Методические указания (1024193)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ“МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТРАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ”МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙФИЗИКИКОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ИМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯДля студентов дневного отделенияфакультета ЭлектроникиМОСКВА 20142Составитель: В.Ю. ПриходькоРедактор: Н.С.
ЧекалкинКонтрольные задания являются типовыми расчетами по методам математической физики, предназначенными для студентов3 курса дневного отделения. Типовые расчеты выполняются студентами в письменном виде и сдаются преподавателю до началазачетной сессии. Вопросы к зачетам и экзаменам могут бытьуточнены и дополнены лектором. В пособии излагаются краткаятеория и справочный материал.Печатаются по решению редакционно-издательского советауниверситета.Рецензенты: Т.Н.Бобылева,В.П.Барашев МИРЭА, 2014Контрольные задания напечатаны в авторской редакцииФедеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего профессионального образования“Московский государственный технический университетрадиотехники, электроники и автоматики ”119454, Москва, пр.Вернадского, 783ВведениеОсновные темы по курсуметоды математической физики(дневное отделение)1.
Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Характеристическая система уравнений и первые интегралы. Постановка и решение задач Коши.2. Классификация уравнений в частных производных второгопорядка. Характеристики и канонический вид уравнений.Общее решение уравнений гиперболического и параболического типов.3. Постановка и решение задач Коши для волнового уравненияи уравнения теплопроводности.4. Задачи Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка.
Уравнения Лежандра и Бесселя.5. Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка основных краевых задач и решения в канонических областях методом Фурье.6. Волновое уравнение Постановка и решение методом Фурьеосновных смешанных краевых задач для волнового уравнения.7. Уравнение теплопроводности. Постановка и решение методом Фурье основных смешанных краевых задач для уравнения теплопроводности.8.
Уравнение Гельмгольца. Плоские, цилиндрические и сферические волны. Условия излучения Зоммерфельда. Внешние и внутренние краевые задачи для уравнения Гельмгольца.Данный материал излагается студентам на лекциях и практических занятиях. От студента требуется успешное овладениематериалом по указанным темам, т.е. необходимо знать определения понятий, формулировки и доказательства основных теорем4курса. Студент также должен продемонстрировать умение решать задачи данного курса.В течение семестра по курсу методы математической физики проводится коллоквиум и выполняется типовой расчет. Коллоквиум проводится примерно на 8-й неделе обучения, а сдачатипового расчета – в конце семестра.КоллоквиумТема. «Уравнения в частных производных первого и второго порядка».Цель.
Проверить усвоение основных понятий и методов решенияуравнений в частных производных и задач Коши для этих уравнений.Содержание. На коллоквиуме даются теоретические вопросы потемам 1-4 данного пособия и задачи, аналогичные задачам 1,2типового расчета.Контрольная работаТема. «Смешанные краевые задачи».Цель. Проверить усвоение метода Фурье и метода собственныхфункций для решения уравнений параболического и гиперболического типов.Содержание. В контрольную работу входят задачи, идентичныезадачам 3-7 из типового расчета.По итогам обучения проводится экзамен (зачет). Примерный вариант экзаменационного билета: билет состоит из 2-х частей. Первая часть соответствует содержанию коллоквиума, вторая часть охватывает задачи типового расчета 5- 7 .Теоретические вопросы к экзамену (зачету)51.
Линейные уравнения в частных производных первого порядка:фазовые траектории, характеристическая система уравнений,первые интегралы, общее решение.2. Задача Коши для линейных уравнений в частных производныхпервого порядка: постановка задачи, теорема существования иединственности, алгоритм решения.3. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка: сведение к линейному однородному уравнению. Уравнение Хопфа. Разрывные решения.4.
Классификация уравнений в частных производных второго порядка: дискриминант, характеристики, каноническая форма.Теорема Ковалевской.5. Вывод уравнения электрических колебаний в проводниках.Оператор Лорентца. Уравнение колебаний струны и мембраны.6. Вывод уравнения теплопроводности.
Стационарное тепловоеполе. Уравнения Пуассона .7. Постановка задачи Коши для волнового уравнения в безграничном пространстве. Формулы Даламбера, Пуассона и Кирхгофа.8. Принцип Дюамеля .Запаздывающие потенциалы и решение неоднородных задач. Теоремы единственности и непрерывнойзависимости решений от начальных данных9. Постановка задачи Коши и ее решение для уравнения теплопроводности в безграничном пространстве.10.Решение задач Коши для волнового уравнения на полуоси.11.Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения второго порядка:постановка основных краевых условий, собственные числа исобственные функции, ряды Фурье-Стеклова по собственнымфункциям.12.Уравнения Лежандра и Бесселя.
Постановка и решениесингулярных краевых задач, собственные числа и собственныефункции.13.Метод Фурье для одномерного волнового уравнения с условием Дирихле (однородная задача).14.Собственные колебания прямоугольной мембраны.615.Метод собственных функций для одномерного волновогоуравнения с условием Дирихле (неоднородная задача).16.Постановка смешанных краевых задач для уравнения теплопроводности.17.Принцип максимума и теорема единственности для уравнения теплопроводности18.Первая и вторая формулы Грина.19.Гармонические функции и их свойства.20.Доказать единственность решения задачи Дирихле и неединственность решения задачи Неймана для уравнения Лапласа.21.Решение задачи Дирихле для круга.22.Решение уравнения Лапласа в цилиндрических и сферических координатах.23.Слабая сходимость.
Обобщенные функции и обобщенныепроизводные. Дельта функция Дирака и ее основные представления.24.Третья формула Грина .25.Функции Грина краевых задач: определение, нахождениефункций Грина для конечной струны с краевыми условиямиДирихле или Неймана.26.Направленные электромагнитные волны. Нормальныеволны в плоских и цилиндрических радиоволноводах.27.Постановка внешних краевых задач для уравнения Гельмгольца.
Условия излучения Зоммерфельда. Плоские, цилиндрические и сферические волны.28.Корректность постановки задач математической физики.Пример Адамара.Основные типы задач по курсу методы математической физикиЧасть I. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого и второго порядка. Задачи Коши7Задачи Части I составляют основу коллоквиума.Часть II. Краевые и смешанные краевые задачи математической физикиЗадачи Части II составляют содержание типового расчета.
Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта.Типовой расчетТема. «Краевые задачи и смешанные краевые задачи для основных уравнений математической физики».Цель. Проверить умение применять различные математическиеметоды для решения физических задач.Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта. Студент объясняет решения задач преподавателю, отвечает навопросы.
Типовой расчет также предъявляется в начале экзамена(зачета).Задача 1. Найти общее решение уравнения1. 3u xx + 8u xy + 4u yy = 0.2. u xx + 4u xy + 4u yy − u x − 2u y = 0.3. . u xx + 2u xy + u yy + u x + u y = 0.4. 4u xx + 8u xy + 3u yy = 0.6. u xx − 2u xy + u yy + 2u x − 2u y = 0.5. 3u xx + 4u xy + u yy = 0.7. u xx + 6u xy + 9u yy + u x + 3u y = 0.8.
u xx + 4u xy + 3u yy = 0.9. u xx − 6u xy + 9u yy − 2u x + 6u y = 0. 10. 3u xx + 16u xy + 16u yy = 0.11. 25u xx + 20u xy + 3u yy = 0. 12. u xx + 2u xy + u yy − 3u x − 3u y = 0.13. u xx + 8u xy + 12u yy = 0. 14. u xx − 4u xy + 4u yy + 3u x − 6u y = 0.15. 12u xx + 8u xy + u yy = 0. 16. 9u xx + 6u xy + u yy − 9u x − 3u y = 0.17. u xx + 8u xy + 16u yy − u x − 4u y = 0. 18.
3u xx + 20u xy + 25u yy = 0.19. 4u xx + 4u xy + u yy + 8u x + 4u y = 0. 2 0. u xx + 12u xy + 27u yy = 0.8Задача 2. Найти собственные значения и собственные функциикраевых задач1. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,0), y (−1) = y ′(0) = 0.2. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y ′(−1) = y ′(1) = 0.3. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y ′(−1) = y (1) = 0.24. y ′′ + y ′ + λy = 0, x ∈ (0,2), | y (0) |< ∞, y (2) = 0.x5.
y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y (1 / 4) = y ′(1 / 2) = 0.6. y ′′ + λy = 0, x ∈ (0,2π ), y ( x) = y ( x + 2π ).7. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y ′(1 / 4) = y ′(1 / 2) = 0.8. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y (1 / 4) = y (1 / 2) = 0.29. y ′′ + y ′ + λy = 0, x ∈ (0,1), | y (0) |< ∞, y ′(1) = 0.x10. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y (1) = y ′(2) = 0.11. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y ′(1) = y ′(2) = 0.12.
y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y ′(1) = y (2) = 0.13. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y (1) = y (2) = 0.14. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y (−1) = y (1) = 0.15. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y ′(1 / 4) = y ′(1 / 2) = 0.16. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,5), y (−1) = y ′(5) = 0.17.
y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,5), y ′(−1) = y ′(5) = 0.18. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,5), y ′(−1) = y (5) = 0.19. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y (−1) = y (5) = 0.20. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y (−1) = y ′(1) = 0.Задача 3. Методом Фурье найти решение u(x,y) задачи Дирихледля уравнения Лапласа ∆u = 0 , внутри прямоугольника 0≤ x ≤a,0≤ y ≤b9n1234567891011121314151617181920a11b12u(x,0)0π /2π /2π /2π /2π /2π /211112211123/213/22211111122113/23/213/22000x(x-1)000f(x)00000x(x-3/2)000sinπxsin 4πxu(x,b)0000sin2x0x(x-1)000f(x)00sin 3πx000x(x-3/2)00u(0,y)000sin2y000y(y-1)000f(y)0000y(y-3/2)000u(a,y)sin πy0sin4y00000y(y-1)010f(y)0sin 2πy000y(y-3/2)0 x,0 ≤ x ≤ 1,f(x)= 2 − x,1 ≤ x ≤ 2..Задача 4.
Методом Фурье найти решение задачи Дирихле дляуравнения Лапласа ∆u = 0 , внутри трехмерной области G с границей S. Областью G может быть:а) цилиндр 0≤ρ ≤ l,0≤ϕ ≤ 2π,0≤z ≤ h,б) шар0≤ ρ ≤ l,0≤θ ≤ π,0≤ϕ ≤ 2π.10U 0 -константа.1. Цилиндр0≤ρ ≤ l, ρ2 u(ρ,h)= U 0 1 − 2 .l 2. Цилиндр0≤ρ ≤ l, ρ2 U(ρ,h)=0.U 0 1 − 2 ,l 3.Цилиндр0≤z ≤ h,0≤ρ ≤ l,u(l,z)=0,u(ρ,0)=0,0≤z ≤ h,u(l,z)=0,u(ρ,0)=0≤z ≤ h,z zu(l,z)= U 0 1 − ,h hu(ρ,0)=0,u(ρ,h)=0.4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
