Методические указания, страница 4

Теперь рассмотрим правую частьbbaaλn ∫ ρ( x ) yn ( x ) ym ( x )dx − λm ∫ ρ( x ) ym ( x ) yn ( x )dx =b(λn − λm )∫ ρ(x ) yn ( x ) ym ( x )dx = 0aОтсюда получаем, что при m ≠ n и λm ≠ λnb∫ ρ( x ) ym ( x ) yn ( x )dx = 0 ,aчто и требовалось доказать..29Теорема 3. Оператор Штурма_Лиувилля- самосопряженный, то есть для любых y ( x ), z ( x ) ∈ C 2 [a, b ] ,при соблюдениикраевых условий A-D, выполняется равенство(Ly, z ) = ( y, Lz ) .Теорема Фурье-Стеклова. Любую функцию f ( x ) класса Cможно, при соблюдении краевых условий задачи Штурма – Лиувилля, представит в виде ряда Фурье – Стекловаf ( x ) = ∑ Ck y k ( x ) ,kгде yk ( x ) − собственные функции краевой задачи,( f (x ), yk (x ))Ck =,( yk (x ), yk (x ))( yk ( x ), yk ( x )) =2byk ( x ) = ∫ ρ ( x ) yk2 ( x )dx .aРяд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [a, b].2.3.

Частные случаи задачи Штурма – ЛиувилляПример 1. Рассмотрим следующие значения коэффициентовв уравнении (3): p ≡ 1, q ≡ 1, ρ ≡ 1 , а=0, b=l. Тогда краевую задачу с условиями Дирихле можно записать в виде y′′ + λy = 0, x ∈ (0, l ),y (0) = y (l ) = 0.Общее решение дифференциального равнения, учитываячто λ ≥ 0y ( x ) = C1 sin λ x + C2 cos λ x .(4)Для определения неизвестных используем краевые условияy (l ) = 0 = C1 sin λ l . Отсюда следует λ l = πn ,y (0) = 0 = C2 ,n=1,2,….302Собственныезначения:πnλn =   , l собственныефункции:πnx.lПример 2.

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля с условием периодичностиyn = C1 sin y′′ + λy = 0, x ∈ (0,2π), y ( x ) = y ( x + 2π) = 0.Тогда общее решение уравнения задается выражением (4), идля существования единственного периодического решениядолжно выполняться λ= n . Собственные функцииyn ( x ) = C1 sin nx + C2 cos nx .Пример 3. Задача Штурма – Лиувилля для уравнения Лежандра.Пусть в уравнении (3)p = 1 − x 2 , q ≡ 0, ρ ≡ 1 , a = −1, b = 1 .Тогда получаем уравнение Лежандраd dy −  1 − x2=λy,dx dx или в развернутом виде2xλ′y′′ −y+y = 0.221− x1− x()Граничные точки a = −1 и b = 1 являются особыми точкамиуравнения, в которых коэффициенты уравнения стремятся к бесконечности. Это пример сингулярного уравнения.Краевыми условиями для сингулярных уравнений, дающими ограниченное решение, являются условия ограниченностирешения в особых точках31| y (±1) |< +∞ .Тогда собственные числа и ограниченные собственные функциипредставляется в видеλn = n( n + 1) , y n ( x ) = C1Pn ( x ),,где Pn ( x ) − полиномы Лежандра,dn 2 n.Pn ( x ) = (− 1) n1−x2 n! dx n nВ частностиP0 = 1, P1 = x, P2 =(1())()1 213x − 1 , P3 = 5 x 3 − 3x ,221P4 ( x) = (35 x 4 − 30 x 2 + 3) .8Полиномы Лежандра ортогональны с весом ρ = 1, а их норма22Pn =.2n + 1Замечание.

Ряд Фурье – Стеклова в случае полиномов Лежандра для многочленов степени n всегда содержит не более(n + 1) слагаемого.Пример 4. Задача Штурма – Лиувилля для уравнения Бесселя 2 n2 1′′′y + y +  α − 2  y = 0 .xx Общее решение уравнение Бесселя в ограниченной областиможно записать в видеy ( x ) = C1 J n (αx ) + C2 N n (αx ), x ∈ (0, l ) .Здесь J n (αx ) и N n (αx ) − функции Бесселя и Неймана порядкаn.Функции Бесселя целого порядка - ограниченные функции, афункция Неймана неограниченно возрастают в нуле.

Качественное поведении функций показано на рис. 3. Точки пересеченияоси х будем называть нулями функций Бесселя. Несколько пер-32вых нулей функции Бесселя нулевого порядка даны в таблице№1Рис. 3n12345ξn2,40485,52018,633711,791514,9309J1 ( ξn)0,51910,34030,27150,23250,2065n678910ξn18,071121,211624,352527,493530,6346J1 ( ξn)0,18770,17330,16170,15220,1442Таблица №1. Нули функции Бесселя J 0 (ξn ) = 0 и значения вэтих нулях функции Бесселя первого порядка J1 (ξn )Уравнение Бесселя- сингулярное уравнение с особой точкойх=0.

Поэтому, аналогом краевых условий Дирихле, дающихограниченное решение, будут следующиеy (0 ) < ∞, y (l ) = 0 .Т.к. N n (αx ) в нуле стремится к бесконечности, то C2 = 0 .33ξm, где J 0 (ξm ) = 0 . Ряд Фурье-Стеклова поlсистеме собственных функций задачи Штурма-Лиувилля имеетвид∞ξ f ( x ) = ∑ Cm J 0  m x  . l m =1Ниже приведено несколько примеров разложения в ряд посистеме функций Бесселя∞2 ξx 1. 1 = ∑J0 n  l n =1ξn J1 (ξn)x ∞2 ξx 2.=∑J0 n l n =1ξn J 2 (ξn )  l l − x2 ∞8 ξn x =3.J.∑03l()l2Jξn =1ξn 1 nОбозначим α m =3. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА3.1.

Основные краевые задачи для уравнения Пуассона.Уравнение Пуассона и его частный случай уравнение Лапласа применяются при расчете электрических полей. Известно,что напряженность электрического поля связана с его потенциаломE = − gradφ ( x, y, z ).По теореме Гаусса∑ qii∫∫ EdS = εε.0ГОтсюда следует, что ρ( x, y, z )divE =,εε0где ρ( x, y, z ) − плотность зарядов.

Следовательно, для потенциала получаем уравнение34div(− gradφ ) =Так как div(− grad) = −Δ, гдеΔ=∂2∂2ρ( x, y, z ).εε0∂2++∂x 2 ∂y 2 ∂z 2- оператор Лапласа, то для потенциала получаем уравнение Пуассона1Δφ = −ρ( x, y, z ) .εε0При отсутствии в рассматриваемой области свободных зарядов ρ( x, y, z ) = 0 уравнение Пуассона принимает вид уравненияЛапласа∆ϕ = 0 .Определение 1. Функция u ( x ) класса C 2 (Q ), удовлетворяющая на области Q уравнению Лапласа ∆u = 0 называетсягармонической функцией.Рассмотрим ограниченную область Q ⊂ R 3 с кусочногладкой границей Г. Для таких областей можно поставить следующие три основных краевых задачи для уравнения Пуассона.Определение 2.

Первой краевой задачей (или задачей Дирихле) для уравнения Пуассона называется задача нахождениярешения уравнения Пуассона, удовлетворяющего условию Дирихле на границеΔu = f ( x ), x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ Q,(1)()u=φx. x∈ΓКлассическим решением задачи ( 1 ) называется функцияu ( x ) ∈ C (Q ) ∩ C 2 (Q ) ,удовлетворяющая внутри Q уравнению Пуассона, а на границекраевому условию Дирихле.Замечание. Последняя формула читается так: функция непрерывна в области Q, включая ее границу, и дважды дифференцируема в области Q.35Отметим, что понятие классического решения необходимодля нахождения единственного решения задачи Дирихле.

Это иллюстрирует следующий пример.Пример 1. Пусть правая часть f ( x ) ≡ 0 . Тогда решении задачи Дирихле можно взять в виде кусочно заданной функцииC = const , x ∉ Γ,u( x ) = φ( x ), x ∈ Γ.Следовательно, будет существовать бесконечно много решенийзадачи.Определение 3. Второй краевой задачей (или задачей Неймана) для уравнения Пуассона называется задача нахождениярешения этого уравнения, удовлетворяющего условию Нейманана границеΔu = f ( x ), x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ Q,(2) ∂uφ(x).= ∂n x∈Γ∂uЗдесь− производная по направлению внешней нормали к по∂nверхности Γ.Классическим решением задачи ( 2 ) называется функцияu ( x ) ∈ C 1 (Q ) ∩ C 2 (Q ) ,удовлетворяющая внутри Q уравнению Пуассона, а на границе краевому условию Неймана.Определение 4.

Третьей краевой задачей для уравненияПуассона называется задача нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего смешанному краевому условиюΔu = f ( x ), x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ Q,(3) ∂u(α+βu)=φ(x).α+β≠0,α≥0,β≥0. ∂nx∈ΓКлассическим решением задачи ( 3 ) называется функцияu ( x ) ∈ C 1 (Q ) ∩ C 2 (Q ) ,36удовлетворяющая внутри Q уравнению Пуассона, а на границе –смешанному краевому условию.Сформулируем теоремы единственности классических решений поставленных задач.Теорема 1.

Если решение краевой задачи Дирихле существует, то оно единственно.Теорема 2. Решение краевой задачи Неймана определяетсяс точностью до константы.Теорема 3. Необходимое условие существования решениязадачи Неймана. Для существования решения второй краевой задачи должно выполняться условие∫∫∫ fdx = ∫∫ φds .QΓТеорема 4. Третья краевая задача не может иметь более одного решения, если выполняется условияβ( x)∈ C (Γ) ,α( x)лю.β( x)β( x)не равна тождественно ну≥0 , иα( x)α( x)3.2.

Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кругеПусть область Q- круг радиуса r=l. Решение задачи будемискать в полярных координатах (r , φ)Δu = 0, 0 ≤ r < l , φ∈ [0,2 π],u Γ= f (φ).Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид11urr + ur + 2 uφ= 0 .rrРешение этого уравнения будем искать методом Фурье (методомразделения переменных).37Алгоритм метода Фурье, применимого в случае канонических областей для всех основных уравнений математической физики, можно описать тремя основными этапами.I.Первый этап состоит в нахождении частных решенийуравнения в частных производных.Частные решения ищутся в виде произведения функций от однойпеременной.

В данном случаеu (r, φ ) = R(r )Φ(φ ) .Это выражение подставляем в уравнение Лапласа11R′′Φ+ R′Φ+ 2 RΦ′′ = 0rrи делим получившееся уравнение на RΦR′′ 1 R′ 1 Φ′′++= 0.R r R r2 ΦЗатем умножаем получившееся уравнение на r 2 , оставляем в левой части функции, зависящие от r, а функции, зависящие от угловой координаты переносим в правую часть. Оказывается, чтолевая и правая части уравнения зависят от разных переменных.Следовательно, они равны константеR′′R′ Φ′′r2+r == сonst = λ2 .RR ΦОтсюда получаем два уравненияR′′R′r2+ r − λ2 = 0 ,(4)RR(5)Φ′′ + λ2Φ= 0 .Для существования однозначного решения задачи должновыполняться условиеΦ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π ) .(6)Уравнение (5 ) и условие (6 ) составляют задачу ШтурмаЛиувилля, изученную ранее (пример 2, раздел 2.3 ).

Отметим,что появление задачи Штурма-Лиувилля в первом действии метода Фурье характерно для всех других уравнений, решаемыхэтим методом.38Второй этап состоит в решении полученных на первомэтапе обыкновенных дифференциальных уравнений, задач Штурма-Лиувилля и построении общего решенияуравнения в частных производных.Из условий периодичности ( 6 ) получаем λn = n , n=0,1,2,... ,Φn (φ ) = An cos nφ + Bn sin nφ .Решения уравнения (4), при заданных λn = nII.1n2R′′(r ) + R′(r ) − 2 R (r ) = 0rrбудем искать в видеR (r ) = r k ,где k – неизвестная константа.

Произведя дифференцирование иподставляя в уравнение получимk (k − 1)r k − 2 + kr k − 2 − λ2 r k − 2 = 0 , k = ±λ .Таким образом, радиальная часть решения имеет видRn (r ) = Cn r k + Dn r − k .Если поставить условие ограниченности решения в нуле, тоостается только первое слагаемое Rn (r ) = Cn r n , т.к. Dn = 0 .Общее решение уравнения в частных производных есть суперпозиция всех найденных частных решенийu (r, φ ) =∞∑ r n [An cos nφ]+ Bn sin nφ .n=0III. Третий этап состоит в нахождении неизвестных An и Bn .Для этого применяется теория рядов Фурье ( в общем случае теория рядов Фурье-Стеклова).Разложим функцию, задающую краевое условие , в рядФурье39f (φ) =ииспользуемu (l , φ) = A0 +∞a0 ∞+ ∑ [an cos nφ + bn sin nφ ],2 n =11 πan = ∫ cos nπf (φ)dφ,π− π1 πbn = ∫ sin n f (φ)dφ,π− πu (l , φ ) = f (φ),краевоеусловие∑ l n [ An cos nφгде+ Bn sin nφ ] , для нахождения неиз-n =1вестных констант.

Из равенства двух рядов следует2 A0 = a0 , an = l n An , bn = l n Bn .Эти соотношения полностью определяют неизвестные константыи решение поставленной задачиna0 ∞  r u (r, φ ) =+ ∑   (an cos nφ + bn sin nφ ) .2 n =1 l Замечание 1. Если функция f является частичной суммойряда Фурье, то решение всегда представляется в виде конечногоряда.Пример 2. Пусть краевое условие задачи Дирихле содержит конечное число синусов и косинусов, например1 + cos 2ϕ a0f (ϕ ) = cos 2 ϕ ==+ a2 cos 2ϕ .22Тогда и решение должно иметь такую же структуру, какую имеет краевое условие u (l , φ) = A0 + l 2 A2 cos 2φ. Отсюда находимрешение задачи21  r  cos 2φu (r, φ ) = +  .2 l 2Замечание 2.

Если начало координат не входит в область Q,то общее решение уравнения Лапласа содержит логарифм и отрицательные степени r40u (r, φ ) = C0 + D0 ln r +∞n =1∑ ( An r n +Bnrn)cos(nφ+Cr+nn)sinnφrnDn.Пример 3. Найти значения параметра B , при которых существует решение задачи Неймана в кольцеΔu = 0, 1 ≤ r < 3, φ∈ [0,2π], ∂u∂u2,=−= B. ∂n∂n r = 3 r =1Т.к.