной y  x  x0 .Пример. Найдем порядок малости функции f ( x ) относительно функции g ( x) , где11  1f ( x )  2ln 1  sin  2  4   , g ( x )  1  3  1 , x   .xx xВидим, что при x   1 1  2 2 2f ( x ) ~ 2sin  2  4  ~ 2  4 ~ 2 , аx  xxxx1g ( x) ~ 32x2Поэтому порядок малости f ( x ) относительно g ( x) при k  .3Действительно,42limx 2f ( x)2 1 x 3x2limlim.g  ( x) x  1 3  x x 22xОчевидно, что этот предел не равен ни нулю, ни бесконечности только при  2(при322он равен  , а при   - нулю).33Вообще, как при вычислении пределов, так и при асимптотическом сравнении функций,эквивалентная функция обычно ищется в одном из указанных в приведенной нижетаблице видов, в зависимости от стремления аргумента и функции (вездеподразумевается, что   0 ).xx0x  x0f ( x)  0f ( x ) ~ Cxf ( x) ~ C / xf ( x ) ~ C ( x  x0 )f ( x)  f ( x ) ~ C / xf ( x ) ~ Cxf ( x ) ~ C /( x  x0 )Эквивалентная не всегда существует в таком виде, но если существует, то единственна.Опр.

Пусть б.м. (б.б.) функции f ( x ) и g ( x) определены в некоторой проколотойокрестности u (*) . Если f ( x ) представима в видеf ( x)  g ( x )  o( g ( x)) , x  * ,то g ( x) называется главной частью функции f ( x ) при x  * . Не трудно показать, чтоg ( x) является главной частью функции f ( x ) , тогда и только тогда, когда f ( x ) ~ g ( x)(при рассматриваемом стремлении аргумента).Лекция 6§ 1. Понятие непрерывности функции в точке.Опр. Функция f(x), определенная в некоторой (не проколотой!) окрестности точкиx0 называется непрерывной в этой точке, если:1) существует lim f ( x ) ;x  x02) этот предел равен значению функции в точке x0 .Класс (множество) функций, непрерывных в точке x0 обозначается C ( x0 ) .Соответственно, факт непрерывности функции в точке x0 можно записать в виде:f ( x)  C ( x0 ) .

Итак, по определению{ f ( x)  C ( x0 )}  df {lim f ( x)  f ( x0 )} .x  x02Так функция y  x является непрерывной в точке x  0 (как и во всех другихточках вещественной оси), рис. 1. Действительно, при x достаточно близких к нулю, этафункция будет сколь угодно близка к нулю, но y (0) =0.Функция, график которой представлен на рис. 2, не является непрерывной в точкеx0 . Действительно, эта функция имеет различные пределы при x  x0  и при x  x0 ( f ( x0  ) и f ( x0 ) , соответственно). Поэтому двустороннего предела при x  x0 несуществует.43Рис.

1. График функции y  x 2 .Рис. 2. Пример функции, не являющейся непрерывной.Для понимания смысла непрерывности, полезна следующая иллюстрация: функциянепрерывна, если ее график можно нарисовать, не отрывая ручки от листа.С учетом определения предела, определение непрерывности функции можно дать вболее развернутой (более подробной) форме:Опр. Функция f ( x ) , определенная в некоторой окрестности точки x0 называетсянепрерывной в этой точке, если в достаточно малой окрестности точки x0 значения этойфункции сколь угодно близки к f ( x0 ) : f ( x)  C ( x0 )  df   0   0 :x  u ( x0 ) | f ( x )  f ( x0 ) |   .С учетом теоремы о связи двустороннего предела с односторонними, определениенепрерывности функции в точке можно дать также в следующей (равносильнойпредыдущим) форме.Опр.