Геометрические построения плоских фигур А.Ю. Горячкина, И.А. Горюнова, страница 2

23Отрезки A1 = A2 и C 1 = D2 соответственно равны сторонам правильных вписанныхшестиугольника и двеннадцатиугольника. Для построения недостающих вершин многоугольников достаточно провести из противоположного конца диаметра окружности(в нашем случае — из точки B ) дугу того же радиуса R до пересечения с окружностью.3.4. Деление окружности на четыре и восемь частейПровести два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD (рис.

24). ОтрезкиAC = CB = BD = DA, соединяющие концы диаметров, являются сторонами правильного вписанного четырехугольника.10Рис. 24Для деления окружности на восемь частей необходимо построить перпендикуляры ксерединам сторон четырехугольника и продолжить их до пересечения с окружностью.Отрезок AM — сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность.3.5. Деление окружности на пять и десять частейПровести два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD (рис.

25) и разделитьрадиус OB пополам в точке M . Из точки M , как из центра, провести дугу радиуса M Cдо пересечения ее с диаметром AB в точке K . Отрезок CK равен стороне правильного вписанного пятиугольника, отрезок OK равен стороне правильного вписанногодесятиугольника.Рис. 253.6. Деление окружности на семь частейИз точек A и B концов горизонтального диаметра AB (рис.

26) провести дуги радиуса R = AO = BO и отметить точки их пересечения 1 и 2 с исходной окружностью.Рис. 2611На пересечении хорды 12 с радиусом OD отметить точку M . Отрезок OM равен сторонеправильного вписанного семиугольника. Для его построения измерителем последовательно отложить соответствующие отрезки на исходной окружности.3.7. Деление окружности на n равных частейПровести в окружности заданного радиуса R два взаимно перпендикулярных диаметра AB и С D (рис. 27) и разделить один из диаметров, например CD, на заданноечисло равных частей (n = 9). Из точек C и D, как из центров, провести дуги окружностей радиуса 2R до их пересечения с диаметром AB в точках K и M .Рис.

27Используя полученные точки K и M в качестве центров, провести семейство лучейчерез четные или нечетные (как в нашем случае) точки деления диаметра CD допересечения с заданной окружностью. Полученные на окружности точки 1, 2, . . . ,9 — искомые точки деления окружности на заданное число частей. Описанный способприближенный; дуги, на которые разделена окружность, в действительности не равныодна другой. Однако погрешность не превышает 0,01 R, что для практических целейможно считать достаточным.3.8.

Построение правильных многоугольников по заданной сторонеСторону AB (рис. 28) разделить точкой O пополам и восстановить в этой точкеперпендикуляр к отрезку AB . Из точек A и B провести дуги радиуса R = AB допересечения их в точке 1. Треугольник A1B — искомый равносторонний треугольник.Для построения квадрата надо восстановить в точках A и B перпендикуляры котрезку AB и продолжить их до пересечения в точках C и D с дугами радиуса R = AB .Квадрат ACDB искомый.В квадрате ACDB провести диагонали и отметить точку 2 их пересечения.

Разделитьрасстояние между точками 1 и 2 пополам точкой 3, которая будет служить центромокружности для вписанного в нее правильного пятиугольника со стороной AB .Последовательно откладывая расстояние 13 от точки 1 вверх по перпендикуляру,отметить точки 4, 5, 6, . . . , n, которые будут служить центрами окружностей для12Рис. 28построения соответственно семи-, восьми-, девятиугольника и т. д.

с заданной стороной AB . Радиусами проводимых при этом окружностей являются расстояния от точкиA до соответствующих центров.4. СОПРЯЖЕНИЯ4.1. Алгоритм построения cопряженийСопряжение — плавный переход одной линии в другую либо непосредственно,либо с помощью промежуточных дуг окружностей, называемых дугами сопряжения,радиусы в этом случае называют радиусами сопряжения.Точка сопряжения — общая точка двух сопрягающихся линий, в которой одна линияпереходит в другую и через которую проходит их общая касательная.Центр сопряжения — центр дуги окружности, сопрягающей две линии.

Его находятна пересечении двух геометрических фигур, каждая из которых является множествомточек плоскости, равноудаленных на заданное расстояние от одной из сопрягаемыхлиний.Построения сопряжений с непосредственным переходом одной линии в другуюявляются не чем иным, как построением касательных: прямой, касательной к окружности, и окружности, касательной к другой окружности.Рассмотрим переходы:а) прямой в дугу окружности (или дуги окружности в прямую) (рис. 29). Точкойсопряжения K является точка касания, она находится в основании перпендикуляра,опущенного из центра O окружности на данную прямую.

Где бы ни была проведенаокружность радиуса R, плавно переходящая в данную прямую, всегда расстояние от еецентра O до заданной прямой равно R, т. е. геометрическим множеством центров Oявляется прямая, проведенная параллельно данной прямой на расстоянии радиуса R;б) одной дуги окружности внешнего касания в другую (рис. 30). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от ихобщей касательной.

Точкой сопряжения K является точка касания, она находится напересечении сопрягаемых дуг линией их центров OO1 . Где бы ни была проведена дуга13Рис. 29Рис. 30окружности радиуса R, расположенная с внешней стороны данной дуги окружностирадиуса R1 и плавно переходящая в данную дугу, всегда расстояние от ее центра Oдо данной дуги равно ее радиусу R.

Следовательно, геометрическим множествомцентров O таких дуг окружностей будет концентрическая дуга окружности, расположенная с внешней стороны данной дуги на расстоянии радиуса R. Радиус этойдуги, а следовательно и расстояние между центрами O и O1 , равен сумме радиусовR1 + R сопрягаемых дуг;в) одной дуги окружности внутреннего касания в другую (рис.

31). Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону отих общей касательной. Точкой K сопряжения является точка касания сопрягаемыхдуг, она находится на пересечении этих дуг линией, являющейся продолжением линиицентров OO1 . Где бы ни была проведена дуга окружности радиуса R, расположеннаявнутри данной дуги окружности радиуса R1 и плавно переходящая в данную дугу,всегда расстояние от ее центра O до данной дуги равно ее радиусу R. Следовательно, геометрическим множеством центров O таких дуг будет концентрическая дугаокружности, расположенная внутри данной дуги и отстоящая от нее на величинурадиуса R, т.

е. радиус этой дуги (а следовательно, и расстояние между центрами O1 иO) будет равен разности радиусов R1 − R.На основании изложенного можно сформулировать алгоритм построения сопряжения двух линий при заданном радиусе сопряжения:1) построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряженияот первой из сопрягаемых линий;14Рис. 312) построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряженияот второй из сопрягаемых линий;3) определение центра сопряжения на пересечении этих множеств;4) определение точек сопряжения на сопрягаемых линиях; проведение дуги сопряжения между точками сопряжения.4.2. Построение прямой, касательной к окружностиПрямая, касательная к окружности, составляет угол 90◦ с радиусом, проведеннымв точку касания. Таким образом, для построения прямой t, касающейся окружностив заданной точке A, надо провести искомую прямую перпендикулярно радиусу OA(рис.

32).Рис. 32Для проведения касательной к окружности, параллельной заданной прямой b, достаточно найти точку сопряжения M на пересечении заданной окружности с перпендикуляром к прямой, опущенным из центра O: b ⊥ OB ; k ⊥ OB ; k||b.4.3. Сопряжение пересекающихся прямых с помощью дуги окружностизаданного радиуса RДля нахождения центра O сопрягающей окружности (рис. 33) строим геометрическое множество точек, отстоящее от прямой m на расстояние R.

Строим геометрическоемножество точек, отстоящее от прямой n на расстояние R. На пересечении двух множеств находим точку O — центр дуги сопряжения. Точки сопряжения A и B лежат в15Рис. 33Рис. 34основании перпендикуляров, проведенных к исходным прямым, и ограничивают дугусопряжения.Если положение одной из точек сопряжения задано (рис. 34, точка A), а радиуссопряжения не указан, то искомый центр O находится на пересечении перпендикулярак прямой, проведенного из точки A, и биссектрисы угла, образованного заданнымипрямыми (построение биссектрисы см.

на рис. 13).4.4. Сопряжение трех пересекающихся прямыхПоложение центра сопрягаемой окружности (рис. 35) определяется точкой пересечения биссектрис углов. Радиус окружности (дуги́ сопряжения) равен длине перпендикуляра, опущенного из центра O на любую из трех заданных прямых.Рис. 354.5. Сопряжение окружности и прямой с помощью дуги окружностизаданного радиуса RВнешнее касание (рис. 36, а). Центр O дуги сопряжения находится на пересечениидвух геометрических множеств точек: вспомогательной прямой, отстоящей от заданнойпрямой на величину радиуса R, и дуги́ радиуса R1 + R, проведенного из центра O1 .Точки сопряжения K и M находятся соответственно в основании перпендикуляра OKи на пересечении прямой O1 O с основной окружностью.Внутреннее касание (рис.