Методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ“МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТРАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ”МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙФИЗИКИКОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ИМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯДля студентов дневного отделенияфакультета ЭлектроникиМОСКВА 20142Составитель: В.Ю. ПриходькоРедактор: Н.С.

ЧекалкинКонтрольные задания являются типовыми расчетами по методам математической физики, предназначенными для студентов3 курса дневного отделения. Типовые расчеты выполняются студентами в письменном виде и сдаются преподавателю до началазачетной сессии. Вопросы к зачетам и экзаменам могут бытьуточнены и дополнены лектором. В пособии излагаются краткаятеория и справочный материал.Печатаются по решению редакционно-издательского советауниверситета.Рецензенты: Т.Н.Бобылева,В.П.Барашев МИРЭА, 2014Контрольные задания напечатаны в авторской редакцииФедеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего профессионального образования“Московский государственный технический университетрадиотехники, электроники и автоматики ”119454, Москва, пр.Вернадского, 783ВведениеОсновные темы по курсуметоды математической физики(дневное отделение)1.

Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Характеристическая система уравнений и первые интегралы. Постановка и решение задач Коши.2. Классификация уравнений в частных производных второгопорядка. Характеристики и канонический вид уравнений.Общее решение уравнений гиперболического и параболического типов.3. Постановка и решение задач Коши для волнового уравненияи уравнения теплопроводности.4. Задачи Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка.

Уравнения Лежандра и Бесселя.5. Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка основных краевых задач и решения в канонических областях методом Фурье.6. Волновое уравнение Постановка и решение методом Фурьеосновных смешанных краевых задач для волнового уравнения.7. Уравнение теплопроводности. Постановка и решение методом Фурье основных смешанных краевых задач для уравнения теплопроводности.8.

Уравнение Гельмгольца. Плоские, цилиндрические и сферические волны. Условия излучения Зоммерфельда. Внешние и внутренние краевые задачи для уравнения Гельмгольца.Данный материал излагается студентам на лекциях и практических занятиях. От студента требуется успешное овладениематериалом по указанным темам, т.е. необходимо знать определения понятий, формулировки и доказательства основных теорем4курса. Студент также должен продемонстрировать умение решать задачи данного курса.В течение семестра по курсу методы математической физики проводится коллоквиум и выполняется типовой расчет. Коллоквиум проводится примерно на 8-й неделе обучения, а сдачатипового расчета – в конце семестра.КоллоквиумТема. «Уравнения в частных производных первого и второго порядка».Цель.

Проверить усвоение основных понятий и методов решенияуравнений в частных производных и задач Коши для этих уравнений.Содержание. На коллоквиуме даются теоретические вопросы потемам 1-4 данного пособия и задачи, аналогичные задачам 1,2типового расчета.Контрольная работаТема. «Смешанные краевые задачи».Цель. Проверить усвоение метода Фурье и метода собственныхфункций для решения уравнений параболического и гиперболического типов.Содержание. В контрольную работу входят задачи, идентичныезадачам 3-7 из типового расчета.По итогам обучения проводится экзамен (зачет). Примерный вариант экзаменационного билета: билет состоит из 2-х частей. Первая часть соответствует содержанию коллоквиума, вторая часть охватывает задачи типового расчета 5- 7 .Теоретические вопросы к экзамену (зачету)51.

Линейные уравнения в частных производных первого порядка:фазовые траектории, характеристическая система уравнений,первые интегралы, общее решение.2. Задача Коши для линейных уравнений в частных производныхпервого порядка: постановка задачи, теорема существования иединственности, алгоритм решения.3. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка: сведение к линейному однородному уравнению. Уравнение Хопфа. Разрывные решения.4.

Классификация уравнений в частных производных второго порядка: дискриминант, характеристики, каноническая форма.Теорема Ковалевской.5. Вывод уравнения электрических колебаний в проводниках.Оператор Лорентца. Уравнение колебаний струны и мембраны.6. Вывод уравнения теплопроводности.

Стационарное тепловоеполе. Уравнения Пуассона .7. Постановка задачи Коши для волнового уравнения в безграничном пространстве. Формулы Даламбера, Пуассона и Кирхгофа.8. Принцип Дюамеля .Запаздывающие потенциалы и решение неоднородных задач. Теоремы единственности и непрерывнойзависимости решений от начальных данных9. Постановка задачи Коши и ее решение для уравнения теплопроводности в безграничном пространстве.10.Решение задач Коши для волнового уравнения на полуоси.11.Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения второго порядка:постановка основных краевых условий, собственные числа исобственные функции, ряды Фурье-Стеклова по собственнымфункциям.12.Уравнения Лежандра и Бесселя.

Постановка и решениесингулярных краевых задач, собственные числа и собственныефункции.13.Метод Фурье для одномерного волнового уравнения с условием Дирихле (однородная задача).14.Собственные колебания прямоугольной мембраны.615.Метод собственных функций для одномерного волновогоуравнения с условием Дирихле (неоднородная задача).16.Постановка смешанных краевых задач для уравнения теплопроводности.17.Принцип максимума и теорема единственности для уравнения теплопроводности18.Первая и вторая формулы Грина.19.Гармонические функции и их свойства.20.Доказать единственность решения задачи Дирихле и неединственность решения задачи Неймана для уравнения Лапласа.21.Решение задачи Дирихле для круга.22.Решение уравнения Лапласа в цилиндрических и сферических координатах.23.Слабая сходимость.

Обобщенные функции и обобщенныепроизводные. Дельта функция Дирака и ее основные представления.24.Третья формула Грина .25.Функции Грина краевых задач: определение, нахождениефункций Грина для конечной струны с краевыми условиямиДирихле или Неймана.26.Направленные электромагнитные волны. Нормальныеволны в плоских и цилиндрических радиоволноводах.27.Постановка внешних краевых задач для уравнения Гельмгольца.

Условия излучения Зоммерфельда. Плоские, цилиндрические и сферические волны.28.Корректность постановки задач математической физики.Пример Адамара.Основные типы задач по курсу методы математической физикиЧасть I. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого и второго порядка. Задачи Коши7Задачи Части I составляют основу коллоквиума.Часть II. Краевые и смешанные краевые задачи математической физикиЗадачи Части II составляют содержание типового расчета.

Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта.Типовой расчетТема. «Краевые задачи и смешанные краевые задачи для основных уравнений математической физики».Цель. Проверить умение применять различные математическиеметоды для решения физических задач.Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта. Студент объясняет решения задач преподавателю, отвечает навопросы.

Типовой расчет также предъявляется в начале экзамена(зачета).Задача 1. Найти общее решение уравнения1. 3u xx + 8u xy + 4u yy = 0.2. u xx + 4u xy + 4u yy − u x − 2u y = 0.3. . u xx + 2u xy + u yy + u x + u y = 0.4. 4u xx + 8u xy + 3u yy = 0.6. u xx − 2u xy + u yy + 2u x − 2u y = 0.5. 3u xx + 4u xy + u yy = 0.7. u xx + 6u xy + 9u yy + u x + 3u y = 0.8.

u xx + 4u xy + 3u yy = 0.9. u xx − 6u xy + 9u yy − 2u x + 6u y = 0. 10. 3u xx + 16u xy + 16u yy = 0.11. 25u xx + 20u xy + 3u yy = 0. 12. u xx + 2u xy + u yy − 3u x − 3u y = 0.13. u xx + 8u xy + 12u yy = 0. 14. u xx − 4u xy + 4u yy + 3u x − 6u y = 0.15. 12u xx + 8u xy + u yy = 0. 16. 9u xx + 6u xy + u yy − 9u x − 3u y = 0.17. u xx + 8u xy + 16u yy − u x − 4u y = 0. 18.

3u xx + 20u xy + 25u yy = 0.19. 4u xx + 4u xy + u yy + 8u x + 4u y = 0. 2 0. u xx + 12u xy + 27u yy = 0.8Задача 2. Найти собственные значения и собственные функциикраевых задач1. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,0), y (−1) = y ′(0) = 0.2. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y ′(−1) = y ′(1) = 0.3. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y ′(−1) = y (1) = 0.24. y ′′ + y ′ + λy = 0, x ∈ (0,2), | y (0) |< ∞, y (2) = 0.x5.

y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y (1 / 4) = y ′(1 / 2) = 0.6. y ′′ + λy = 0, x ∈ (0,2π ), y ( x) = y ( x + 2π ).7. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y ′(1 / 4) = y ′(1 / 2) = 0.8. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y (1 / 4) = y (1 / 2) = 0.29. y ′′ + y ′ + λy = 0, x ∈ (0,1), | y (0) |< ∞, y ′(1) = 0.x10. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y (1) = y ′(2) = 0.11. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y ′(1) = y ′(2) = 0.12.

y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y ′(1) = y (2) = 0.13. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y (1) = y (2) = 0.14. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y (−1) = y (1) = 0.15. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y ′(1 / 4) = y ′(1 / 2) = 0.16. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,5), y (−1) = y ′(5) = 0.17.

y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,5), y ′(−1) = y ′(5) = 0.18. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,5), y ′(−1) = y (5) = 0.19. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y (−1) = y (5) = 0.20. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y (−1) = y ′(1) = 0.Задача 3. Методом Фурье найти решение u(x,y) задачи Дирихледля уравнения Лапласа ∆u = 0 , внутри прямоугольника 0≤ x ≤a,0≤ y ≤b9n1234567891011121314151617181920a11b12u(x,0)0π /2π /2π /2π /2π /2π /211112211123/213/22211111122113/23/213/22000x(x-1)000f(x)00000x(x-3/2)000sinπxsin 4πxu(x,b)0000sin2x0x(x-1)000f(x)00sin 3πx000x(x-3/2)00u(0,y)000sin2y000y(y-1)000f(y)0000y(y-3/2)000u(a,y)sin πy0sin4y00000y(y-1)010f(y)0sin 2πy000y(y-3/2)0 x,0 ≤ x ≤ 1,f(x)= 2 − x,1 ≤ x ≤ 2..Задача 4.

Методом Фурье найти решение задачи Дирихле дляуравнения Лапласа ∆u = 0 , внутри трехмерной области G с границей S. Областью G может быть:а) цилиндр 0≤ρ ≤ l,0≤ϕ ≤ 2π,0≤z ≤ h,б) шар0≤ ρ ≤ l,0≤θ ≤ π,0≤ϕ ≤ 2π.10U 0 -константа.1. Цилиндр0≤ρ ≤ l, ρ2 u(ρ,h)= U 0 1 − 2  .l 2. Цилиндр0≤ρ ≤ l, ρ2 U(ρ,h)=0.U 0 1 − 2  ,l 3.Цилиндр0≤z ≤ h,0≤ρ ≤ l,u(l,z)=0,u(ρ,0)=0,0≤z ≤ h,u(l,z)=0,u(ρ,0)=0≤z ≤ h,z zu(l,z)= U 0 1 −  ,h hu(ρ,0)=0,u(ρ,h)=0.4.