Методические указания, страница 5

краевые условия не зависят от угла ϕ , то и решение от ϕ зависеть не будет. Тогда уравнение Лапласа будет иметь более простой вид1 d  du Δu =r  = 0.r dr  dr Отсюда следуетdu C1= , u = C1 ln r + C2 .drrНеизвестные константы находим из краевых условий. На внутренней границе∂u∂uC=− , − 1= −2, C1 = 2. .∂n∂rr r =1На внешней границе∂u 22= , B= .∂r r3Решение задачи определяется, в соответствии с теоремой 2 ,с точностью до произвольной константы C2u = 2 ln r + C2 .Ограничение на параметр B следует из теоремы 3 о необходимомусловии разрешимости задачи Неймана .3.3. Решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах41Лапласиан в цилиндрических координатах (r, φ, z ) имеет следующий вид1 ∂  ∂  1 ∂2∂2.Δ=+r  +r ∂r  ∂r  r 2 ∂φ 2 ∂z 2Для нахождения общего решения уравнения Лапласа применимметод Фурье.I.

Разделяем переменные u ( x, y, z ) = Z ( z )F (r, φ) , подставляем в уравнение Лапласа ∂ 2 F 1 ∂F 1 ∂ 2 F  + FZ ′′ = 0 .Z  2 ++ 22 ∂ r r ∂r r ∂φ Аналогично предыдущему пункту делим уравнение на произведение Z ( z )F (r, φ) , переносим функции, зависящие от z в правуючасть. Заметим, что левая часть зависит только от ϕ и r, а праваятолько от z. Они могут быть равны только в том случае, если обеэти функции равны константе − λ2 .( )∂2F1 ∂F 1 ∂ 2 F++ 22r∂rZ ′′∂rr ∂φ 22.=−= −λFZОтсюда следует система уравненийZ ′′ − λ2 Z = 0, ∂ 2 F 1 ∂F 1 ∂ 2 F+ 2+ λ2 F = 0. 2 +2r ∂r r ∂φ ∂rРешение первого уравнения имеет вид:Z ( z ) = Ash(λz ) + Bch(λz ) .Для второго уравнения, полагая F (r, φ) = R(r )Φ(φ), повторяем процедуру, подробно описанную в предыдущем пункте. В результате получаем:421 Φ′′2r 2  R′′ + R′  + λ2 r 2 == −ν= const .r ΦОтсюда получаем два уравненияΦ′′ + v 2Φ= 0 , 2 v2 1R′′ + R′ +  λ − 2  R = 0 .rr II. Первое уравнение- аналог уравнения, полученного вышев полярных координатах.

Его решениеΦ n (ϕ ) = Cn cos nϕ + Dn sin nϕ .Второе уравнение- уравнении Бесселя порядка n имеет решение в виде суммы функций Бесселя и НейманаRn (r ) = En J n (λn r ) + Gn N n (λn r ).В итоге общее решение будет иметь видu (r, φ, z ) =∞∑ (En J n (λn r ) + Gn N n (λn r ))(Cn cos nφ+ Dn sin nφ )n =0( An shλn z + Bn chλn z ).3.4. Решение уравнения Лапласа в сферических координатахВ сферических координатах (r, θ, φ ) будем рассматриватьрешения , не зависящие от координаты φ.Тогда общее решение уравнения Лапласа может быть получено,также как и в случае цилиндрических координат, методом Фурьеи представлено в виде∞1 (7)u (r, θ) = ∑  An r n + Bn n +1  Pn (cos θ),r n=0 где Pn (cos θ) - полиномы Лежандра порядка n .Пример 4. Найти решение задачи Дирихле для уравненияЛапласа внутри шара радиуса lΔu = 0, 0 ≤ r < l ,u r =l = f (θ).43Т.к. на поверхности шара функция u (r , θ, φ) не зависит от ϕ , то иобщее решение зависеть от ϕ не будет, а в силу ограниченностирешения в формуле (7) все Bn = 0 .

Поэтому из ( 7 ) получаемобщее решение задачи в видеu (r, θ) =∞∑ An r n Pn (cos θ) .n =0Для нахождения An разложимполиномам Лежандра:f (θ) в ряд Фурье-Стеклова по2n + 1 πf (θ ) = ∑ f n Pn (cos θ ) , f n =∫ f (θ) P n (cosθ) sin θdθ.2n=00Используя краевое условие , получаем∞∞fnu (l , θ) = ∑ Anl Pn (cos θ) = ∑ f n Pn (cos θ) , An = nn ,ln=0n =0∞u (r, θ) =∞∑n=0nrf n   Pn (cos θ) .l 4. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ4.1 Постановка основных задач.

Классические решенияВведем обозначения: D - ограниченная замкнутая область сгладкой границей Г, x = ( x1 , x2 ... xn ) ∈ D ⊂ R n , t ∈ [0, T ] .Многие колебательные и волновые процессы в физике (колебания струн, стержней , мембран , электромагнитные волны) описываются уравнением вида(1)utt = a 2Δu + f ( x , t ), x ∈ D, t > 0 ,которое называется волновым уравнением.Значения функции и ее производной в начальный моментвремени называются начальными данными задачи44(2)u ( x ,0) = φ( x ), ut ( x ,0) = ψ( x )На границе области ставится одно из трех типов краевыхусловийА) u ( x , t ) |Γ= 0 -условие Дирихле,∂В)u ( x , t ) |Γ= 0 - условие Неймана,∂n∂С) (αu ( x , t ) + β u ( x , t )) |Γ= 0 - смешанное условие (здесь∂nα+ β> 0 , α, β-неотрицательны на поверхности Г.Уравнение (1), начальные условия (2), и одно из краевыхусловий А-С образуют смешанную краевую задачу.Определение 1.

Дважды дифференцируемая в области D инепрерывная в замкнутой области D функция u ( x , t ) , удовлетворяющая уравнению (1), начальным условиям (2) и краевому условию А) называется классическим решением первой смешанной краевой задачи для волнового уравнения.4.2 Колебания струн конечной длины.4.2.1. Метод Фурье для однородного волнового уравненияРассмотрим упругую струну, длины l .

Величину отклонения струны от положения равновесия в точке х в моментвремени t , обозначим через u(x,t). Малые колебания струныописываются одномерным волновым уравнениемutt = a 2u xx + f ( x, t ), x ∈ (0, l ), t > 0 ,(3)где a = T / ρ- скорость упругих волн в бесконечно длиннойструне, T- постоянное натяжение струны, ρ-постоянна линейнаяf ( x, t ) -плотность внешних сил, действующихплотность струны, ρна струну в точке х в момент времени t и направленных перпендикулярно оси х в плоскости (х,u).45Начальные условия означают задание смещений струны искоростей в плоскости (х,u)(4)u ( x,0) = φ( x), ut ( x,0) = ψ( x)Пусть концы струны жестко закреплены, что соответствуеткраевым условиям Дирихлеu (0, t ) = u (l , t ) = 0 .(5)Для решения задачи (3) - (5) используем метод Фурье (метод разделения переменных). Рассмотрим случай свободных колебаний, когда вынуждающая сила f ( x, t ) ≡ 0 .

Алгоритм решенияможно разбить на три этапа1) Разделяем переменные:u = y ( x )T (t )и подставляем это выражение в волновое уравнениеyT ′′ = a 2 y ′′T .Делим полученное уравнение на a 2 yT и приравниваем полученные дроби константе, так как слева и справа получились функцииот разных аргументовT ′′y′′== − λ= const .2ya TОтсюда следует два уравнения(6)y′′ + λy = 0; y (0) = y (l ) = 0 ,T+λa 2T = 0 .(7)Уравнение (6) -это задача Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле, изученная в разделе 2.3, пример 1 , где найденысобственные числа и собственные функцииnπnπ,λ=y(x)=sinx.nnllРешение уравнения (7) имеет видπnaπnaTn = An cost + Bn sintll462) Находим неизвестные постоянные An и Bn .Общее решение представляется как суперпозиция всех частных решенийu ( x, t ) =∞∑ Tn yn ( x ) .n =1Воспользуемся начальными условиями:∞πna) t = 0, u ( x,0) = ∑ sinxAn = φ( x ) ,ln =1∞naπn  ππnaπnaπna ut = ∑ sinx −An sint+Bn cost ,llllln =1∞πn  πna б ) ut ( x,0) = ∑ sinxBn  = ψ( x ) .lln =1Теперь функции ϕ ( x ) и ψ ( x ) раскладываем в ряд ФурьеСтеклова по системе собственных функций {yn ( x)}∞(φ, yn )1y(ψ, yn )φ( x) = ∑ φn yn ( x), φn =∞ψ( x) = ∑ ψn yn ( x), ψn =12y2,приравниваем коэффициенты в соответствующих рядах и получаемAn = φn, Bn =ψnaλnИтак, общее решение задачи можно записать в виде∞ψu ( x, t ) = ∑ yn ( x) φn cos λn at + n sin λn at  .(8)aλn =1nЗамечание 1.

Физический смысл собственных значений исобственных функций возникающей задачи Штурма-Лиувилля47состоит в том, что они являются собственными частотами исобственными формами, соответственно, стоячих гармонических волн. Остановимся на этом подробнее.Гармоническое колебание имеет видu ( x, t ) = sin ωty ( x) .Подставляя это выражение в волновое уравнение и сокращая навременной множитель получим уравнениеy′′ +ω22y = 0.aОтсюда следует, что ωn = a λn . Гармоническое колебание сπназывается основным тоном,lостальные колебания образуют бесконечный ряд последовательных обертонов более высокой частоты. Так что легко заметить,что понижение частоты основного тона можно достичь либо засчет увеличения длины струны, либо за счет уменьшения натяжения.

Отметим также, что число узлов в собственной форме колебаний на единицу больше ее номера.наименьшей частотой ω1 = aЗамечание 2. Ряд (8) достаточно быстро сходится абсолютно и равномерно для любых t ∈ [0, T ] и любых x ∈ [0, l ].4.2.2. Вынужденные колебания. Метод собственных функций.Рассмотрим теперь вынужденные колебания струны с нулевыми начальными условиями(9)utt = a 2u xx + f ( x, t ), x ∈ (0, l ), t > 0 ,(10)u ( x,0) = 0, ut ( x,0) = 0 ,Пусть на концах струны заданы какие-нибудь нулевые краевые условия, типа условий А)-D) для задачи Штурма-Лиувилляраздела 2.1.

Будем считать собственные числа {λn } и собственныефункции {ψn ( x )}этой задачи известными (для всех четырех слу-48чаев они легко находятся, аналогично задаче Дирихле). Отметимтакже свойство собственных функцийψ′n′ ( x ) = − λ(11)n ψn ( x )Частное решение волнового уравнения, называемое гармоникой, будем искать в видеu n ( x, t ) = ψn ( x )Tn (t ) ,а общее решение -в виде суммы гармоникu ( x, t ) =∞∑ ψn ( x )Tn (t ) .(12)n =1Разложим функцию f ( x, t ) в ряд Фурье-Стекловаf ( x, t ) =∞∑ Cn (t )ψ n ( x )n =1Подставим разложение u ( x, t ) и f ( x, t ) в волновое уравнение иучтем свойство (11 ) второй производной собственной функции∞∞∑ (Tn′′ψn ( x ) + a 2 λnTnψn ( x) ) = ∑ Cn (t )ψn ( x ).n =1(13)n =1Система собственных функций {ψ n ( x )} − является базисом, линейно независима и поэтому из (13 ) и (10 ) следует задача КошиTn′′ + a 2 λnTn − Cn = 0.(14)Tn (0 ) = Tn′ (0) = 0Решение задачи (14 ) выражается в виде интеграла Дюамеля1 tTn (t ) =(15)∫ Cn ( τ) sin a λn (t − τ)dτ,λn 0и, следовательно, решение смешанной задачи получим подставляя ( 15 ) в (12)∞1 tu ( x, t ) = ∑ ψn ( x)(16)∫ Cn ( τ) sin a λn (t − τ)dτ.n =1λn 0Замечание 3.

Если вынуждающая сила имеет видF ( x, t ) = C sin ωtψi ( x ) ,49т.е. периодическая по времени и пропорциональна i-ой собственной функции по координате x, то в силу того, что систему собственных функций можно выбрать ортонормированной, получимCn (t ) = ( F , ψn ) = C sin ωtδin ,0, n ≠ i,где δСледовательно ряд ( 16 ) сводится к единст=in1,n=i.венному слагаемомуψi ( x) tu ( x, t ) =∫ C sin(ωt ) sin a λn (t − τ)dτ=λn 0(17)2Caω(sin a λi t − sin ωt )ψi ( x).λiω2 − a 2 λiМожно показать, что если частота вынуждающей силы будетстремится к i-ой собственной частоте ωi = a λi колебаний, тоамплитуда колебаний будет неограниченно возрастать со временемC1(sin a λi t − t cos a λi t )ψi ( x), ω→ a λi .(18)2 λi λiЭто явление называется волновым резонансом и аналогично явлениям механического резонанса ( например, резонансу математического маятника).lim u ( x, t ) =Пример 1.

Решить смешанную краевую задачу для волнового уравненияutt = 25u xx + sin ωt ( x(3 − x )), x ∈ (0,3);u ( x,0) = ut ( x,0 ) = 0; u (0, t ) = u (3, t ) = 0.На концах струны поставлены краевые условия Дирихле. Следовательно, согласно разделу 2.3 , имеем50nππn, ψn = sinx33и решение задачи раскладывается по собственным функциям∞πnu ( x, t ) = ∑ Tn (t ) sinx.3n =1Разложим функцию f ( x, t ) в ряд Фурье-Стеклова:∞πnsin ωt [x(3 − x )] = sin ωt ∑ Cn sin x ,3n =12a = 5, l = 3, λn =π23nx36n.Cn = ∫ 3x − x 2 sindx =()−−11303(πn )3Здесь интеграл берется двукратным интегрированием по частям.Подставим разложения в волновое уравнение:∞∞ ′′ 52∑  Tn + ( 3 πn ) Tn ψn ( x ) = sin ωt ∑ Cn ψn ( x ) ,n =1n =1Отсюда следует задача Коши для ОДУ второго порядка25Tn′′ + β n Tn = Cn sin ωt,n π = βn .3Tn (0) = Tn′ (0) = 0(()(I) Нерезонансный случай: ω ≠ 5πn3)для любого n .Cnωn πnx 5πu ( x, t ) = ∑−sint+sinωtsin.25πn33nn =1 5π2 − ω  3 3 ∞(19)Мы получили сумму гармоник, которая удовлетворяет поставленным граничным и начальным условиям и самому волновомууравнению .51Cn5πn, то амплитудаустремится23π5n2 −ω 3 в бесконечность – наступит резонанс.(II) Резонансный случай.

Пусть для некоторого фиксирован5πного m имеет место равенство ω=m . В этом случае можно3использовать формулу (18) предыдущего раздела. Имеется и другой метод, основанный на методе подбора частного решения изтеории дифференциальных уравнений. Напомним этот метод.Найдем частное решение (5) методом подбора:Tmчаст (t ) = t (Dm cos ωt + Em sin ωt )′Tmчаст (t ) = Dm cos ωt + Em sin ωt + t (− ωDm cos ωt + ωEm sin ωt )″Tmчаст (t ) = −ωDm cos ωt + ωEm sin ωt + t − ω 2 Dm cos ωt + ω 2 Em sin ωt +Видно, что если ω =()+ ω (Em cos ωt + Dm sin ωt )Подставим эти выражения в ОДУ (5)− ωDm sin ωt + ωEm cos ωt + t − ω 2 Dm cos ωt − ω 2 Em sin ωt +()+ ω (Em cos ωt − Dm sin ωt ) + β m2 t (Dm cos ωt + Em sin ωt ) = Cm sin ωt()2ωEm cos ωt − 2ωDm sin ωt + t − ω 2 Dm cos ωt − ω 2 Em sin ωt ++ β m2 t (Dm cos ωt + Em sin ωt ) = Cm sin ωt2 Emω = 0− 2 Dmω = CmC⇒ Dm = − m ; Em = 0 .2ωСледовательно, частное решение неоднородного ДУ (5) равно:tCTmчаст = − m cos ωt2ωТогда общее решение (5) будет выглядеть следующим образом:5mπ5mπ tC mTm = Tmо + Tmчаст = Am cost + Bm sint−cos ωt332ω52∂Tm5mπ5mπ5mπ5mπ tCmt sintAm +Bm cost=−ω sin ωt −∂t33332ωC− m cos ωt2ωИспользуем начальные условия:CmT00A0 = Am()==−mm2ωT ′ (0 ) = 0 = 5mπ B − Cmm m32ω Am = 03Cm Bm = 10mπωВ итоге найдена резонансная гармоника:5mπ Cmx 3Cm mπum = sint −tcos ωt  sin(8)2ω3 10mπω 3Замечание: в случае резонанса методом подбора мы нашлитолько одну гармонику номера m − это резонансная гармоника.Все остальные гармоники – нерезонансные.