Методические указания, страница 2

Шар0≤ ρ≤ l,0≤θ ≤ π, u(l,θ)=U 0 sin 2 θ + 3 cosθ .5. Цилиндр 0≤ρ ≤1/2,0≤z ≤ h,u(l,z)=0, u(ρ,0)=0,u(ρ,h)= J 0 (2ξ 2 ρ ).()()6. Цилиндр 0≤ρ ≤ l,0≤z ≤ h,u(l,z)=0, u(ρ,0)= l 2 − ρ 2 ,u(ρ,h)=0.7. Цилиндр 0≤ρ ≤ 1,0≤z ≤ 2,u(l,z)=sin5πz, u(ρ,0)=0,u(ρ,h)=0.8.Шар0≤ ρ ≤ l,0≤θ ≤ π,u(l,θ)=U 0 3 cos2 θ + 5 cosθ − 4 .9.

Цилиндр 0≤ρ ≤ 2,0≤z ≤ 3,u(2,z)=0, u(ρ,0)=0,u(ρ,3)= 4 − ρ 2 .10. Цилиндр 0≤ρ ≤ 2,0≤z ≤ 3,u(2,z)=0, u(ρ,0)=2u(ρ,3)= 0.4−ρ , z11. Цилиндр 0≤ρ ≤ l,0≤z ≤ h,u(l,z)=z 1 −  , u(ρ,0)=0, hu(ρ,h)=0.12. Шар0≤ ρ ≤ 5,0≤θ ≤ π, u(5,θ)= (3 + 5 cos 2θ ) .13. Цилиндр 0 ≤ ρ ≤ l,0≤z ≤ h,u(l,z)=0, u(ρ,0)=0,((()))()22u(ρ,h)= l − ρ .1114. Цилиндр0≤ρ ≤ l,0≤z ≤ h,u(l,z)=0,u(ρ,0)=22u(ρ,h)=0.4l −ρ ,15.

Цилиндр0≤ρ ≤ l,0≤z ≤ 1/2,u(l,z)=sin4πz,u(ρ,0)=0,u(ρ,h)=0.16. Шар0≤ ρ ≤ l,0≤θ ≤ π, u(l,θ)=U 0 5 − 3 sin 2 θ .0≤z ≤ 2,u(1,z)=0, u(ρ,0)=0,17. Цилиндр 0≤ρ ≤ 1,u(ρ,2)= U 0 1 − ρ 2 .0≤z ≤ 2,u(1,z)=0, u(ρ,0)=18. Цилиндр 0≤ρ ≤ 1,U0 1− ρ 2 ,u(ρ,2)=0.19. Цилиндр0≤ρ ≤ l,0≤z ≤ h,u(ρ,0)=0,u(ρ,h)=0,h zU,0≤z≤, 0 h2u(l,z)= U 0 1 − z , h ≤ z ≤ h.  h  2()((()))20. Шар()0≤ ρ ≤ l, 0≤θ ≤ π, u(l,θ)=U 0 8 − 3 cosθ + 5 cos2 θ .Задача5.

Решить задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца∆U + k 2U = 0 , внутри круга 0≤ρ ≤ l , U 0 -константа..4.U | ρ =l = U 0 (8 + 5 cos 2ϕ − sin 3ϕ ). .1U |ρ =3 = 27 sin 3ϕ + sin 2ϕ .91U |ρ = 4 = 1 − 16 cos 2ϕ + cos 3ϕ .64U |ρ =l = U 0 (5 + 2 cos ϕ − sin ϕ ) .5.U |ρ = l = U 0 cos 2 2ϕ .6.U |ρ =l = U 0 sin 2 2ϕ .11U |ρ = 2 = 3 + cos 2ϕ + sin 3ϕ .241.2.3.7.12U | ρ =l = U 0ϕ (ϕ − 2π ) , 0≤ϕ ≤ 2π.ϕ9.U |ρ =l = U 0 ,0≤ ϕ ≤ 2π.πϕ210.0≤ ϕ ≤ 2π.U |ρ = l = U 0 2 ,π111.U | ρ = 4 = 1 + 8 cos ϕ + sin ϕ .212.U |ρ = 6 = 1 + 6 cos ϕ + 36 sin 2ϕ .8.14.15.16.17.1U |ρ =l = U 0  2 + cos ϕ  .lU |ρ =3 = 1 + 3 cos ϕ + 3 sin ϕ + 9 cos 2ϕ .U |ρ =5 = 1 + 5 cos ϕ + 25 cos 2ϕ + 125 cos 3ϕ .U |ρ =10 = 1 − 10 cos ϕ + 100 sin 2ϕ .U |ρ =3 = 1 − 9 cos 2ϕ + 81sin 4ϕ .18.U |ρ=l = U 0 (1 + φ ) ,13.0≤ϕ ≤ 2π.19.U |ρ= l = U 0 (2π− φ )φ, 0≤ϕ≤ 2π.20.U |ρ =l = U 0 (9 + 4 cos ϕ − sin 3ϕ ).Задача 6.

Найти решение смешанной краевой задачи для волнового уравнения с заданными начальными условиями∂ 2u∂ 2u=+ f ( x, t ), 0 < x < l , u ( x,0) = φ( x ), ut ( x,0) = ψ( x)∂ t 2 ∂x 2и нулевыми краевыми условиями на концах отрезка x=0, x= l . Втаблице введено обозначение x,0 ≤ x ≤ l / 2,f( x )= l − x, l / 2 ≤ x ≤ l.13n1234567891011121314151617181920lπ /2111π /2πππππ1111112l11ϕ ( x)ψ ( x)f(x,t)x=0f ( x)0sin4tsin2x u(0,t)=0exp3t0u x (0, t ) = 0cosπxsin π x/20sin7 π x/2 u(0,t)=00cos3 π x/2 cos5 π x/2 u x (0, t ) = 0f ( x)0cos3tsin4x u(0,t)=050cosxsin2t u x (0, t ) = 0sin5x/20cos5tsinx/2u(0,t)=00cos5x/2 exptcosx/2 u x (0, t ) = 0f ( x)0costsin2x u(0,t)=005exptu x (0, t ) = 0cos3x0sin π x/2 sin5 π x/2 u(0,t)=0cos π x/20cos5 π x/2 u x (0, t ) = 00sin π xx(x-1)u(0,t)=005cos3 π xu x (0, t ) = 0sin5 π x/20sin π x/2 u(0,t)=00x(x-1)costsin π x u(0,t)=0sin π x/20f(x)exp3t u(0,t)=0cos7 π x0cos5tu x (0, t ) = 00sin π x/20 sin5 π x/2 u(0,t)=0cos5 π x/2 0cos π x/2 u x (0, t ) = 0x= lu(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0Задача 7.

Найти решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности заданными начальными условиями2∂u2 ∂ u=a+ f ( x, t ), 0 < x < l , u ( x,0) = ϕ ( x),∂t∂x 2и нулевыми краевыми условиями на концах отрезка x=0, x= l .В таблице введено обозначение14 x,0 ≤ x ≤ l / 2,f( x )= l − x, l / 2 ≤ x ≤ l.n1234567891011121314151617181920aπ /2 211/2132ππ /2 45π11167π8π2911/811/411/311/21122l31415lϕ ( x)f(x,t)sintsin2xcos3tsintsin π x/2exptcosx/2cos4tsin4xcosxsin2tx=0f ( x)u(0,t)=0u x (0, t ) = 0cosπxsin7 π x/2u(0,t)=0cos3x/2u x (0, t ) = 0f ( x)u(0,t)=0cos4xu x (0, t ) = 0sin5 π x/2 et sin π x/2 u(0,t)=0cos5 π x/2 et cos π x/2 u x (0, t ) = 0f ( x)costsin2x u(0,t)=0cos5x5exptu x (0, t ) = 0sin7 π x/2 sin π x/2u(0,t)=0cos3 π x/2 e5t cos π x/2 u x (0, t ) = 0sin7 π xx(x-1)u(0,t)=0cos3 π xcostcos π x u x (0, t ) = 0sin5 π x/2 et sin π x/2 u(0,t)=0x(x-1)cos2t sin π x u(0,t)=0sin4 π xf(x)cos2t u(0,t)=0cos2 π xcos4tu x (0, t ) = 0sin5 π x/2sin π x/2u(0,t)=0cos5 π x/2 et cos π x/2 u x (0, t ) = 0x= lu(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0Основные определения и теоремы, а также разбор решенийзадач по основным темам приведены в .следующих разделах.151.

КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ1.1. Линейные уравнения в частных производных первогопорядкаВ курсе обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ) изучаются так называемые автономные дифференциальные уравнения. Напомним некоторые понятия, необходимые намв дальнейшем. Пусть t - независимая переменная, t ∈ E ⊂ R1 ;x(t) = (x1, x2 ,..,xn ) - неизвестная вектор-функция; система автономных ОДУ первого порядка имеет вид:dx= f ( x ), f = ( f1 , f 2 ,..., f n ).(1)dtили в развернутом виде dx1 dt = f1 ( x ) dx2 = f ( x )2 dt......................... dxn = f ( x )n dtОтметим, что f ( x ) в (1) не содержит в явном виде t .Определение 1.

Решение уравнения (1) x = ϕ (t ) называетсяфазовой траекторией в фазовом пространстве Rxn . Интегральнойкривой уравнения (1) называется линия в (n + 1) -мерном пространстве Rxn,+t 1 с координатами (t , x1 , x2 ,..., xn ) .Фазовая траектория есть проекция интегральной кривой на Rxnпараллельно оси t . Этот факт, в двумерном пространстве, иллюстрирует рис.1.16Рис.1Определение 2. Первым интегралом уравнения (1) называется функция u ( x ) постоянная вдоль каждой траектории уравнения (1), то есть еслиx = ϕ (t ) - решение (1), тоu (ϕ (t )) ≡ const ∀t ∈ E .Первые интегралы в физических задачах выражают законысохранения.Теорема 1. Для того, чтобы u ( x ) была первым интегралом(1) необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла линейному однородному уравнению в частных производных первого порядкаn ∂u ( x )(2)∑ ∂x f i ( x ) = 0 .i =1iТеорема 2.

Пусть f (a ) ≠ 0 (точка a - не положение равновесия (1)). Тогда ∃U (a ) где существует (n − 1) независимых первыхинтегралов (u1 ( x ), u 2 ( x ),..., u n −1 ( x )) .17Определение 3. Любая функция φ ( x ) ∈ C 1 обращающаяуравнение (2) в тождество называется его решением, а поверхность u = ϕ ( x ) называется интегральной поверхностью уравнения(2).Определение 4. Система уравнений (1) называется характеристической для уравнения (2).Теорема 3. Пусть U (a ) − окрестность точки x = a , где a неявляется положением равновесия. Тогда в U (a ) общее решениеуравнения (2) имеет вид:u ( x ) = F (u1 ( x ), u 2 ( x ),..., u n−1 ( x )),где ui ( x ) независимые первые интегралы (1); F − произвольнаягладкая функция от (n − 1) переменных.Пример1.

Найти общее решение уравнения∂u∂u+V= 0, V > 0, V = const .∂x1∂x2Решение. Характеристическая система имеет вид: dx1 x1 = t + c1=1 dt⇔,x=Vt+cdx2 2 =V 2 dtt = x1 − c1 , x2 = V ( x1 − c1 ) + c2 = Vx1 − Vc1 + c2 , u1 ( x ) = x2 − Vx1 = const-первый интеграл характеристической системы. Общее решение:u ( x1 , x2 ) = F ( x2 − Vx1 ) , где F- произвольная гладкая функция.Замечание.

Если x1 = t − время, x2 = x − ось x декартовой системы координат, то решение F ( x − Vt ) называется бегущей слеванаправо волной; V − скорость распространения волны.Рассмотрим задачу Коши для линейных уравнений первого порядка в случае n = 2, x1 = x, x2 = y, u ( x1 , x2 ) = z ( x, y ) . Тогда функция z(x,y) описывает уравнение поверхности в трехмерном пространстве.

Задача Коши ставится так: для уравнения18∂z∂z(3)+ b( x, y ) + c( x, y )z = f ( x, t ),∂x∂yнайти интегральную поверхность, проходящую через заданную впространстве R 3 кривую Г . Если кривую Г задать в параметрическом виде: Г = {( x, y.z ) x = ϕ (S ), y = ψ (S ), z = h(S ), S ∈ [S1 , S 2 ]}, тоa ( x, y )z ( x, y ) ( x, y )∈γ = h(S ),(4)где γ − проекция кривой Г на плоскость ( x, y ) .

Условие (4) естьначальные данные для задачи Коши.Имеет место теорема существования и единственности задачи Коши (3), (4):Теорема 4. Пусть выполняются следующие три условия:10. Функции a, b, c и f ∈ C1 (D ), D ⊂ R 2 ;20. a ≠ 0, b ≠ 0, ∀( x, y ) ∈ D .30. γ не касается характеристик однородного уравнения (3).Тогда задача Коши (3), (4) однозначно разрешима в некоторойокрестности кривой γ .1.2.

Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядкаВ квазилинейных уравнениях, в отличие от линейных уравнений, коэффициенты при производных могут быть функцияминеизвестной, но производные всегда линейныn∂u(5)∑ ai ( x , u ) ∂x = b( x , u ) .i =1iЛемма 1. Пусть в уравнении (5)a1 ( x , u ), a2 ( x , u ),.., an ( x , u ), b( x , u ) ∈ C1 (D ) ⊂ Rxn,+u1 , ai ≠ 0 в D .

Тогдауравнение (5) можно свести к линейному однородному уравнению в частных производных первого порядка.Доказательство. Будем искать функцию W ( x1 , x2 ,..., xn , u ) такую, что если u ( x ) решение (5), тоW ( x1 , x2 ,..., xn , u ( x1 , x2 ,..., xn )) ≡ 0.19Напомним, что уравнение W ( x , u ) = 0 определяет неявную функцию u = u ( x ) . По правилу дифференцирования неявной функцииимеем:∂W∂x∂W ∂W ∂u∂u+=0⇔=− i .∂W∂xi ∂u ∂xi∂xi∂uПодставляя эту производную в (5) получаем:∂Wn ∂xi∑ − ai ( x , u ) ∂W − b( x , u ) = 0 ⇔1 ∂un∂W∂W∑ ai ( x , u ) ∂x + b( x, u ) ∂u = 01i(6)Уравнение (6) – линейное однородное уравнение от (n + 1) переменных ( x, u ) типа уравнения (2) раздела 1. Лемма доказана.Следствие 1.

Характеристическая система для уравнения (6)имеет вид: dx1 dt = a1 ( x , u ) dx2 = a ( x , u )2 dt(7)......................... dx n = an ( x , u ) dt du = b( x , u ) dtСледствие 2. Пусть V1 ( x , u ), V2 ( x , u ),..., Vn ( x , u ) − первые интегралы (7). Тогда всякое решение уравнения (5) находится изуравненияF (V1 ( x , u ), V2 ( x , u ),..., Vn ( x , u )) = 0,где F ∈ C1 - любая гладкая функция.20Пример 2. Найти общее решение уравнения Хопфа∂u∂u+u= 0.∂x1∂x2Решение. Характеристическая система имеет вид: dx1 dt = 1 x1 = t + c1t = x1 − c1 dx2= u ⇔  x2 = c3t + c2 ⇔  x2 = u ( x1 − c1 ) + c2 . dtu = c x − ux = const 213 du=0 dtПервые интегралы V1 = u; V2 = x2 − ux1 .