Векторный анализ, теория поля

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМосковский государственный университетприборостроения и информатикикафедра высшей математикиВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПОЛЯучебное пособие для студентов технических специальностей.Москва 2007УДК 517.Векторный анализ. Теория поля. Учебное пособие для студентов техническихспециальностей.Сост.: к.ф.-м.н., доц. Баланкина Е.С./МГУПИ. М. 2007.103 с.Теория поля является математической базой многочисленныхспециальных дисциплин (теория электромагнетизма, электроника,радиотехника, энергетика). Настоящее пособие содержит теоретическийматериал и примеры по вопросам исследования векторной функции одногоаргумента, теории криволинейных, поверхностных интегралов и векторномуанализу в объеме достаточном для понимания и овладения техникой решениязадач по этим разделам высшей математики.В каждой главе пособия приводятся доказательства основных теорем, идается подробное решение типовых задач.Пособие предназначено для студентов технических специальностей.Библиогр: 6.Рецензент: зав.

каф. теоретической механики,к.т.н, А.Р. Пирумов.2ВведениеОдним из важнейших разделов курса математики являетсяматематический анализ скалярных и векторных функций векторногоаргумента, называемых так же векторным анализом или теорией поля.Знания, полученные при изучении векторного анализа, применяются в такихдисциплинах, как «Физика», «Электромагнитные поля и волны» и др. Теориякриволинейных и поверхностных интегралов, вектор-функции скалярногоаргумента и теория поля составляют часть дисциплины математики, которуюизучают студенты всех технических специальностей.Для понимания основного материала этого пособия необходимо владение,с одной стороны, курсом векторной алгебры, с другой стороны, - курсомдифференциального и интегрального исчисления функций многихпеременных. Умение вычислять частные производные, двойные и тройныеинтегралы, является необходимым для усвоения основных операций и теоремвекторного анализа.Несколько слов об обозначениях.

Для скалярного и векторногопроизведение векторов a и b введем следующие обозначения: (a , b ) , a × b ,соответственно. В литературе также часто встречаются и другиеобозначения: a ⋅ b (скалярное произведение) и [a , b ] (векторноепроизведение). Для краткости будем использовать следующие символы: ∀ −для любого, ∃ − существует, найдется, ⇒ − следовательно, следует.Функции, описывающие скалярные и векторные поля, т.е. функциивекторного аргумента, могут быть также и функциями времени.

Однако вданном пособии все поля предполагаются стационарными, т.е. независящимиот времени.В первых трех главах рассмотрены вопросы, связанные с исследованиемвектор-функции скалярного аргумента, вычислением криволинейных иповерхностных интегралов. Таким образом, эти главы носят как бы вводныйхарактер к главам 4 и 5 (скалярные и векторные поля).Глава 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕКТОРЫВводится понятие годографа. Дается определение предела, непрерывности и производнойвектор-функции одного скалярного аргумента. Приведены правила дифференцированиявектора по скаляру и интегрирования векторной функции.1.1.

Вектор функция одного скалярного аргументаПонятие векторного поля, возникшее в физике, совпадает сматематическим понятием вектор функции. Понятие вектор функциивозникло как результат обобщения математического анализа. Поэтомуестественно, что круг рассматриваемых понятий «унаследован» отматематического анализа: предел, непрерывность дифференцируемость,интегрируемость. Существуют не только переменные скаляры, но ипеременные векторы. Вектор называется переменным, если в условияхрассматриваемой задачи он может менять свою длину и свое направление(или хотя бы одну из этих характеристик).3Переменный вектор a называется вектор функцией скалярногоаргумента t, если каждому значению скаляра из области допустимыхзначений соответствует определенное значение вектора a = a (t ) .

Так как aявляется функцией скалярного аргумента t, то координаты x, y, z в a такжебудут функциями аргумента t:x=x(t)y=y(t)z=z(t)Таким образом, задание вектор функции равносильно заданию трехскалярных функций. И обратно, если координаты вектора a являютсяфункциями t, то функцией t будет и сам вектор a :(1.1)a (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )kИзвестно, что для интерпретации результатов, формирования гипотез и т.п.важную роль играет наглядное представление функции, в данном случаевектор-функции. Для функций, изучаемых в математическом анализе, с этойцелью применяется график функции f, т.е. множество точек плоскости xOy cкоординатами (x: f(x)).

В векторном анализе аналогичную роль играетпонятие годографа функции.Годограф (от греческого hodos – путь, движение, направление) – этокривая, представляющая собой геометрическое место концов переменного(изменяющегося со временем) вектора, значения которого в различныемоменты времени отложены от общего начала О (см. рис.1.1). Понятиегодографа было введено английским ученым У. Гамильтоном. Представлениелинии в виде годографа вектор-функции скалярного аргумента являетсяпопулярным способом задания линии. Годограф дает представление о том, какизменяется со временем физическая величина, изображаемая переменнымвектором. Вектор, изменяющийся только по модулю (с постояннымнаправлением) имеет своим годографом луч (полупрямую), выходящую изполюса. Вектор, изменяющийся только по направлению, модуль которогопостоянный, имеет своим годографом кривую, лежащую на сфере с центромв полюсе.

Отметим важное отличие годографа вектор функции от графикафункции: у различных вектор- функций может быть один и тот же годограф. Вкачестве примера рассмотрим несколько разных вектор функций с одинаковымгодографом, представляющим собой полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенным в первой и второй четвертях:41)2)для функцииf = i cos t + j sin tс областью определения, заданной⎧ x = cos t, т.е.системой неравенств 0≤t≤π, годограф имеет вид: ⎨y=sint⎩⎧x 2 + y 2 = 1⎨⎩y ≥ 0для функции g (t ) = i cos 2t + j sin 2t с областью определения заданной⎧ x = cos 2tсистемой неравенств 0≤t≤π/2, годограф имеет вид: ⎨, т.е.⎩ y = sin 2t⎧x 2 + y 2 = 1⎨⎩y ≥ 03)для функции h (t ) = i t + j 1 − t 2с областью определения заданной⎧⎪ x = tсистемой неравенств -1≤t≤1, годограф имеет вид: ⎨, т.е.⎪⎩ y = 1 − t 2⎧x 2 + y 2 = 1⎨⎩y ≥ 0С этой точки зрения в рассмотренных примерах можно говорить о разнойпараметризации линии (в данном случае полуокружности).

На рис. 1.2изображены годографы этих вектор-функций (у них один и тот же годограф), изначения этих функций при одном и том же значении параметра t, равном π/6.Точка М1(х,у,0) (рис.1.3) лежит в плоскости хОу и является проекцией точкиМ(x,y,z) на эту плоскость; приизменении аргумента t радиус-векторточки М1ρ z (t ) = x(t )i + y (t ) j(1.2)опишет линию P1Q1, являющуюсяпроекцией кривой PQ на плоскостьхОу (значок z у ρ указывает, что речьидет о проекции на плоскость,перпендикулярную оси Oz). Следовательно,отбрасываяпоследнююсоставляющую в уравнении годографаPQ ( r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k ), получаем уравнение проекции PQ наплоскость хОу.

Аналогично, уравнение ρ x = yj + zk будет уравнениемпроекции годографа PQ на плоскость yОz и ρ у = xi + zk - проекции годографаPQ на плоскость хОz.51.2. Предел, непрерывность и производная вектор-функции одногоскалярного аргументаОпределения предела, непрерывности и производной вектор функции вводятсяпо аналогии с определением для "обычной" функции, т.е. действительнозначнойфункции действительного аргумента. Речь идет именно об обобщении, так как"обычную" функцию можно рассматривать как вектор-функцию с областьюзначений в одномерном линейном пространстве R.Для «обычной» функции F имеем:(1.3 а)lim F ( x) = Cx → x0Переводя (1.3 а) на язык «ε-δ»: число С называется пределом функции F (x) приx→x0,, если для любого сколь угодно малого ε>0 найдется такое число δ(ε),зависящее от ε большее нуля, такое, что для любых х, удовлетворяющих условиюx − x0 <δ выполняется неравенство: F ( x) − C <ε. Или тоже самое кратко:∀ε >0 ∃δ (ε ) >0 ∀x : x − x 0 <δ ⇒ F ( x) − C <ε(1.3 б)Для вектор-функции f единственное отличие в формуле будет состоять втом, что модуль разности векторов определяется иначе, чем модуль разностичисел.

Для того чтобы подчеркнуть это отличие для векторов будем писатьвместо модуля обозначение нормы вектора.Т.о., постоянный вектор с называется пределом переменного вектораr , если норма разности между ними в процессе изменения векторастановится и в дальнейшем остается меньше произвольного напередзаданного положительного числа ε. Тогда определение (1.3 а,б)переписывается практически дословно для вектор-функции скалярногоаргумента, заменив модуль разности чисел на норму разности векторов:(1.3 в)lim f (t ) = c ⇔ ∀ε >0 ∃δ >0 ∀t : t − t 0 < δ ⇒ f (t ) − c < εt →t 0Для определения непрерывности в точке "обычной" функции F имеем:(1.4 а)lim F ( x) = F ( x0 )x → x0Или на языке «ε-δ»: функция называется непрерывной в точке х=х0, если :∀ε >0 ∃δ (ε ) >0 ∀x : x − x 0 <δ ⇒ F ( x) − F ( x 0 ) <ε(1.4 б)Оно переносится практически дословно на случай непрерывности векторфункции скалярного аргумента t:(1.4 в),lim f (t ) = f (t 0 )t →t 0т.е.