Геометрические построения плоских фигур А.Ю. Горячкина, И.А. Горюнова, страница 5

77Рис. 78На пересечении лучей, делящих угол, и дуг, проведенных через точки 1, 2, . . . , 8деления отрезка B 1, отметить точки спирали Архимеда.6.4.2. СинусоидаСинусоидой называется кривая, изображающая постепенное изменение тригонометрической функции — синуса — в зависимости от постепенного изменения величиныугла (рис. 79). Прямая А0 А12 называется осью синусоиды; точки А3 и A9 — вершинамисинусоиды; точки А0 , A6 и А12 — точками перегиба; L — длина волны, равная А0 А12(если L = πD, синусоида называется нормальной; если L > πD — вытянутой; еслиL < πD — сжатой).

Величина D называется амплитудой синусоиды.Рис. 79Для построения синусоиды проводят вспомогательную окружность диаметром, равным данной амплитуде D, и на продолжении центровой линии отмечают отрезок L,равный заданной длине волны (рис. 80). Окружность делят на некоторое количество,например на 12, равных частей.Отрезок L делят на столько же равных частей, на сколько была разделена окружность (рис. 81); из точек деления окружности проводят прямые параллельно оси сину33Рис.

80Рис. 81соиды, а из точек I, II, III, IV и V — перпендикуляры к оси до пересечения с соответствующими прямыми — получают точки А1 , А2 , А3 , А4 , А5 .Аналогичным путем находят точки А7 , А8 , А9 , А10 , А11 (точки А, А6 и А12 лежат наоси), через полученные точки проводят кривую, которая явится искомой синусоидой(рис. 82).Рис.

82Вид синусоид имеют многие кривые, изображающие гармонические колебательныепроцессы или являющиеся проекциями винтовых линий.6.5. Циклические кривыеЦиклическими называются кривые, образование которых связано с движением круга, к ним относятся циклоида, эпициклоида, гипоциклоида и др.6.5.1. ЦиклоидаЦиклоидой называется плоская кривая, представляющая собой траекторию движения точки, принадлежащей окружности S радиуса R, перекатываемой без проскальзывания по прямой линии. Окружность S называется производящей окружностью, апрямая M N — направляющей прямой (рис.

83). Прямая EF называется касательнойк циклоиде в точке K ; ее проводят через точку K и верхнюю точку вертикальногодиаметра производящей окружности S1 . Прямая GK называется нормалью циклоиды;34Рис. 83ее проводят через точку K и нижнюю точку вертикального диаметра производящейокружности S1 . Нормаль перпендикулярна касательной.Для построения циклоиды (рис. 84) необходимо от начальной точки A окружностипровести направляющую прямую и отложить на ней отрезок AA1 , равный длине даннойокружности: 2πR. Окружность и отрезок AA1 делят на одинаковое число равных частей(n = 12).

Восстанавливая перпендикуляры из точек деления прямой AA1 до пересеченияс прямой, проходящей через центр данной окружности параллельно AA1 , отмечают рядпоследовательных положений центра перекатываемой окружности O1 , O2 , . . . , O12 .Рис. 84Описывая из этих центров дуги радиуса R, отмечают точки пересечения с нимипрямых, проходящих параллельно отрезку AA1 , через точки деления окружности 1, 2,3 и т. д.На пересечении горизонтальной прямой, проходящей через точку 1, с дугой, описанной из центра O1 , находится одна из точек циклоиды; на пересечении горизонтальнойпрямой, проходящей через точку 2, с дугой, проведенной из центра O2 , находитсядругая точка циклоиды и т. д.6.5.2. ЭпициклоидаЭпициклоидой называется плоская кривая, представляющая собой траекторию движения точки, принадлежащей окружности S радиуса r, катящейся по внешней сторонедуги радиуса R (рис.

85). Окружность S называется производящей окружностью; дугаM N называется направляющей дугой; прямая EF , проведенная через заданную точку K эпициклоиды и верхний конец E диаметра EG производящей окружности S1 ,имеющего радиальное направление (O0 E), называется касательной к эпициклоиде.35Рис. 85Прямая GK , проходящая через точку K и нижний конец диаметра, называется нормалью эпициклоиды.Для построения эпициклоиды производящую окружность и направляющую дугуделят на 12 частей; проводят из всех точек деления окружности концентрическиедуги, центром которых является точка O0 (рис. 86).Рис.

86Находят точки пересечения лучей, выходящих из точки O0 , с окружностью с центром в точке O0 радиуса R + r, отмечают ряд последовательных положений центраперекатываемой окружности O1 , O2 , . . . , O12 .Описывая из этих центров дуги радиуса r, отмечают точки пересечения с нимиконцентрических окружностей, проходящих через точки деления окружности 1, 2,3 и т. д.На пересечении концентрической окружности, проходящей через точку 1, с дугой,описанной из центра O1 , находится одна из точек эпициклоиды; на пересечении концентрической окружности, проходящей через точку 2, с дугой, проведенной из центраO2 , находится другая точка эпициклоиды и т. д.Длина дуги направляющей окружности определяется центральным углом α = 360r/R.В качестве примера эпициклоиды можно указать на часть кривой профиля зубанекоторых зубчатых колес.36Рис.

87Эпициклоида, построенная при условии R = r, называется кардиоидой (рис. 87).Для любого луча, выходящего из точки 5 (см. рис. 87), справедливо равенство12 = 11 21 = 13 = 11 31 = . . . = 2r. На этом основан простой способ построения кардиоиды:через точку 5 проводят лучи и на них от точек пересечения лучей с направляющейокружностью откладывают по обе стороны отрезки одинаковой длины, равные 2r.6.5.3. ГипоциклоидаГипоциклоидой называется плоская кривая, представляющая собой траекторию движения точки, принадлежащей окружности S радиуса r, катящейся по внутренней стороне дуги радиуса R (рис.

88). Окружность S называется производящей окружностью,дуга M N называется направляющей дугой.Рис. 88Прямая EF , проведенная через заданную точку K гипоциклоиды и нижний конецE диаметра EG производящей окружности S1 , имеющего радиальное направление(O0 E), называется касательной к гипоциклоиде. Прямая KG, проходящая через точкуK и верхний конец диаметра EG, называется нормалью гипоциклоиды.Построение гипоциклоиды (рис.

89) аналогично построению эпициклоиды приусловии, что положение центров перекатываемой окружности O1 , O2 , . . . , O12 находятна пересечении лучей, выходящих из точки O0 , с окружностью с центром в точке O0радиуса R − r.Гипоциклоида, полученная при условии R = 4r, называется астроидой (рис. 90).Наиболее простой приближенный способ построения астроиды основан на том, чтоэта кривая является огибающей для промежуточных положений отрезка, имеющегодлину, равную радиусу направляющей окружности, концы которого скользят по сторонам прямого центрального угла. Для построения одной из арок астроиды необходимо37Рис.

89Рис. 90отложить на сторонах прямого угла отрезки равной длины OA и OB (радиус направляющей окружности R), взять на одном из отрезков произвольные точки 1, 2, 3, 4и т. д. и, используя их в качестве центров вспомогательных окружностей (радиуса R),определить точки пересечения дуг этих окружностей с другим отрезком. Соединитькаждую из взятых точек с соответствующей точкой пересечения отрезком прямой ипровести огибающую семейства отрезков.При условии R = 2r гипоциклоида трансформируется в прямую, являющуюся диаметром направляющей окружности.7. ЦИРКУЛЬНЫЕ КРИВЫЕ7.1.

ЗавитокЗавитком называется циркульная кривая, имеющая очертание, близкое к очертаниюэвольвенты окружности. Завиток относится к спиралям.На рис. 91 показано построение завитков из двух, трех и шести центров или, иначеговоря, построение завитков, «глазками» которых являются окружность, правильный38Рис. 91треугольник и правильный шестиугольник. Из указанных видов последний вид завиткаявляется наиболее приближенным очертанием эвольвенты окружности.Порядок построения завитков следующий:1) вычерчивают контур глазка и продолжают стороны фигуры глазка в одном направлении, например против движения часовой стрелки, а для окружности продолжаютгоризонтальную центровую в обе стороны (см.

рис. 91);2) приняв за центры вершины фигуры глазка (для окружности — ее центр и конечную точку диаметра), проводят в направлении движения часовой стрелки ряд сопряженных между собой дуг (центром первой дуги является точка О1 ). Радиус каждойпоследующей дуги увеличивается на радиус первой дуги. Отметим, что, чем большеечисло сторон будет иметь глазок завитка, тем более плавным получится очертаниесамого завитка (рис. 92).Рис.

92На рис. 93 показано очертание спиральной пружины (например, часовой), имеющейформу завитка.Рис. 937.2. ОвалОвалом называется замкнутая выпуклая кривая, состоящая из двух основных дугокружностей, плавно переходящих одна в другую с помощью одинаковых, симметрично расположенных дуг окружностей перехода внутреннего касания.Если основные дуги проведены одинаковыми радиусами, то овал имеет две осисимметрии, а следовательно, и центр симметрии (рис. 94).39Рис. 94Если основные дуги проведены разными радиусами, то овал имеет только одну осьсимметрии и называется овоидом (рис.

95). Овоид можно рассматривать как фигуру,состоящую из половины окружности и половины овала.Рис. 95Очерки овала и овоида относятся к коробовым кривым. Коробовой кривой называется плоская кривая, состоящая из ряда сопряженных дуг окружностей.Способ построения овала зависит от того, какие параметры кривой известны. Еслиизвестны оси овала, построения можно выполнять следующими способами.Способ 1 (рис. 96).