Мат. анализ, 1 часть; 1 семестр(1) (Все лекции в электронном виде), страница 4

1 точка ( x0 , a) изображенав виде пустого кружочка.sin xПример. Рассмотрим функцию y . Как известно, она не определена в точкеxx  0 . Тем не менее, если вычислять значения этой функции в точках все более и болееблизких к нулю, можно убедиться, что эти значения все более и более близки к единице.Более того, значения этой функции будут сколь угодно мало отличаться от единицы приx достаточно близких к нулю. По определению, это означает, чтоsin xlim1.x0xРис. 1.

Геометрический смысл определения предела.18Позже это равенство будет доказано аналитически, на основе определения предела (этотпредел называется первым замечательным пределом).x2  x  2Пример. Функция y не определена при x  1 . Вычислим предел этойx2 1функции при x  1 .0x2  x  2 0( x  1)( x  2)x2 3lim lim lim .2x 1x1x1x 1( x  1)( x  1)x 1 20Символ « » над знаком «равно» означает, что при подстановке в дробь под знаком0предела значения x  1 , и числитель и знаменатель этой дроби принимают нулевоезначение. Из-за этого предел не может быть вычислен непосредственно подстановкойпредельного значения аргумента, как в случае предела lim sin x  0 . В подобных случаях,x0говорят о наличии неопределенности. В рассмотренном пределе имеет место0неопределенность « ». В дальнейшем мы столкнемся с другими типами0неопределенностей. Известны следующие основные типы:0 , , 0  ,   ,1 , 00 , 0 .0 Опр.

Число a называется пределом функции f ( x ) при x стремящемся к x0 справа(правосторонним пределом функции f ( x ) при x стремящемся к x0 ), если для любогосколь угодно малого положительного числа  существует такое достаточно малоеположительное число  , что в правосторонней проколотой окрестности u ( x0  ) точки x0выполняется неравенство | f ( x )  a |  :a  lim f (x) x  x0df  0   0 :x  u ( x0  ) | f ( x )  a |   .Условие x  u ( x0  ) эквивалентно неравенству x0  x  x0   . Геометрический смыслэтого определения иллюстрируется рис. 2: если значения x попадают в интервал( x0 , x0   ) , то соответствующие значения y попадают в интервал (a, a   ) .Рис. 2. Геометрический смысл определения предела функции при x  x0  .Аналогично определяется предел функции при x стремящемся к x0 слева.19Пример.

Рассмотрим функцию y  x ln x . Она определена только при x  0 .Поэтому не имеет смысла говорить о ее пределе при x стремящемся к x0 . Тем не менее,если вычислять значения этой функции для положительных x , все более и более близкихк нулю, то значения y будут также все более и более близки к нулю. Более того, y будетсколь угодно мало отличаться от нуля, если только x достаточно близко к нулю, т.е.доказать, чтоlim x ln x  0 .x 0 Позже это равенство будет доказано аналитически.Пределы функции при x  x0  и при x  x0  будем называть одностороннимипределами, а предел при x  x0 – двусторонним. Справедлива следующая теорема.Теорема (о связи двустороннего предела функции с односторонними).Двусторонний предел функции при x  x0 существует тогда и только тогда, когдасуществуют оба соответствующих односторонних предела и они равны.

При этомдвусторонний предел равен односторонним.Доказательство. Докажем эту теорему в два этапа. Сначала прямое утверждение,затем обратное.1. Пусть существуют оба односторонних предела функции f ( x ) и они равны a .Покажем, что в этом случае существует также двусторонний предел функции и он тожеравен a . Зададим произвольное сколь угодно малое   0 .

Т.к.lim f ( x )  a , для этого  существует такое 1  0 , что при x  u1 ( x0  ) выполняетсяx  x0 неравенство | f ( x )  a |  . Т.к. lim f ( x)  a , для этого  существует такое  2  0 , чтоx  x0 при x  u 2 ( x0 ) выполняется неравенство | f ( x )  a |  . Обозначим через  наименьшееиз чисел 1 и  2 . Очевидно (рис. 3), что неравенство | f ( x )  a |  выполняется приx  u ( x0 ) . Последнее и означает, что существует lim f ( x)  a .x  x0Рис. 3.

Иллюстрация к доказательству теоремы о связи двустороннего пределафункции с односторонними.2. Пусть существует двусторонний предел функции f ( x ) и он равен a . Покажем,что в этом случае существуют оба односторонних предела этой функции и они тожеравны a .Зададим произвольное сколь угодно малое   0 . Т.к. lim f ( x)  a , для этого x  x0существует такое   0 , что при x  u ( x0 ) выполняется неравенство | f ( x )  a |  . Но,следовательно, оно выполняется при x  u ( x0 ) , так и при x  u ( x0  ) .

Первое означает,что существует lim f ( x)  a , а второе, что существует lim f ( x )  a .x  x0 x  x0 Теорема доказана.20§2. Предел действительной функции одного действительного переменного ( R  R ).Случай бесконечно удаленной предельной точки.В предыдущем параграфе x0 было конечным числом. Будем называть такуюпредельную точку конечно-удаленной. Дадим теперь определения пределов для случаябесконечно-удаленной предельной точки.Число a называется пределом функции y  f ( x ) при x стремящемся к  , еслипри достаточно больших x значения y будут сколь угодно близки к числу a .Более точно это определение формулируется так.Опр. Число a называется пределом функции f ( x ) при x стремящемся к  , еслидля любого, сколь угодно малого, положительного числа  существует такое достаточнобольшое положительное число  , что при x   выполняется неравенство | f ( x )  a |  :a  lim f ( x) x df  0   0 :x   | f ( x )  a |   .Рис.

4. Геометрический смысл предела функции при x   .Неравенство x   эквивалентно условию x  u () . Геометрический смысл этогоопределения представлен на рис. 4.Аналогично определяется предел функции при x стремящемся к  .Говорят, что предел функции f ( x ) при x стремящемся к бесконечности равен a ,если при достаточно больших по модулю x значения функции сколь угодно близки кчислу a . Более точно это определение формулируется следующим образом.Опр. Число a называется пределом функции f ( x ) при x стремящемся к  , еслидля любого, сколь угодно малого, положительного числа  существует такое достаточнобольшое положительное число  , что при | x |  выполняется неравенство | f ( x )  a |  :a  lim f ( x) x df  0   0 :|x |  | f ( x)  a |   .Неравенство | x |  эквивалентно условию x  u ()  u ()  u () .Другими словами, число a называется пределом функции f ( x ) при x стремящемся кбесконечности, если оно является пределом этой функции как при x стремящемся к  ,так и при x стремящемся к  .Геометрический смысл этого определения представлен на рис.

5.21Рис. 5. Геометрический смысл предела функции при x   .§3. Общее определение предела функции по Коши.Объединим шесть введенных выше определений предела функции при различныхстремлениях аргумента в одном общем определении. Для обозначения предельной точкибудем использовать символ '*'. Т.е., под '*' будем подразумевать один из шести вариантов:x0, x0 , x0 , , ,  .Опр. Число a называется пределом функции f ( x ) при x стремящимся к *, еслидля любого сколь угодно малого положительного числа  существует такоеположительное число  , что в проколотой окрестности u (*) выполняется неравенство| f ( x )  a |  :a  lim f ( x) x *df  0   0 :x  u (*) | f ( x)  a |   .Если предел функции y  f ( x ) при x  * равен a , говорят также, что функция стремитсяк a при x стремящемся к * :y  a при x  * .Справедлива следующая теорема.Теорема.

Предел постоянной равен этой постоянной: lim C  C .x *Доказательство. Итак, пусть f ( x)  C  const . Зададим произвольное   0 .Выберем любое >0. Поскольку| f ( x)  C || C  C | 0 ,очевидно, что | f ( x)  C |  , в частности, при x   . Но последнее и означает, чтоlim f ( x)  C .x *Теорема доказана.§4. Ограниченные и неограниченный функции. Бесконечно большие функции.Опр. Функция y=f(x) называется ограниченной сверху на интервале (a, b) , если MR: f(x)<M, x (a, b)Опр. Функция y=f(x) называется ограниченной на интервале (a, b) снизу , если mR: f(x)>m, xBОпр.

Функция y=f(x) называется ограниченной на интервале (a, b) , если онаограничена на этом интервале и снизу, и сверху.22Нетрудно показать, что функция является ограниченной на интервале (a, b) тогда итолько тогда, когда   R : | f ( x) |  x (a, b) .Совершенно аналогично дается определение ограниченной (сверху, снизу)функции на сегменте или полуинтервале.Опр. Функция называется локально ограниченной в * (или ограниченной приx*), если существует окрестность (*), в которой эта функция ограничена.Отсюда очевидно, что неограниченную в точке * функцию можно определить следующимобразом:Рис.

6. Иллюстрация понятия неограниченной функции.Опр. Функция называется неограниченной в точке * (при x  * ), если для любого(сколь угодно большого) числа M  0 и для любого числа   0 найдется хотя бы однаточка x1  u (*) такая, что | f ( x1 ) | M :M>0 и   0  x1u(*): |f(x1)|>M.1Так функция y , график которой представлен на рис. 6, являетсяx 1неограниченной при x  1 и ограниченной при любом другом стремлении x (вчастности, при x   ).Опр. Функция f(x) называется бесконечно большой (б.б.) при x*, если  >0  ( ) : x (*)  | f ( x) |  .Если функция является бесконечно большой (б.б.) при x*, говорят, что ее предел приэтом стремлении аргумента равен бесконечности:lim f ( x)   .x *23Так функция, представленная на рис.

6, является бесконечно большой при x  1 :lim f ( x)   .x 1Можно выделить два случая бесконечного предела (бесконечно большой функции):предел равный  и предел равный  .Опр. Говорят, что предел функции f ( x ) при x  * равен  , если для любого(сколь угодно большого)   0 существует такое   0 , что в проколотой  - окрестности* выполняется неравенство f ( x )   :lim f ( x)   dfx *  0   0 :x  u (*)  f ( x)    .Опр. Говорят, что предел функции f ( x ) при x  * равен  , если для любого(сколь угодно большого)   0 существует такое   0 , что в проколотой  -окрестности* выполняется неравенство f ( x )   :lim f ( x)   x *df  0   0 :Пример.