Методические указания, страница 3

Любое решение находимиз уравненияF (u, x2 − x1u ) = 0.1.3. Классификация квазилинейных дифференциальныхуравнений в частных производных второго порядка.Пусть независимые переменные ( x, y ) ∈ D ⊂ R 2 ; u ( x, y ) - неизвестная функция. Квазилинейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка называется линейное относительно всех производных второго порядка уравнениеa( x, y )u xx + 2b( x, y )u xy + c( x, y )u yy + F ( x, y, u, u x , u y ) = 0 .(8)Основная идея поиска общего решения уравнения (1) состоит в том , что в некоторой системе координат уравнение приметболее простой вид.

В качестве таких координат можно взять такназываемые характеристики уравнения, определение которых дадим ниже. Прежде всего приведем формулы, по которым преобразуются коэффициенты a, b, c при произвольной, неособенной,дважды дифференцируемой замене переменных( x, y ), η= η( x, y ).ξ= ξ(9)21Положим: u ( x(ξ, η), y (ξ, η)) = v(ξ, η) и сделаем заменуu x = vξξx + vηηx ,u y = vξξy + vηηy ,u xx = vξξξ2x + 2vξηξx ηx + vηηη2x + vξξxx + vηηxx((10))u xy = vξξξx ξy + vξηξx ηy + ξy ηx + vηηηx ηy + vξξxy + vηηxyu yy = vξξξ2y + 2vξηξy ηy + vηηη2y + vξξyy + vηηyyВ новых переменных получим новое уравнение, которое будет иметь вид(11)a1vξξ+ 2b1vξη+ c1vηη+ F1 (ξ, η, v, v x , v y ) = 0 ,a1 = aξ2x + 2bξx ξy + cξ2y()b1 = aξx ηx + b ξx ηy + ηx ξy + cξx ηyc1 = aη2x + 2bηx ηy + cη2y, η) так, чтобы a1 = 0 .Выберем (ξПусть ξ= ( x, y ) − какое-нибудь частное решение уравнения вчастных производных первого порядка:az x2 + 2bz x z y + cz 2y = 0(12)Обыкновенное дифференциальное уравнениеady 2 − 2bdxdy + cdx 2 = 0(13)называется характеристическим, а его интегралы – характеристиками уравнения (8).Лемма.

А) Если z = φ ( x, y ) − решение (12), то φ( x, y ) = c −есть интеграл (13). В) Обратно, если φ ( x, y ) = c − интеграл (13),то z = φ ( x, y ) удовлетворяет (12).Доказательство. А) Соотношение φ ( x, y ) = c задает функциюφ( x , y )dyy = f ( x, c ) для которой=− x.dxφy ( x, y )y = f ( x,c )Подставим это выражение в уравнение (13)222 2φφdy dy xx + 2ba  − 2b + c = a+ c = 0 φ y dxφy dx ⇒ φ( x, y ) = c − есть интеграл (13).В) Пусть ϕ ( x, y ) = c − интеграл (13).

∀( x0 , y0 ) проведем интегральную кривую (13): ϕ ( x0 , y0 ) = c0 и y = f ( x, c0 ) ⇒ y0 = f ( x0 , c ) .Для всех точек кривой имеем:2 2φφdy dy xx + 2ba  − 2b + c = a+ c = 0 .  φy dxφy dx Полагая здесь x = x0 получим:aφ 2x ( x0 , y0 ) + 2b φx ( x0 , y0 ) φy ( x0 , y0 ) + cφ 2y ( x0 , y0 ) = 0. Леммадоказана.Разделим на dx уравнение (13):2dy dy a  − 2b + c = 0dx dx Найдем корни этого квадратного уравнения относительно производнойdy b + ∆ dy b − ∆,(14)=,=dxadxaгде ∆ = b 2 − ac − дискриминант.Возможны три типа уравнений, определяемые знаком дискриминанта.I.

∆ > 0 - гиперболический тип.Общие интегралы φ ( x, y ) = c и ψ( x, y ) = c определяют действительныесемействахарактеристик.Полагаяприводимуравнение(11),гдеξ= φ ( x, y ), η= ψ( x, y ) ,a1 ≡ 0, c1 ≡ 0 , к виду~vξη = F1 (ξ ,η , v, ∇v ) .(15)Это и есть каноническая форма гиперболического уравнения.23II. ∆ = 0 - параболический тип.Координату ξ = ϕ ( x, y ) − определяем из (7).

В качестве второго интеграла можно взять произвольную, но дважды дифференцируюмую функциюη = ψ ( x, y ) , удовлетворяющую условиюξx ξy≠ 0.ηx ηyТогда a1 = aξ x2 + 2bξ xξ y + cξ y2 = 0 =()(()2cξ y )(aξ x + cξ y , т.к. b = a c .)b1 = aξ xη x + b ξ xη y + η xξ y + cξ yη y = aξ x +aη x + cη y = 0и уравнение будет иметь канонический вид~vηη = F1 (ξ ,η , v, ∇v ).III. ∆ < 0 - эллиптический тип.В этом случае вещественных характеристик нет и существуют комплексные ξ = ϕ ( x, y ), η = ϕ * ( x, y ) , из которых можноϕ +ϕ *ϕ −ϕ *построить вещественные координаты α =и, β=22iполучить в этих координатах каноническое уравнение в виде~∆W = Φ(α , β , W , ∇W ) ,где Δ- оператор Лапласа.Пример 3.

Найти общее решение уравнения4u xx + 8u xy + 3u yy + u y + 2u x = 0 .Алгоритм нахождения общего решения можно разбить натри этапа.1) Находим дискриминант ∆ = b 2 − ac и по его знаку определяем тип уравненияΔ= 16 − 12 = 4 > 0- гиперболический тип. Далее записываем уравнения характеристик и находим общие интегралы:24 dy b ± Δ y1 = y1 ( x )  φ( x, y ) = c1⇒⇒ =y=y(x)dxaψ( x, y ) = c22233 dy 1 =y=x+cc=y−x=ξ1  1dy 4 ± 2  dx 2  1 22=,.11dx4  dy 3 . dx = 2  y2 = 2 x + c2 c2 = y − 2 x = ηЗатем вводим новые переменные: ξ= φ( x, y ), η= ψ( x, y ).2) Записываем уравнение в новых переменных и подставляем эти выражения в исходное уравнение3ξx = − , ξ = 1, ξ = ξ = ξ = 0yyxxxy2 y.1 ηy = 1, ηyy = ηxx = ηxy = 0ηx = − ,231   3  3  1  9 1 4uξξ + 2uξη + uηη  + 8uξξ  −  −  + uηη −  + uξη −  +444222   2   3 1 + 3 uξξ+ 2uξη+ uηη+ uξ+ uη + 2 uξ −  + uη −  = 0 2   2[] []Далее приводим подобные[9 − 12 + 3]uξξ+ [6 − 16 + 6]uξη+ [1 − 4 + 3]uηη+ [1 − 3]uξ+ [1 − 1]uη= 0;− 4uξη− 2uξ= 0 .В итоге получаем уравнение в каноническом виде1uξη= − uξ.23) Решаем полученное каноническое уравнение.

Для решения уравнения понизим его порядок1dWdη1uξ= W ; Wη= − W ,= − , ln W = − η+ f1 (ξ).2W22Здесь f1 (ξ) - произвольная гладкая функция.251− η+ f1 (ξ)=e 2=1− ηξe 2 =1− ηduWf2 ( ), du = f 2 (ξ)e 2 dξ.dξТаким образом получаем искомое общее решение уравнения ввиде1− η=e 21− ηη= e 2 fu(ξ) + g (η) ,∫ f 2 (ξ)dξ+ g ( )) произвольные, дважды дифференгде f (ξ) = ∫ f 2 (ξ)dξ и g (ηцируемые функции.1.4.

Задача Коши для линейного уравнения в частных производных 2-го порядкаЛинейное уравнение в частных производных 2-го порядкаимеет следующий вид(16)au xx + 2bu xy + cu yy + a1u x + b1u y + c1u = f .Начальные условия задаются на гладкой кривой Lu L = u0,(17) ∂u=uL1 ∂lгде вектор единичной длины l не параллелен касательному вектору, рис.2.Рис. 2.26Решение многомерных задач Коши имеет ряд отличительных особенностей по сравнению с задачами Коши для ОДУ.Приведем формулировку, для двумерного случая, теоремы Ковалевской о существовании и единственности решений задачиКоши для уравнений с частными производными.Теорема Ковалевской. Если начальные данные, коэффициенты уравнения, правая часть и кривая L − аналитичны (каждая всвоей области) и на L нет характеристических точек, то существует единственное, аналитичное в некоторой окрестности L решение задачи Коши (16), (17).Замечание.

Из теоремы Ковалевской следует, что решениезадачи Коши с начальными данными на кривой, не имеющей характеристических точек, ведет себя аналогично соответствующейзадаче Коши для ОДУ (существование и единственность). Однако, непрерывной зависимости от начальных условий эта теоремане гарантирует. Наличие характеристических точек в начальныхданных может привести к существованию множества решений.Пример 4. Решить задачу Кошиu xy = 0, u ( x,0) = x 2 , u y ( x,0) = 0.Так как начальные условия заданы на характеристике y=0 и нарушены условия теоремы Ковалевской, то не существует единственного решения.

В данном примере решений бесконечно многоu ( x, y ) = x 2 + cy n , где c- произвольная константа, n>1.2. ЗАДАЧА ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ2.1. Постановка задачиРассмотримЛиувиллядифференциальныйоператорШтурма-d  d (1) p  + q,dx  dx и порождаемое им обыкновенное дифференциальное уравнениеLy ( x ) = λρ ( x ) y ( x )(2)или в развернутом видеL=−27−d  dy  p  + qy = λρ ( x ) y ( x ) ,dx  dx (3)где p ( x ) ∈ C1 , p(x)>0, q( x) ≥ 0, ρ( x) > 0, λ∈ R1 - параметр.Пусть x ∈ [a, b] и на концах отрезка рассмотрим одно изследующих четырех типов краевых условийА) условия Дирихлеy (a ) = y (b ) = 0 ,В) условия Нейманаdy (a ) dy (b )== 0,dxdxС) смешанное условиеy (a ) = y ′(b ) = 0 ,D) смешанное условиеy′(a ) = y (b ) = 0 .Задача Штурма – Лиувилля ставится так: найти такие значения параметра λ , при которых существует нетривиальное решение уравнения (3), удовлетворяющее краевым условиям.Такие значения параметра λ называются собственнымичислами (значениями) задачи Штурма – Лиувилля, а соответствующие им решения y ( x ) − собственными функциями.2.2 Основные свойства решений задач Штурма – ЛиувилляТеорема 1.

Существует счетное множество неотрицательных собственных чисел {λn }, n = 0,1,2,..., и каждому собственному числу соответствует его собственная функция {λn }. Причемсистема собственных функций {λn } линейно независима.Теорема 2. Собственные функции задачи Штурма – Лиувилля ортогональны с весом ρ ( x ).b∫ ρ ( x ) yn ( x ) ym ( x )dx = 0,am ≠ n.28Доказательство. Рассмотрим соотношения для m − й иn − й собственных функций Lyn = λn ρyn Lym = λm ρymДомножим первое уравнение на ym , второе на yn и вычтем изпервого второе и левую часть проинтегрируем по частям:bb∫ Lyn ym dx − ∫ Lym yn dx =aa[] [= ∫ [− ( py′ )′ y ]dx − ∫ [− ( py′ )′ y ]dx =b]b= ∫ − ( pyn′ )′ ym + qyn ym dx − ∫ − ( py′m )′ yn + qym yn dx =ababnmmanabb bb′ dx  +  pym′ y n a − ∫ py m′ yn′ dx  == −  pyn′ ym a − ∫ py n′ ym aabb′ dx − ∫ pym′ yn′ dx = 0 .= ∫ py′n ymaaЗдесь использованы краевые условия A-D, которые обеспечивают равенство нулю всех внеинтегральных подстановок.