Учебно-методическое пособие

1МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТМатематический анализ2 семестрУчебно-методическое пособиеДля студентов очной формы обученияинститутов РТС, ИТ, ЭлектроникиМоскваМИРЭА20162Составители: И. М. Аксененкова, Е.Н. Гущина, Т.Р. Игонина,О.А. Малыгина, И.Н. Руденская, Е.В. Пронина,Н.С. Чекалкин, А.Г.

ШуховВведениеПособие разработано коллективом преподавателей кафедры высшейматематики-2 Московского технологического университета (МИРЭА) длястудентов очной формы обучения институтов РТС, Информационныхтехнологий и Электроники. Пособие содержит обзор основных тем курсаматематического анализа 2-го семестра, список теоретических вопросов дляподготовки к сдаче экзамена (зачета), перечень рекомендуемой литературы.Приведены примерные варианты контрольных работ по курсу, образецбилета, а также типовой расчет. Решение типовых заданий обеспечитстуденту полноценное усвоение содержания курса.Содержание курса.

Основное содержание курса математическогоанализа 2-го семестра (очная форма обучения) составляют следующиетемы: неопределенный интеграл и методы интегрирования; определенныйинтеграл, его свойства, вычисление; приложения определенного интеграла;несобственные интегралы (от функций на бесконечном интервале и отнеограниченных функций), признаки сходимости; двойной интеграл, егосвойства, вычисление в декартовых и полярных координатах; приложениядвойного интеграла в геометрии и механике; тройной интеграл, егосвойства, вычисление в декартовых, цилиндрических и сферическихкоординатах; приложения тройного интеграла; криволинейные интегралы(по длине дуги и по координатам), свойства и вычисление; формула Грина;поверхностные интегралы, их вычисление; скалярное и векторное поля, иххарактеристики;потоквекторногополя,вычислениепотоканепосредственно и по теореме Остроградского – Гаусса; циркуляциявекторного поля, вычисление циркуляции непосредственно и по теоремеСтокса.Структура пособия.

В пособии - две части, в первую часть включенызадачи для самостоятельной работы студентов (выполнение домашнихработ, подготовка к контрольным работам), во вторую - задания типовогорасчета.В пособие включено «Приложение», в котором приводятся основныеопределения и теоремы курса, разбираются алгоритмы решения типовыхзадач курса. От студента требуется успешное овладение материалом поуказанным темам, т.е. необходимо знать определения понятий,формулировки и доказательства основных теорем курса. Студент такжедолжен продемонстрировать умение решать типовые задачи данного курса.3Методические указанияВ течение семестра по курсу математического анализа проводятся двеконтрольные работы и выполняется типовой расчет.Контрольная работа №1проводится по теме «Методы интегрирования.

Определенный интеграл иего приложения».Цель. Проверить усвоение основных приемов интегрирования; проверитьумения вычислять определенный интеграл и с помощью определенногоинтеграла находить площади плоских фигур, длины дуг и т.д.Содержание. В контрольную работу входят задачи, идентичные задачамчасти 1 данного пособия (т.е. задачи №1.1, 1.2, 1.3, 1.4).Примерный вариант контрольной работы №11) Вычислить интегралы:(arcsin x)31 x2dx ;(7 x  5)dx x2  5x  6 ;3x1 x2dx ;(6 x 2  5 x  2)dx;x 4ln x  3  xdx ;x (sin2 arctgx dx5 x  cos 2 x) dx .12) Вычислить определенный интеграл xe3xdx .03) Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры,ограниченной линиями y  e x и y  e  x , x  1.Контрольная работа №2проводится по теме «Несобственные интегралы.

Двойной и тройнойинтегралы, их приложения».Цель. Проверить усвоение основных приемов исследования несобственныхинтегралов на сходимость и их вычисления; проверить умение вычислятьдвойные и тройные интегралы и решать прикладные задачи.Содержание. В контрольную работу №2 входят задачи, идентичные задачамиз части 2 данного пособия (т.е. №2.1, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7).Примерный вариант контрольной работы №21). Исследовать несобственный интеграл на сходимость.

Если интегралсходится, то вычислить его: xe09 xdx .42). Расставить пределы интегрирования и изменить порядок интегрированияв двойном интеграле D f ( x, y)dxdy , где область D ограничена линиями:y  1 x , y  4, y  x .3). Найти площадь фигуры, ограниченной прямой y   x и параболойy  2 x  x 2 , с помощью двойного интеграла. 1 z  24). Вычислить объем тела с помощью тройного интеграла:  22x  y  2zЗамечание: по усмотрению преподавателя количество задач контрольныхработ может быть изменено.Типовой расчет.

В типовой расчет входят задачи из части 2. Типовойрасчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствиис назначенным ему номером варианта. Студент подробно описываетрешение каждой задачи, объясняет решения задач преподавателю, отвечаетна вопросы. Наличие выполненного типового расчета являетсяобязательным условием допуска студента на экзамен или зачет.По итогам обучения на основе учебного плана проводится экзаменили зачет.Примерный вариант экзаменационного (зачетного) билета1. Вычислить:(arcctgx ) 5  x  3dx ;а) 1 x2б) ln xdx ; в)4x  7 (1  x)( x  3)dx ; г)2.

Исследовать несобственный интегралx2dx 5  3 cos x .e 6 x dx на сходимость. Если0интеграл сходится, то вычислить его.3. Вычислить площадь области, ограниченной параболой и прямой:y  x 2  2x , y  x  2 .4.С помощью тройного интеграла найти объем пирамиды, ограниченнойплоскостями: x  0 , y  0 , z  0 , x  2 y  3z  12 .36 75. Найти градиент скалярного поля U  arcsin 5x  xy z  2 z .6.Формула Грина. Вычислить с помощью формулы Грина: 3xyd x  5x dy ,2гдеLBC : y  1 ,CA : x  0 .L  AB  BC  CA ,AB : y  x 2 , 0  x  1 ,52axiyjzk7.

Вычислить поток векторного полячерез внешнюю22сторону замкнутой поверхности σ: 2 z  4  x  y , x  0 , y  0 ,(первый октант).z0Теоретические вопросы по курсу1. Определение первообразной, теорема о множестве первообразных.2. Неопределенный интеграл. Основные свойства (линейность,интеграл от производной функции).

Таблица интегралов.3. Методы интегрирования: замена переменной в интеграле,интегрирование по частям.4. Общаясхемаинтегрированиярациональныхфункций,интегрирование простейших дробей, правильных и неправильныхдробей.5. Интегрирование тригонометрических функций; интегрированиеиррациональностей. Примеры.6. Определенный интеграл: определение, геометрический и механическийсмысл; свойства (линейность, аддитивность, интегрирование неравенств,теорема о среднем).7. Теорема о дифференцировании интеграла по верхнему пределу.

ФормулаНьютона-Лейбница.8. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.Примеры.9. Приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоскихфигур, вычисление длины кусочно-гладкой кривой, вычисление объема телавращения).10. Несобственные интегралы от функции на бесконечном интервале.Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Определениесходимости, признаки сходимости. Примеры сходящихся и расходящихсяинтегралов.11. Определение двойного интеграла и его геометрический смысл. Свойствалинейности и аддитивности двойного интеграла. Сведение двойногоинтеграла к повторному. Приложения.12. Двойной интеграл: интегрирование неравенств, оценка интеграла, теорема осреднем. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл вполярных координатах.13. Определение тройного интеграла, его свойства. Вычисление тройногоинтеграла в декартовых координатах14.

Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл вцилиндрических и сферических координатах. Вычисление площади сферы.15. Определение криволинейного интеграла по длине дуги, его геометрический имеханический смысл, вычисление.616. Определение, основные свойства криволинейного интеграла по координатами его вычисление. Формула Грина.17. Условие независимости криволинейного интеграла по координатам отвыбора пути интегрирования (на плоскости).18.

Определение поверхностного интеграла первого и второго типов, свойства,вычисление.19. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент скалярного поля.Геометрический смысл градиента, его свойства.20. Векторное поле. Дивергенция векторного поля. Основные свойства и еевычисление. Ротор векторного поля.