Методические указания, страница 6

Для них справедливрезультат предыдущего первого пункта. Заметим, что в формуледля общего решения m − ю гармонику ряда (7) следует заменитьна полученную (8) резонансную гармонику.∞Cn3ω  5πn πnxu ( x, t ) = ∑ (1 − δmn )ωttsin−sinsin+2n5π335πnn =12 −ω 3 C5πmπmx 3Cm+sint − t m cos ωt  sin2ω310mπω 3Получается, что на резонансной гармонике мы имеем линейнуюзависимость амплитуды от времени, т.е.

при t → ∞ амплитудаустремляется в бесконечность. В реальных физических системахвсегда имеется трение и неограниченный рост по времени неимеет места.534.2.3. Однородное волновое уравнение с неоднородными граничными условиямиРассмотрим смешанную краевую задачуutt = a 2u xx , x ∈ (0, l ), t > 0 ;u ( x,0) = 0, ut ( x,0) = 0 ; u (0, t ) = μ1 (t ), u (l , t ) = μ2 (t ) .Эту задачу, путем замены неизвестной, можно свести к изученной в разделе 4.2.1 задаче с нулевыми краевыми условиями.Представим искомое решение в видеu =V +W ,где функцию W ( x, t ) выберем таким образом, чтобы дляV = u − W получить задачу с однородными граничными условиями.

Легко проверить, что функцияxl−xμ1 (t )W = μ2 (t ) +llудовлетворяет краевым условиям W (l ) = µ 2 , W (0 ) = µ1 .Осуществив эту замену получаем смешанную краевую задачу снулевыми краевыми условиямиVtt = a 2Vxx − Wtt ,V ( x,0 ) = −W ( x,0), Vt ( x,0) = −Wt ( x,0 ); V (0, t ) = 0, V (l , t ) = 0.5. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА5.1. Уравнение Гельмгольца в декартовых координатахРассмотрим трехмерное волновое уравнениеutt = a 2Δu .Будем искать периодическое по времени решениеu ( x , t ) = e − iωtV ( x ),где ω - круговая частота колебаний.

Произведя дифференцирование по времени utt = −ω2e −iωtV ( x ) , и сокращая на временноймножитель, получим уравнение Гельмгольца54ΔV + k 2V = 0, k =ω.a5.1.1 Одномерные бегущие волныПусть x ∈ R1 . Тогда решение одномерного уравненияVxx + k 2V = 0имеет видV ( x ) = C1eikx + C2e −ikx ,а с учетом временного множителяu ( x, t ) = C1ei (kx − ωt ) + C2 e − i (kx + ωt ) .Такое решение называется бегущими слева направо (первое слагаемое) и справа налево (второе слагаемое) гармоническимиволнами.5.1.2. Пространственные плоские бегущие волныПусть x ∈ R 3 . Рассмотрим трехмерный векторk = (k x , k y , k z ), k2= k x2 + k y2 + k z2 = k 2 ,Рис. 4Трехмерное решение уравнения Гельмгольца(i k x+k y+k z)(−i k x + k y + k z)V ( x, y, z ) = C1e x y z + C2e x y zпредставляется в виде суммы бегущей по направлению волновоговектора (первое слагаемое) и против направления волнового век-55тора (второе слагаемое) гармонических плоских волн.

Волныназываются плоскими потому, что фронт волны представляет собой плоскость, перпендикулярную волновому вектору k (рис. 4).В двумерном случае нужно положить k z = 0 . Фронт волны - прямая, перпендикулярная волновому вектору.5.2. Волноводное распространение волнРассмотрим слой в плоскости (x,y) , неограниченно простирающийся вдоль оси х , рис.5. Предположим, что слой заполнен средой с диэлектрической и магнитной проницаемостью равными единице, а границы слоя y=0, y=l - идеально проводящие.Рис.5Будем искать решения, периодически меняющиеся по времени exp(−iωt ) . Обозначим V(x,y) - компоненту поляризационного потенциала, направленную вдоль оси х. Тогда из уравненийМаксвелла следует краевая задача для уравнения Гельмгольца∆V + k 2V = 0, x ∈ (− ∞,+∞ ), y ∈ (0, l ),V ( x,0 ) = V ( x, l ) = 056ω- волновое число, с – скорость света в среде.cРешение задачи будем искать в виде бегущих по оси х волнV = eiαxW ( y ) .Подставляя это выражение в уравнение Гельмгольца получаемдля поперечной функции задачу Штурма-Лиувилля с условиемДирихлеW ′′ + k 2 − α2 W = 0, x ∈ (0, l ),W (0 ) = W (l ) = 0.222Введем обозначение λn = k − α .

Тогда, использую результатыπnраздела ( 2.3 ) , получаем λn =− собственные значения краеlвой задачи, Wn = sin λn y − собственные функции краевой задачи.Итак, бегущие волны имеют вид: πn Vn = eiα n x sin  y  . l Такие волны называются нормальными волнами волновода. Еслиα n - действительно, то волна не затухает вдоль оси x .Для фиксированной частоты всегда существует конечное числовещественных α n , удовлетворяющих условиюπnπnk ≥ , ω≥c.llИнтересно отметить, что фазовая скорость распространяющихсянормальных волн больше скорости светаωcv==> c.22k −λ1− λnn /kЭтот факт не противоречит теории относительности, так какгрупповая скорость все равно меньше скорости светас22vгруп == c 1− λn /k <c.vгде k =()57Для каждой распространяющейся нормальной волны волноводасуществует так называемая критическая частотаπnωкр =c.lЕсли ω < ωкр , то волна, заданного номера будет нераспространяющейся в волноводе ( α n = iβ n ) и будет экспоненциально затухать с расстоянием по x :πnyVn = e −βn x sin.lВидно, что на частотах, ниже первой критической частоты, волновод не имеет распространяющихся бегущих волн (говорят, чтоволновод заперт).Волноводы предназначены для распространения волн набольшие расстояния практически без затухания, но распространяться по волноводу могут лишь волны с частотой, превышающей критическую ω кр , которая определяется параметрами волновода.5.3.

Цилиндрические бегущие волны, φ, z ) уравнение ГельмВ цилиндрических координатах ( ρгольца имеет вид1  ∂  ∂V   1 ∂ 2V ∂ 2V  ρ   + 2+ 2 + k 2V = 0 .2ρ ∂ρ ∂ρ  ρ ∂φ∂zРассмотрим случай осевой симметрии, когда решение зависит только от радиальной координаты. Тогда уравнение Гельмгольца превращается в уравнение Бесселя нулевого порядка∂ 2V 1 ∂V2++kV = 0.∂ρ 2 ρ ∂ρОбщее решение этого уравнения можно записать в видеV (ρ) = C1H 0(1) (kρ) + C2 H 0(2 ) (kρ) ,58где H 0(1) (kρ ) и H 0(2 ) (kρ ) - функции Ханкеля первого и второго родаH 0(1) (kρ ) = J 0 (kρ ) + iN 0 (kρ ) , H 0(2 ) (kρ ) = J 0 (kρ ) − iN 0 (kρ ),J 0 (kρ ) - функция Бесселя нулевого порядка, N 0 (kρ ) - функцияНеймана нулевого порядка. Приведенный выше вариант общегорешения уравнения Бесселя, в отличие от варианта раздела 2.3,используется в неограниченных областях. Слагаемые имеют следующий физический смысл: e −iωt H 0(1) (kρ) - расходящаяся бегущая цилиндрическая волна, а e − iωt H (2 ) (kρ) - сходящаяся бегущая0цилиндрическая волна.

Фронты волн- цилиндрические поверхности радиуса kρ.5.4. Сферические бегущие волны, φ, θ) уравнение ГельмгольцаВ сферических координатах ( ρимеет вид1 ∂  2 ∂V 1∂ 2V1∂ ∂V 2ρ++sinθ+k V =02 ∂ρ2222∂θρ  ∂ρ ρ sin θ∂ φ ρ sin θ∂θРассмотрим случай сферической симметрии: V = V (ρ ) .

Тогда получим2V ′′ + V ′ + k 2V = 0 .ρНайдем общее решение этого уравнения. Сделаем замену неизвестной и ее производных′ρ− χ χ′ χ′′ρ− χ′ χ′ρ2 − χ2ρχχχ, подстаV = , V′ == − 2 , V ′′ =−ρρ ρρ2ρ2ρ4′′χχвим в уравнение, приведем подобные и получим+ k2 = 0.ρρОтсюда следует уравнение59′′ + k 2 χ= 0 ,χрешение которого можно взять в форме одномерных бегущихволн, раздел 5.1.1.

Следовательно, общее сферически симметричное решение уравнения уравнения Гельмгольца можно записать в видеC1eikρ C2e − ikρV(ρ) =+.ρρПолученные решения имеют следующий физический смысл:C1eikρ− iωt- уходящая на бесконечность сферическая волна,ρC2e − ikρ− iωt- приходящая из бесконечности сферическая волна.ρ5.5. Подстановка внешней краевой задачи для уравненияГельмгольца. Условия излучения ЗоммерфельдаВведем обозначения: D - ограниченная замкнутая область сгладкой границей Г, x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ D ⊂ R 3 , n- внешняя нормальк границе. Внешняя краевая задача для уравнения Гельмгольцаставиться так: найти решение уравнения во внешности области D, удовлетворяющее краевому условию на поверхности ГΔV + k 2V = f ( x ), x ∈ R 3 \ D;∂V = φ( x ) αV + β ∂nx∈Γи условиям излучения Зоммерфельда на бесконечности601 , x → ∞,()Vx=Ox 1 ∂V .−ikV=o∂ xx Отметим, что только одного условия стремления поля набесконечности к нулю недостаточно для существования единственного решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца.Зоммерфельд, из физических соображений, предложил считатькраевым условием на бесконечности наличие только уходящихсферических волн.

Это предположение позволило Зоммерфельдусоздать основы строгой теории математической дифракции.Библиографический список.1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математическойфизики. – М.: Наука, 1972.-735 с.2. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математическойфизики.

– М.: Физматлит, 2004.-398 с.3. Сборник задач по уравнениям математической физики/ подредакцией Владимирова В.С. – М.: Физматлит, 2001.-286 с.4. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. –М.: Наука, 1985.-310 с.Содержание:Введение3Типовой расчет71. Квазилинейные и линейные уравнения в частныхпроизводных141.1Линейные уравнения в частных производных первого порядка151.2Квазилинейные уравнения в частных производных первогопорядка18611.3Классификация квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка201.4Задача Коши для линейных уравнений в частных производных 2-го порядка252.

Задача Штурма-Лиувилля262.1Постановка задачи262.2Основные свойства решений272.3Частные случаи задачи Штурма-Лиувилля293. Уравнение Лапласа и Пуассона333.1Основные краевые задачи для уравнения Пуассона333.2Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге 363.3Решение уравнения Лапласа в цилиндрическихкоординатах403.4Решение уравнения Лапласа в сферических координатах 424. Смешанные краевые задачи для волнового уравнения434.1Постановка основных задач.

Классические решения434.2Колебания струн конечной длины444.2.1 Метод Фурье для однородного волнового уравнения 444.2.2 Вынужденные колебания. Метод собственных функций474.2.3 Однородное волновое уравнение с неоднороднымиграничными условиями535. Уравнение Гельмгольца53Уравнение Гельмгольца в декартовых координатах535.1.1 Одномерные бегущие волны545.1.2 Пространственные плоские бегущие волны545.2Волноводное распространение волн555.3Цилиндрические бегущие волны575.4Сферические бегущие волны585.5Постановка внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца. Условия излучения Зоммерфельда59.