Геометрические построения плоских фигур А.Ю. Горячкина, И.А. Горюнова, страница 4

Пересечение дуг радиусов A1 и 1B дает точку E ,пересечение дуг радиусов А2 и 2В — точку F и т. д. На основании свойств симметрииэллипса относительно большой и малой осей достраивают кривую. Точки A, B , C и Dпересечения кривой с осями называются вершинами эллипса.Рис. 63Способ 2. Если известны большая и малая оси эллипса, то построения выполняютв следующем порядке. На заданных осях эллипса — большой АВ и малой CD —построить как на диаметрах две концентрические окружности (рис. 64).

Одну из нихразделить на 8—12 равных или неравных частей и через точки деления и центр эллипса O провести радиусы до их пересечения с большой окружностью. Через точки 1,2, . . . деления большой окружности провести прямые, параллельные малой оси CD,26Рис. 64а через точки 11 , 21 , . . . деления малой окружности — прямые, параллельные большойоси АВ . Точки пересечения соответствующих прямых принадлежат искомому эллипсу.Способ 3.

Построение эллипса по заданным сопряженным диаметрам (рис. 65).Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряженными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на второмдиаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат напервом диаметре. Если эллипс является образом окружности при аффинном преобразовании, то его сопряженные диаметры являются образами двух перпендикулярныхдиаметров этой окружности.Рис.

65На данных сопряженных диаметрах АВ и CD построить параллелограмм, стороныкоторого параллельны диаметрам АВ и CD. Сопряженный диаметр АВ и сторону P Qпараллелограмма разделить на произвольное, но одинаковое число равных частей. Източек C и D провести последовательно пучки лучей через соответствующие точкиделения. Пересечения пар лучей, проведенных через одноименные точки деления,определяют точки эллипса (например, луч С 2, пересекаясь с лучом D2, образует точкуS эллипса).

Построение нижней части эллипса аналогично. Отметим, что заданныедиаметры AB и CD не являются осями эллипса. Для построения осей M N и KLнеобходимо пересечь линию эллипса окружностью произвольного радиуса с центром вточке О и точки пересечения Е и F соединить хордой EF . Серединный перпендикулярк EF определяет положение малой оси KL эллипса; M N ⊥ KL.27Рис. 66Пример чертежа детали (эксцентрика), имеющей очертания эллипса, показан нарис. 66.6.2. ПараболаПараболой (рис. 67) называется плоская разомкнутая кривая — геометрическое множество точек, одинаково удаленных от данных точки F и прямой M N (не проходящейчерез точку F ).

Точка F называется фокусом, а прямая M N — директрисой (направляющей) параболы; прямая BE , проведенная через фокус перпендикулярно директрисе,называется осью параболы; точка A, лежащая на середине отрезка BF (оси параболы),заключенного между фокусом F и направляющей M N , называется вершиной параболы. Отрезок, соединяющий любую точку C параболы с ее фокусом F , называетсярадиус-вектором параболы; биссектриса угла F CD, составленного перпендикуляромCD, проведенным из любой точки C параболы к директрисе, и радиус-вектором F C тойже точки C , называется касательной в точке C (касательная перпендикулярна отрезкуF D); прямая, проведенная через точку C перпендикулярно касательной, называетсянормалью.Рис.

67Способ построения параболы зависит от заданных параметров.Способ 1. Построение по заданным директрисе и положению фокуса F (рис. 68).Вершина параболы находится в точке A на расстоянии ОА = OF/2. Другие точки кривой определяются пересечением прямых, проведенных из произвольных точек1, 2, . . . параллельно директрисе, с дугами окружностей, центр которых расположенв фокусе F , а радиус равен расстоянию соответствующих точек до директрисы.28Рис. 68Cпособ 2.

Построение по заданным вершине, оси и одной из точек параболы(рис. 69). Из точек A и B провести взаимно перпендикулярные прямые до пересечения в точке С . Отрезки AC и BC разделить на одинаковое число равных частей.Из вершины A провести лучи в точки деления на отрезке BC , а из точек деленияна отрезке АС — прямые, параллельные оси параболы. На пересечении соответствующих прямых отметить точки одной ветви параболы. Точки другой ветви параболысимметричны относительно оси параболы.Рис. 69Способ 3. Построение посредством касательных прямых к параболе в заданныхосях (рис. 70). Оси параболы, исходящие из начальной точки O, могут располагатьсяпод тупым или острым углом. Заданные оси OА и OВ разделить на одинаковое числоравных частей и пронумеровать точки деления.

Точки деления с одинаковыми номера-Рис. 7029ми последовательно соединить прямыми линиями. К полученному семейству прямыхподобрать с помощью лекала огибающую касательную кривую — параболу.6.3. ГиперболаГиперболой называется плоская разомкнутая кривая — геометрическое множествоточек, разность расстояний которых от данных точек F1 и F2 равняется заданномуотрезку AB . Гипербола имеет две симметричные ветви (рис. 71).Рис. 71Прямая, проходящая через точки A и B — вершины гиперболы, называется действительной осью, а середина отрезка AB (точка O) называется центром гиперболы;прямая CD, проведенная через центр гиперболы O перпендикулярно действительнойоси AB , называется мнимой осью.

Точки F1 и F2 , лежащие симметрично (относительномнимой оси) на действительной оси, называются фокусами гиперболы. БиссектрисаM N угла F1 QF2 (точка Q произвольная) является касательной к гиперболе в точке Q,а биссектриса смежного угла EQF2 — нормалью.Касательные к гиперболе, точки касания которых удалены от вершины на бесконечное расстояние, называются асимптотами (T U и GH ).

Для их построения проводятиз вершин A и B прямые, параллельные мнимой оси, до пересечения с полуокружностью, проведенной из центра O радиусом OF1 . Через полученные точки S и P ицентр O проводят прямые — асимптоты. Если асимптоты взаимно перпендикулярны,то гиперболу называют равнобокой.В зависимости от заданных параметров гиперболу строят следующими способами.Способ 1. Построение по заданным вершинам A и А1 и фокусам F и F1 гиперболыпри AF = A1 F1 . На оси гиперболы отметить ряд произвольных точек (рис.

72): 1, 2, . . . ,11 , 21 , . . . Точки гиперболы определяют построением на пересечении дуг, проведенныхиз фокусов F и F1 . Радиусами дуг служат расстояния от точек до вершин гиперболы,например: R1 = А3; R2 = А1 3.Способ 2. Построение по заданной точке М в системе координат Oxy (рис. 73).Через данную точку М провести вспомогательные оси М B и М K , параллельные соответственно осям Ox и Oy . На оси М K выбрать произвольные точки 1, 2, .

. . , черезкоторые провести горизонтальные лучи. Из начала координат O провести через теже точки несколько лучей до пересечения со вспомогательной осью M B в точках30Рис. 72Рис. 7311 , 21 , . . . Опуская из этих точек перпендикуляры на горизонтальные лучи, проведенные из точек 1, 2, . . . , отметить ряд точек, принадлежащих гиперболе.Способ 3. Построение по заданной вершине А и точке С гиперболы (рис. 74).

Източки C опустить перпендикуляр к действительной оси АВ гиперболы и построитьпрямоугольник ABCD. Стороны CB и DС прямоугольника разделить на одинаковоечисло равных частей. На оси гиперболы отложить отрезок ОА = AB и провести двапучка лучей: из точки О — к точкам деления стороны CB , из точки A — к точкам делениястороны CD.

Взаимное пересечение одноименных лучей определяет положение точекгиперболы.Рис. 746.4. СпиралиСпирали — плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или удаляясь от нее.6.4.1. Спираль АрхимедаСпираль Архимеда — плоская кривая, представляющая собой траекторию точки,движущейся с постоянной скоростью от центра окружности O по радиусу, вращающемуся также с постоянной угловой скоростью (рис.

75).Точка O называется полюсом спирали; отрезок OA — шагом спирали; отрезок KL —нормалью спирали, а прямая M N , перпендикулярная нормали, называется касательной. Точка K может располагаться в любом месте спирали, а точку L находят путемпостроения, для чего точку K соединяют прямой с точкой O и в точке O проводят31Рис. 75перпендикуляр к отрезку KO, который пересечет в точке L окружность, проведеннуючерез центр O, радиуса R = t/(2 π).Для построения спирали Архимеда (рис. 76) исходную окружность и ее радиуснужно разделить на одинаковое число равных частей (на рис. 76 n = 8; 1, 2, .

. . , 8 —точки деления радиуса; 1 , 2 , . . . , 8 — точки деления окружности). Через точки деленияна окружности провести из центра O лучи, последовательно откладывая на каждом изних соответствующее число делений радиуса: на первом луче O1 — расстояние O1, навтором луче O2 — расстояние O2 и т. д. Полученный ряд точек I , II, III, IV, V и т.

д.соединить плавной кривой.Рис. 76Спираль Архимеда имеет две ветви. Вторая ветвь получается при вращении радиусаокружности против движения часовой стрелки.На рис. 77 представлен чертеж детали (распределительного кулачка). Очертания егобоковых сторон представляют собой спираль Архимеда.Построение спирали Архимеда на участке между заданными точками представленона рис. 78. Точки A и B заданы радиусами R1 и R2 .Для построения соединить точки A и B с центром O отрезками OA и OB , набольшем радиусе OB отложить отрезок B 1 = R2 − R1 и разделить его на произвольное число равных частей (n = 8). На столько же равных частей разделить угол AOB .32Рис.