Геометрические построения плоских фигур А.Ю. Горячкина, И.А. Горюнова, страница 3

36, б). Центр O дуги сопряжения находится на пересечении двух геометрических множеств точек: вспомогательной прямой, отстоящей отзаданной прямой на величину радиуса R, и дуги́ радиуса R1 −R, проведенной из центраO. Точки сопряжения K и M находятся соответственно в основании перпендикуляраOK и на пересечении продолжения луча O1 O с основной окружностью.16Рис. 364.6. Сопряжение двух окружностей с помощью дуги окружностизаданного радиуса RВнешнее касание (рис. 37). Центр O искомой дуги радиуса R находится на пересечении двух геометрических множеств точек — двух вспомогательных окружностей,описанных из центров O1 и O2 соответствующими радиусами R1 + R и R2 + R.Внутреннее касание (рис.

38). Центр O искомой дуги радиуса R находится на пересечении двух геометрических множеств точек — двух вспомогательных окружностей,описанных из центров O1 и O2 соответствующими радиусами R − R1 и R − R2 .Рис. 37Рис. 38Смешанное касание (внешнее и внутреннее) (рис. 39). Центр O искомой дугирадиуса R находится на пересечении двух геометрических множеств точек — двухвспомогательных окружностей, описанных из центров O1 и O2 соответствующимиРис. 3917радиусами R − R1 и R + R2 . Для всех случаев точки сопряжения K и M лежат налиниях, соединяющих центры сопрягаемых окружностей.4.7.

Построение касательной к окружности, проведенной через заданную точку,лежащую вне окружностиСпособ 1 (рис. 40). Точки сопряжения K и K1 расположены на окружности при еепересечении со вспомогательной окружностью, диаметр которой равен AO (вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, следовательно, угол OKAпрямой, AK — касательная).Рис. 40Рис.

41Способ 2 (рис. 41). Точка сопряжения К расположена на окружности при ее пересечении с отрезком OC . Точка C — точка пересечения первой вспомогательной окружности с центром в точке O, радиус которой в 2 раза больше радиуса заданной окружности, и второй вспомогательной окружности с центром в точке A радиуса AO (точкаK является серединой отрезка OC основания равнобедренного треугольника CAO,следовательно, угол OKA прямой, AK — касательная).Способ 3 (рис. 42). Точка сопряжения K расположена на окружности при ее пересечении с отрезком OC . Точка C — точка пересечения вспомогательной окружности сцентром в точке O радиуса OA с касательной t (треугольники OP C и OKA конгруэнтны,так как имеют общий угол при вершине O, заключенный между равными сторонамиOP = OK , OC = OA, но треугольник OP C прямоугольный (угол при вершине P = 90◦ ),поэтому угол К = 90◦ , AK — касательная).Рис.

42Рис. 43Способ 4 (рис. 43). Точка сопряжения K получена вращением вокруг точки Oкасательной t в произвольной точке С заданной окружности до совмещения точки Nс точкой A. Точка С займет положение точки K ; AK — касательная.184.8. Построение касательной к двум окружностямЭта задача сводится к задаче на построение касательной к окружности, проведеннойчерез заданную точку, лежащую вне окружности (см. разд.

4.7).Внешнее касание (рис. 44). Из центра O1 большей окружности построить вспомогательную окружность радиуса R1 − R2 . Разделить отрезок O1 O2 пополам в точкеO и провести вторую вспомогательную окружность радиуса R = OO1 . Точка B пересечения вспомогательных окружностей определяет направление радиуса O1 K1 , гдеK1 — искомая точка сопряжения для окружности радиуса R1 . Для построения точкисопряжения K2 для окружности радиуса R2 достаточно из центра O2 провести радиусO2 K2 параллельно радиусу O1 K1 до пересечения с окружностью радиуса R2 .Рис. 44Рис. 45Внутреннее касание (рис.

45). Из центра O1 большей окружности построить вспомогательную окружность радиуса R1 +R2 . Далее выполнить построения в соответствиис рис. 44.4.9. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряженияпроходит через заданную точку на окружностиЦентр дуги сопряжения O1 (рис. 46, а — внешнее касание; рис. 46, б — внутреннеекасание) определяется точкой пересечения прямой OA, проведенной через точку сопряжения A и центр O заданной окружности, и биссектрисы угла ABK , образованногокасательной AB в точке сопряжения A и заданной прямой t. Радиус сопрягающей дугиравен расстоянию O1 A; O1 K ⊥ t, где точка K — точка сопряжения на прямой t.Рис.

46194.10. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряженияпроходит через точку на прямойЦентр дуги сопряжения O1 (рис. 47, а — внешнее касание; рис. 47, б — внутреннеекасание) определяется точкой пересечения перпендикуляров m и n; m — перпендикулярк прямой t, проведенный через точку A; n — серединный перпендикуляр к отрезкуOB (отрезок AB равен радиусу R заданной окружности). Поскольку точка касаниядвух окружностей находится на линии, соединяющей их центры, то точка K — точкасопряжения; O1 K — радиус дуги сопряжения.Рис. 474.11. Сопряжение двух неконцентрических дуг окружностейтретьей дугой заданного радиуса RДаны две дуги, описанные из центров O1 и O2 радиусами R1 и R2 . Для сопряженияих дугой заданного радиуса R (рис.

48) проведем из тех же центров две вспомогательные дуги радиусов R1 + R и R2 − R. Пересечение этих дуг позволяет определитьискомый центр сопряжения — точку O. Точки сопряжения K и M лежат на линиях,соединяющих центр сопряжения и соответствующие центры дуг.Рис. 484.12. Сопряжение окружности в заданной точке с окружностью,проходящей через заданную точкуЦентр О1 дуги сопряжения (рис. 49, а — внешнее касание; рис. 49, б — внутреннее касание) определяется точкой пересечения прямой, проведенной через центр Oи заданную точку сопряжения B , с перпендикуляром, восстановленным из серединыхорды AB ; O1 B — радиус искомой окружности.20Рис.

494.13. Сопряжение двух параллельных прямых двумя дугамипри заданных точках сопряженияДля построения центров сопряжения O1 и O2 (рис. 50) заданные точки сопряжения A и B соединены отрезком AB . На отрезке AB выбрана произвольная точка M .Восстановлены серединные перпендикуляры к отрезкам AM и M B . Искомые центрысопряжения O1 и O2 находятся в точках пересечения серединных перпендикуляров ссоответствующими перпендикулярами, проведенными к заданным прямым из точексопряжения A и B .

Радиусы сопрягаемых дуг: R1 = O1 A; R2 = O2 B . Касание дугпроисходит в точке M , находящейся на линии центров O1 O2 . Если AM = M B , тоR1 = R 2 .Рис. 50Примеры использования сопряжений в инженерной практике представлены на рис.51 и 52.Рис. 5121Рис. 525. УКЛОНЫ И КОНУСНОСТЬ5.1. Уклоны. Обозначение, построениеУклоном прямой по отношению к какой-либо другой прямой называется величинаее наклона к этой прямой, выраженная через тангенс угла между ними (рис. 53).Рис. 53Обозначение уклонов на чертеже выполняют в соответствии с ГОСТ 2.307–2011«Нанесение размеров и предельных отклонений».

Уклон указывают с помощью линиидолженвыноски, на ее полке наносят знак уклона и его значение. Знак уклонасоответствовать уклону определяемой линии: одна из прямых знака уклона должнабыть горизонтальной, а другая — наклоненной в ту же сторону, что и определяемаялиния уклона. Угол уклона линии знака составляет примерно 30◦ . На чертеже уклоныуказывают либо в процентах (рис. 54), либо дробью в виде отношения двух чисел(рис. 55). Незначительный уклон допускается изображать на чертеже с увеличением.Прямую заданного уклона b : a (по отношению к горизонтальной линии) проводятчерез точку А следующим образом (рис. 56). Из данной точки А проводят горизонтальный луч и на нем от точки А откладывают длину a (равную числовому значениюделителя в выражении данного уклона) — получают точку В , через которую проводятвертикальную линию, и на ней от точки В откладывают длину b (численно равнуюзначению делимого в выражении данного уклона) — получают точку С .

Прямая, проведенная через точки А и С , будет иметь требуемый уклон.22Рис. 54Рис. 55Рис. 565.2. Конусность. Обозначение, построениеКонус вращения определяется двумя размерами; усеченный конус определяетсятремя размерами (рис. 57), задаваемыми в зависимости от условий различным образом:углом α или α/2, одним из диаметров и размером L.Рис. 57Конусностью C называется отношение разности диаметров двух поперечных сечений конуса вращения к расстоянию между ними (см. рис. 57).

Это отношение равноудвоенному тангенсу половины угла при вершине конуса, т. е. конусность равна удвоенному уклону образующей конуса к его оси.23Нормальные конусности и углы конусов выбирают из ряда значений, установленныхГОСТ 8593–81 «Нормальные конусности и углы конусов».В конических соединениях, т. е. в случаях, когда конический стержень вставляют вконическое отверстие, конусность указывают обязательно (рис. 58).Рис. 58Конусность может быть задана отношением двух чисел (см. рис.

58) или десятичнойдробью (рис. 59). Знак конусности , острый угол которого должен быть направлен всторону вершины конуса, наносят перед размерным числом, располагая в зависимостиот положения оси конуса так, как показано на рис. 60.Определение конусности по чертежу и проведение наклонных линий — образующихконуса — согласно данному числовому значению конусности аналогично определениюуклонов и проведению прямых заданного уклона.Рис. 59Рис. 60246. ЛЕКАЛЬНЫЕ КРИВЫЕВсе множество плоских кривых можно подразделить на лекальные и циркульныекривые. Лекальную кривую можно рассматривать как линию, состоящую из бесчисленного количества бесконечно малых дуг окружностей при постепенном измененииместа их центров и радиусов кривизны. К лекальным кривым относятся кривые второго порядка, спирали, циклические кривые и др.Среди лекальных кривых наибольший интерес представляют кривые второго порядка: эллипс, парабола и гипербола.Эти плоские кривые линии можно получить как линии пересечения прямого кругового конуса с плоскостями, различно расположенными по отношению к оси конуса,поэтому эти кривые называют кривыми конических сечений (рис.

61).Рис. 61Если угол наклона секущей плоскости к оси конической поверхности равен углунаклона прямолинейной образующей к этой оси, в сечении получается парабола. Еслиугол наклона секущей плоскости к оси конической поверхности меньше угла наклона образующей конической поверхности к этой оси, секущая плоскость пересечетповерхность по гиперболе.

Если угол наклона секущей плоскости к оси коническойповерхности больше угла наклона образующей конической поверхности к этой оси,секущая плоскость пересечет поверхность по эллипсу.6.1. ЭллипсЭллипсом называется плоская замкнутая кривая — геометрическое множество точек,сумма расстояний от которых до заданных точек F1 и F2 равна длине заданного отрезкаAB , проведенного через точки F1 и F2 так, чтобы отрезок AF1 был равен отрезку F2 B(рис. 62).В то же время, эллипс есть равномерно сжатая к своему диаметру окружность, всеточки которой приближаются к выбранному диаметру так, что расстояния до диаметрауменьшаются в одно и то же число раз. Отрезок AB называется большой осью эллипса,а точки F1 и F2 — фокусами эллипса.

Отрезок CD, проведенный через середину большой оси (центр эллипса O) перпендикулярно к ней, называется малой осью эллипса.Биссектриса угла F1 KF 2 называется нормалью эллипса, а биссектриса смежного с нимугла F2 KM — касательной эллипса.25Рис. 62Способ построения эллипса зависит от того, какие параметры кривой известны.Рассмотрим несколько способов.Способ 1. Заданы большая ось и фокусное расстояние (рис. 63). На отрезке ABмежду центром O и одним из фокусов (на рис. 63 — F1 ) выбирают точки 1, 2, 3 , каждая из которых разделит отрезок AB на две неравные части. Из фокуса F1 , как изцентра, строят дуги окружностей радиусов A1, A2 и A3, а из фокуса F2 — соответствующие дуги радиусов 1B , 2B и 3B .