Геометрические построения плоских фигур А.Ю. Горячкина, И.А. Горюнова

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаУчебное пособиеА.Ю. Горячкина, И.А. ГорюноваГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯПЛОСКИХ ФИГУРИздательство МГТУ им. Н. Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаА.Ю. Горячкина, И.А. ГорюноваГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯПЛОСКИХ ФИГУРРекомендовано Научно-методическим советомМГТУ им.

Н.Э. Баумана в качестве учебного пособияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2012УДК [744.62]:004.92ББК 30.11Г72Рецензенты: Н.М. Фазлулин, В.М. ХововГ72Горячкина А.Ю.Геометрические построения плоских фигур : учеб. пособие / А.Ю. Горячкина, И.А. Горюнова. — M.:Изд-во МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2012. – 48, [3] с. : ил.Представлены наиболее часто встречающиеся в инженерной практике геометрические построения на плоскости. Дана классификация плоских кривых линий, описаны способы их построения.Для студентов, изучающих курс «Инженерная графика».УДК [744.62]:004.92ББК 30.11c МГТУ им. Н.Э.

Баумана, 20121. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВАКонтуры многих машино- и приборостроительных деталей имеют сложную формуи состоят из линий различных видов: прямых, дуг окружностей и лекальных кривых.Для того чтобы изобразить на чертеже очертания предмета, которые вполне соответствовали бы его действительной форме, необходимы твердые знания принциповгеометрического построения плоских фигур и умение применять их в каждом отдельном случае.Одним из способов решения задач на геометрические построения является использование геометрических множеств.Геометрическое множество точек плоскости — это множество, обладающее определенным геометрическим свойством или свойствами, общими для всех точек.

Этоозначает, что все точки, принадлежащие фигуре, удовлетворяют заданному свойству,и, наоборот, все точки, удовлетворяющие заданному свойству, принадлежат фигуре.Другими словами, точка принадлежит фигуре в том и только в том случае, когда длянее выполняется заданное свойство.Использование геометрических множеств при решении задач состоит в следующем.Пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку X , удовлетворяющую двумусловиям. Геометрическое множество точек, удовлетворяющих первому условию, естьнекоторая фигура A, а геометрическое множество точек, удовлетворяющих второмуусловию, есть некоторая фигура B .

Искомая точка X принадлежит геометрическиммножествам A и B , т. е. является точкой пересечения двух множеств.Рассмотрим геометрические множества точек, которыми будем пользоваться пригеометрических построениях на плоскости.Геометрическое множество точек плоскости (рис. 1), удаленных от заданной точкиO на заданное расстояние R, есть по определению окружность m (O, R).Геометрическое множество точек плоскости (рис.

2), равноудаленных от двух заданных точек A и B , есть прямая m, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная этому отрезку.Рис. 1Рис. 23Геометрическим множеством точек плоскости (рис. 3), находящихся от заданнойпрямой a на заданном расстоянии h, являются две прямые m и n, параллельные прямойa и находящиеся от нее на заданном расстоянии h.Геометрическое множество точек плоскости (рис. 4), равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых a и b, представляет собой две взаимно перпендикулярныепрямые m и n, являющиеся биссектрисами углов, образованных прямыми a и b.Геометрическое множество точек плоскости (рис.

5), равноудаленных от двух данных параллельных прямых a и b, есть прямая m, параллельная прямым a и b, проходящая через точку C — середину отрезка секущей c.Рис. 3Рис. 4Рис. 52. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ПРЯМЫХ И УГЛОВ. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ2.1. Деление отрезка прямой пополамОтрезок АВ прямой m (рис. 6) делится на две равные части перпендикуляром n,проведенным через точки пересечения C и D дуг окружностей радиуса R > 0,5AB сцентрами соответственно в точках A и B . Точка E — середина отрезка АВ . Построениявыполнены на основании теоремы о том, что серединный перпендикуляр к отрезкуявляется геометрическим множеством точек, одинаково удаленных от концов этогоотрезка.Рис.

62.2. Деление отрезка прямой на заданное число частейТеорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и надругой его стороне. На основании этой теоремы выполняют геометрические построения.4Рис. 7Отрезок АВ прямой m (рис. 7) разделен на семь частей посредством вспомогательного луча t, проведенного через точку A под острым углом к заданной прямой m. Налуче t от точки A отложено заданное число (n = 7) равных отрезков произвольнойдлины, отмеченных точками 1, 2, . . .

, 7. Последняя точка 7 соединена с точкой B , ииз каждой точки деления луча t последовательно проведены прямые, параллельныепрямой В 7, до пересечения с прямой m. Полученные точки 1 , 2 , . . . , 7 делят отрезокАВ в искомом отношении.2.3. Деление отрезка прямой на пропорциональные частиЭто деление выполняют по аналогии с построением, представленным на рис. 7,с тем лишь отличием, что на вспомогательном луче t откладывают сумму отрезков,составляющих заданное отношение, например А2 : 2 В = 2 : 5 или А4 : 4 В = 4 : 3(см. рис. 7).

При построении основываются на теореме о том, что параллельные прямые,пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.2.4. Деление отрезка прямой в среднем и в крайнем отношении(правило золотого сечения)Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части,при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей, или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему,как больший ко всему отрезку.На рис.

8 отрезок АВ разделен в отношении АВ : АK = АK : KВ . Для построенияотрезок АВ надо разделить пополам точкой С . В точке B восстановить перпендикулярк отрезку АВ и отложить на нем отрезок В М = АС . На луче АМ от точки М отложитьотрезок М N = В М = АВ /2. Затем из точки A радиусом АN на прямой АВ засечь точкуK , являющуюся искомой, чтобы разделить отрезок в заданном отношении.Рис. 852.5. Построение отрезков прямой с заданным отношением сторонDВ квадрата(рис. 9), сторона которого АВ , равнаДиагональ√√АО = 2ОМ ; ОМ = 2М N и т. д.√2АВ ; АВ =√2АО ;Рис.

10Рис. 9На рис. 10 показано построение большой стороны BC прямоугольника по заданнойк отрезку DC в точке D,короткой стороне DC . На перпендикуляре, восстановленном√отложить DК = DC и построить CB = CК = 2DC . Это соотношение принято приобразовании стандартных форматов чертежей: основой формата является прямоугольник, такой, что при делении большей его стороны пополам образуется прямоугольникс тем же отношением сторон, что и у исходного прямоугольника.2.6. Построение перпендикуляра к прямой, проходящего через точку,лежащую вне этой прямойИз точки O засечкой произвольного радиуса R отметить на прямой m точки A иB (рис.

11). Используя эти точки как центры, провести равными радиусами R1 дугиокружностей до их взаимного пересечения в точке O1 . Отрезок ОО1 ⊥ AB .Рис. 112.7. Построение перпендикуляра к прямой в точке,принадлежащей данной прямойПровести из произвольно выбранного центра O, расположенного вне данной прямойm, дугу окружности радиуса R = OA (рис. 12) и отметить на прямой m точку B6Рис. 12ее пересечения с дугой. Построить диаметр BM и прямую M A; M A ⊥ AB , так каквписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр угол MAB прямой.2.8. Деление угла пополамПостроение выполняют на основании теоремы о том, что биссектриса угла является геометрическим множеством точек, лежащих внутри данного угла и одинаковоудаленных от его сторон.Из вершины O заданного угла провести дугу произвольного радиуса R до пересечения ее со сторонами угла в точках A и B (рис.

13). Из полученных точек, как изцентров, построить две дуги равных радиусов R1 до их взаимного пересечения в точкеM . Биссектриса OM делит заданный угол пополам.Рис. 132.9. Построение угла 30◦Построить прямой угол (рис. 14). Из его вершины O провести дугу произвольногорадиуса R. Из точки A тем же радиусом R сделать засечку на дуге AB в точке M . УголM OB = 30◦ (поскольку треугольник AOM равносторонний, то угол AOM = 60◦ ).Рис.

1472.10. Построение угла 60◦Из точки O на прямой m (рис. 15) провести дугу AB произвольного радиуса R. Източки B на прямой m провести дугу окружности того же радиуса R до пересечения спервой дугой в точке A. Угол AOB = 60◦ , так как треугольник AOB равносторонний.Рис. 152.11. Построение угла 75◦Построить прямой угол (рис. 16). Из его вершины O провести дугу AB произвольного радиуса R. Из точки B тем же радиусом R сделать засечку на дуге АВ вточке М .

Угол BОМ = 60◦ необходимо дополнить, построив биссектрису угла МОA.Угол BОС = 75◦ .Рис. 162.12. Построение треугольника по трем заданным сторонамЗадан треугольник со сторонами a = 30 мм; b = 45 мм; c = 60 мм (рис. 17).За основу построения можно принять любую сторону; в данном случае принятасторона c = AC = 60 мм.Рис. 1782.13. Построение равных многоугольниковМногоугольник, равный заданному, можно построить по координатам точек вершини методом триангуляции.Метод триангуляции. Этот метод основан на разбивке данного многоугольникана треугольники и последовательном построении треугольников по данным сторонам,например:а) разбиваем данный многоугольник ABCD на два треугольника ABD и BCD(рис.

18);б) приняв за основание сторону AD, проводим отрезок A1 D1 = AD и строим треугольник A1 B1 D1 , равный треугольнику ABD (см. рис. 17) по трем данным сторонам(рис. 19);в) приняв за основание сторону B1 D1 , строим треугольник B2 C2 D2 , равный треугольнику BCD (рис. 20).Рис. 18Рис. 19Рис. 203. ДЕЛЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ И ПОСТРОЕНИЕПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ3.1. Определение центра дугиВзять на дуге окружности (рис. 21) три произвольно расположенные точки A, В иС . Отрезки AB и BC — хорды заданной дуги. Точка пересечения перпендикуляров,проведенных через середины хорд, определяет положение центра O исходной дуги.Построение основано на определении окружности как геометрического множестваточек, удаленных от центра на заданное расстояние R.Рис.

2193.2. Определение центра окружностиВ заданной окружности (рис. 22) провести две не параллельные между собой хорды AB и CD. Через середины хорд провести перпендикуляры, пересечение которыхопределяет положение центра O исходной окружности.Рис. 223.3. Деление окружности на три, шесть и двенадцать частейВ окружности заданного радиуса R (рис. 23) провести через центр O взаимноперпендикулярные диаметры AB и CD. Из любой точки конца диаметра (например, източки А) провести дугу радиуса R = АО до пересечения с окружностью в точках 1 и2. Отрезок 12 — искомая сторона правильного вписанного треугольника 1В 2.Рис.