Билеты (версия для шпор), страница 2

5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Пусть f (х) задана на [а, b], а < b, Т ‒ разбиение [а, b]: а = х₀ <х₁ < ... < х_п = b на п частичных сегментов [х₀, х₁], ..., [х_п‒1, х_п]. Пусть ξ_i ‒ точка [х_i‒1, х_i], Δх_i = х_i ‒ х_i‒1 ‒ длина сегмента. Δ=max Δх_i

О1. Число I{ х_i, ξ_i }, где

называется интегральной суммой функции f (х), соответствую‒щей данному разбиению Т сегмента [а, b] и данному выбору промежуточных точек ξ_i на частичных сегментах [х_i‒1, х_i].

О2. Число I называется преде­лом интеграль­ных сумм I{ х_i, ξ_i } при Δ→0, если для ε >0 Ǝ δ=δ(ε): для разбиения Т сегмента [а, b], для которого Δ=max Δх_i < δ, независимо от выбора точек ξ_i на [х_i‒1, х_i] выполняется неравенство | I{ х_i, ξ_i } ‒ I |< ε.

О3. Ф‒я f (х) называется интегрируе­мой (по Риману) на [а, b], если Ǝ конечный предел I интегральных сумм f (х) при Δ→0. Предел I ‒ определенный интеграл от f (х) по [а, b]:

Пусть f (х) огра­ничена на [а, b], Т ‒ разбиение [а, b] точками а = х₀ <х₁ < ... < х_п = b, М_i и m_i ‒ ТВГ и ТНГ f (х) на [х_i‒1, х_i].

Суммы называются верхней и нижней сум­мами f (х) для данного Т сегмента [а, b].

Для I{ х_i, ξ_i } разбиения Т сегмента [а, b]: s ≤ I{ х_i, ξ_i } ≤ S.

Пусть ‒ ТНГ мн‒ва {S} верхних сумм, I ‒ ТВГ множества {s} ниж­них сумм: . Числа верхний и нижний интегра­лы Дарбу от f (х).

. Пусть => . Т.к ‒ точные грани => Ǝ S' и s" ‒ верхняя и нижняя суммы некоторых разбиений Т' и Т" сегмента [а, b]: . Вычитая 2‒е неравенство из 1‒ого и учитывая => s" > S' => противоречит св‒ву ( Пусть Т' и Т" ‒ разбиения [а, b]. Тогда:

s' ≤ S", s" ≤ S'.)

Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу от f (х) по [а, b] являются с пре­делами верхних и нижних сумм при Δ→0.

Т. Чтобы ограниченная на [а, b] функция f (х) была интегрируемой на [а, b], необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 нашлось такое разбиение Т сегмента [а, b], для которого S ‒ s ≤ ε.

1) Необходимость. Пусть f (х) интегрируема на [а, b], I ‒ предел интегральных сумм f (х) => для ε > 0 Ǝ δ=δ(ε), что для разбие-ния Т, где Δ < δ, независимо от выбора точек ξ_i на частичных сегментах выполняется: | I{ х_i, ξ_i } ‒ I |< ε/4. (1)

Зафиксируем одно такое разбиение Т. По св‒ву 1° (Для фиксиро‒ванного Т и для ε>0 точки ξ_i (ξ_i*) на [х_i‒1, х_i] можно выбрать так, что 0 ≤ S ‒ I{ х_i, ξ_i } < ε (0 ≤ I{ х_i, ξ_i* } ‒ s < ε) для данного Т можно указать такие 2 интегральные суммы, что

S ‒ I{ х_i, ξ_i' } < ε/4, I{ х_i, ξ_i'' } ‒ s < ε/4 (2)

Обе I{ х_i, ξ_i' } и I{ х_i, ξ_i'' } удовлет­воряют (1).

S ‒ s = (S ‒ I{ х_i, ξ_i' }) + (I{ х_i, ξ_i' } ‒ I) + (I ‒ I{ х_i, ξ_i'' })+ + (I{ х_i, ξ_i'' } ‒ s) => учитывая (1) и (2): S ‒ s < ε

2) Достаточность. Для Т: и для ε > 0, по условию теоремы, Ǝ T: S ‒ s ≤ ε => => в силу произвольности ε: . Докажем, что число I является пределом интегральных сумм f (х). По лемме Дарбу это число I ‒ общий предел при Δ→0 верхних и нижних сумм => для ε >0 Ǝ δ: при Δ < δ: I ‒ s < ε/2 и S ‒ I < ε/2, т. е. при Δ< δ, S ‒ s < ε, и s ≤ I ≤ S. Для I{ х_i, ξ_i } данного Т: s ≤ I{ х_i, ξ_i } ≤ S.

Т. о., при Δ < δ обе величины I и I{ х_i, ξ_i } заключены между числами s и S, разность между которыми меньше ε => при Δ < δ:

| I{ х_i, ξ_i } ‒ I |< ε => число I есть предел интегральных сумм.

Иная форма необх. и достаточного условия интегрируемости.

Пусть М_i и m_i ‒ точные грани функции f (х) на сегменте [х_i‒1, х_i]. Число ω_i = М_i ‒ m_i ≥ 0 ‒ колебание функции f (х) на [х_i‒1, х_i].

Каждое слагаемое в последней сумме неотрицательно.

Чтобы f (х) была интегрируемой на [а, b], необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 нашлось такое разбиение Т сегмента [а, b], для которого

6. Классы интегрируемых функций

О. Ф‒я f (х) называется равномерно не­прерывной на {х}, если для ε > 0 Ǝ δ= δ(ε) >0: для х', х" ∈ {х}: | х" ‒ х' | < δ, выполняется |f (х") ‒f (х') | < ε.

Т1. Непрерывная на [а, b] f (х) равномерно непре­рывна на [а, b] .

Сл. Пусть f (х) непрерывна на [а, b] .Тогда для ε > 0 Ǝ δ > 0:

на [c, d] ∈ [а, b]: d ‒ с < δ, колебание f (х) ω = М ‒ m < ε (М и m ‒ точные грани f (х) на сегменте [c, d]).

Т2. Чтобы ограниченная на [а, b] функция f (х) была интегри‒руемой на [а, b], необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 Ǝ разбиение Т сегмента [а, b], для которого S ‒ s ≤ ε.

Т3. Непрерывная на [а, b] функция f (х) интегрируема на [а, b] .

Док‒во. Пусть дано ε > 0. В силу равно­мерной непрерывности

f (х) на [а, b] для ε /(b ‒ а)>0 Ǝ δ > 0, что при раз­биении Т

[а, b] на частичные сегменты [х_i‒1, х_i], длины которых Δх_i < δ, колебание f (х) на [х_i‒1, х_i] ω_i = М_i ‒ m_i < ε /(b ‒ а) (по следствию из Т1) => для таких разбиений Т

=> по Т2 f (х) интегрируема.

Т4. Если функция f (х) определена и ограничена на [а, b] и если для ε>0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки раз­рыва этой функции и имеющих общую сумму длин меньше ε, то f (х) интегрируема на [а, b].

Док‒во. Пусть дано ε > 0. Покроем точки разрыва f (х) конечным числом интервалов, сумма длин которых меньше ε /2(М ‒ т),

M и m ‒ ТВГ и ТНГ f (х) на [а, b]. Точки сегмента, не принад­лежащие указанным интервалам, образуют множество, состоящее из конечного числа непересекающихся сегментов. На каждом из них f (х) непрерывна => равномерно непрерывна. Разобьем каждый такой сегмент так, чтобы колебание f (х) на частичном сегменте разбиения ω_i < ε /2(b ‒ а). Объединяя эти разбиения и интервалы, покрывающие точки разрыва функции f (х), мы получим разбиение Т всего [а, b]. Для этого разбиения слагаемые суммы разделяются на две группы: 1)все слагаемые, отвечающие частям разбиения Т, образован­ным из интервалов, покрывающих точки разрыва, их колебания

ω_i = М_i ‒ m_i ≤ M ‒ m =>

2) остальные слагаемые: ω_i < ε/2(b ‒ а) =>

=> по Т1 f (х) интегрируема.

Сл. Ограниченная на [а, b] функция f (х), имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема на этом сегменте. В частности, кусочно непрерывная на данном сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

Если р ‒ число точек разрыва, то достаточно покрыть каждую точку разрыва интервалом длины ε/2р

Т5. Монотонная на [а, b] функция f (х) интегрируема на этом сегменте.

Док‒во. Если функция монотонна на [а, b], то ее значения заключены между f (a) и f (b) =>функция ограничена на этом сегменте. Докажем тео­рему для неубывающей на [а, b] функции f (х) . Зададим ε > 0 и разобьем [а, b] на равные части, длины которых меньше ε /(f (b) ‒ f (a)) и т.к. для неубывающей f (x):

7. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Формулы среднего значения.

1°. 2°.

3°. Пусть f (х) и g(х) интегрируемы на [а, b]. Тогда f (х) + g (х),

f (х) ‒ g (х) и f (х) g (х) также инте­грируемы на [а, b], причем

Док‒во. При разбиении [а, b] и выборе точек ξ_i для:

= > т.к. Ǝ предел правой части, то Ǝ предел левой части =>

f (х) ± g (х) интегрируема и верна (3).

f (х) и g (х) интегрируемы на [а, b] => они ограничены на [а, b]:

| f(х)|≤ А и | g(х)|≤ В. Пусть Т ‒ заданное разбиение [а, b], х' и х" ‒ произвольные точки [х_i‒1, х_i] => f (х") g(х") ‒ f (х') g(х') =

= [ f (х") ‒ f(х')] g(х")+[ g(х") ‒ g(х')] f (х')

Т. к. | f (х") g(х") ‒ f (х') g(х') | ≤ ω_i, | f (х") ‒ f(х') |≤ ω_i¹,

| g(х") ‒ g(х')| ≤ ω_i², где ω_i, ω_i¹, ω_i² ‒ колебания f (х) g (х), f (х), g (х) на [х_i‒1, х_i] => ω_i ≤ Bω_i¹ + Aω_i² =>

f (х) и g (х) интегрируемы на [а, b] => для ε > 0 Ǝ разбиение Т :

=> для этого Т: =>

f (х) g(х) ‒ интегри­руемая функция

4°. Если f (х) интегрируема на [а, b], то с f (х) (с = const) тоже:

Т.к. интегральные суммы f (х) и с f (х) отлича­ются на const с

5°. Пусть f (х) интегрируема на [а, b].Тогда f (х) интегрируема на [c, d] [а, b].

Док‒во. f (х) интегрируема на [а, b] => для ε > 0 Ǝ разбиение Т [а, b], что S ‒ s ≤ ε. Добавим к точкам Т точки с и d. В силу св‒ва 2° верхних и нижних сумм (Если разбиение Т ' [а, b] получено путем добав­ления новых точек к точкам Т, то s ≤ s', S ' ≤ S ) для полученного разбиения Т* тем более справедливо неравенство S ‒ s < ε. Разбиение Т* сегмента [а, b] порождает разбиение Т₁ сегмента [c, d]. Если S₁ и s₁ ‒ верхняя и нижняя суммы разбиения Т₁, то S₁ ‒ s₁ ≤ S ‒ s, т.к. каждое слагаемое ω_iΔх_i >0 в выражении S₁ ‒ s₁ = Σ ω_iΔх_i будет также слагаемым в выра-жении для S ‒ s=> S₁ ‒ s₁ < ε => f (х) интегрируема на [c, d].

6°. Пусть f (х) интегрируема на сегментах [а, c]и [c, b]. Тогда f (х) интегрируема на [а, b], причем

1)а < с < b. f (х) интегрируема на [а, c] и [c, b] => Ǝ такие разбиения этих сегментов, что S ‒ s < ε/2 для каждого из них. Объединяя эти разбиения, мы получим разбиение [а, b], для которого S ‒ s < ε => f (х) интегрируема на [а, b]. Будем включать точку с в число делящих точек при разби­ении [а, b]=> интегральная сумма для f(х) на [а, b] равна сумме ин­тегральных сумм для этой функции на [а, c] и [c, b] =>в пределе получим (5).

2)точка с лежит вне сегмента [а, b] => сегмент [а, b] есть часть сегмента [а, c] или [c, b] => по св‒ву 5° f (х) интегрируема на [а, b]. Пусть а < b < с. Тогда

=> по св-ву 2° получим (5). Для с < а < b аналогично.

Оценки интегралов.

1° . Пусть интегрируемая на [а, b] функция f (х) ≥ 0 на [а, b] =>

интегр. сумма ≥ 0 => предел интегр. сумм ≥ 0 .

З1 . Если f (х) интегрируема на [а, b] и f (х) ≥ т, то

f (х) ‒ т ≥ 0 и интегрируема на [а, b] => => по св.3°:

2°. Если f (х) непрерывна, неотрицательна и на [а, b], то

f (х) неотрицательна и => на [а, b] Ǝ ξ: f (ξ) = 2k > 0 => по теореме об устойчивости знака непре­рывной функции Ǝ [р, q],

ξ ∈ [р, q] и в пределах [р, q] f (х) ≥ k > 0 => по З1:

По св‒ву 6°

=> т.к. f (х) ≥0 и получаем (6)

3°. Если f (х) и g(х) интегрируемы на [а, b] и f (х) ≥ g(х) на [а, b], то

Функция f (х) ‒ g(х) ≥ 0 и интегрируема на [а, b] => (7) по св‒ву 1° З2. Если f (х) интегрируема на [а, b], то | f (х)| также интегрируема на [а, b], причем

Пусть М_i и m_i ‒ точные грани f (x), М_i' и m_i' ‒ точные грани | f (x)| на [х_i‒1, х_i]. Легко убедиться, что М_i' ‒ m_i' ≤ М_i ‒ m_i (рассмотреть cлучаи: 1) М_i , m_i ≥ 0, 2) М_i , m_i ≤ 0, 3) М_i >0, m_i ≤ 0 ) => S₁ ‒ s₁ ≤ S ‒ s => если для некоторого разби­ения

S ‒ s < ε, то для него S₁ ‒ s₁ < ε => |f(x) | интегрируема.

‒| f (х)| ≤ f (х) ≤ | f (х))| =>

=> (8)

4°. Пусть f (х) и g(х) интегрируемы на [а, b] и g (х) ≥ 0. Тогда, если М и т ‒ точные грани f (х) на [а, b], то:

=> из того, что для х ∈ [а, b] : т g (х) ≤ f (х) g (х) ≤ М g(х) и оценки 3° и св-ва 4°.

1‒я формула среднего значения. Пусть f (х) интегрируема на

[а, b] и пусть т и М ‒ точные грани f (х) на [а, b]. Тогда Ǝ μ, где

т ≤ μ ≤ М, что

В (9) положим g(x) = 1 и учитывая, что =>

Обозначим => получим (10).

Если f (х) непрерывна на [а, b], то Ǝ р, q ∈[а, b], что f (p) = m и

f (q) = М (по 2‒й теореме Вейерштрасса) => по теореме о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение Ǝ ξ ∈ [p, q] (=>ξ ∈ [а, b]) : f (ξ) = μ => (10) примет вид

1‒й формулы среднего значения:

1‒я формула среднего значения в обобщенной форме (13). Пусть f (х) и g(х) интегрируемы на [а, b] и т и М ‒ точные грани f (х) на [а, b]. Пусть g(х) ≥ 0 (или g(x) ≤ 0) на всем [а, b]. Тогда Ǝ μ, где т ≤ μ ≤ М, что

Если f (х) непрерывна на [а, b], то Ǝ ξ ∈ [а, b]:

Если => в силу (9), => в качестве μ можно взять число. Если => разделив все части неравенств (9) на , получим

=> получим (12).

Если f (х) непрерывна на [а, b], то для μ, где т ≤ μ ≤ М,

Ǝ ξ ∈ [а, b]: f (ξ) = μ => (12) переходит в (13).

2‒я формула среднего значения (формула Бонне). Если на [а, b] функция g(х) монотонна, а f (х) интегрируема, то Ǝ ξ ∈ [а, b]:

8. Основная формула интегрального исчисления. Формулы замены переменного и интегрирования по частям.

Пусть f (х) интегрируема на сегменте, содержа­щемся в (а, b) и с ‒ некоторая фиксированная точка (а, b). Тогда для х ∈(а, b) f (х) интегрируема на [с, х] => на (а, b) определена функция

‒ интеграл с переменным верх. пределом.

Т1. Любая непрерывная на интервале (а, b) функ­ция f (х) имеет на этом интервале первообразную. Одной из пер­вообразных является ф‒я , где с ‒ фиксированная точка из (а, b).

Док‒во. Достаточно доказать, что для фиксированного х ∈ (а, b)

Ǝ предельное значение

По св‒ву 6° определенных интегралов:

где ξ ‒ число между числами х и х + Δx. f (х) непрерывна в точке х => при Δx→0 f (ξ)→f (x) =>

З1. Аналогично доказывается теорема о сущест­вовании первообразной у непрерывной на сегменте [а, b] функции, а в качестве нижнего предела интегриро­вания с можно взять а.

З2. При док‒ве Т1 устано­влено существование производной от интеграла с переменным верх­ним пределом и доказано, что эта производная равна подынтеграль­ной функции

З3. Если f (х) интегрируема на сегменте, содержащемся в (а, b), то интеграл с переменным верхним пределом является непрерыв-ной на (а, b) функцией от верхнего предела. Докажем, что прира-щение ΔF= F (х +Δx) ‒ F(х) функции стремится к нулю при Δx→0. В силу :

,

где число μ лежит между ТВГ и ТНГ гранями f (х) на [х, х+Δx] => ΔF→0 при Δx→0.

Основная формула интегрального исчисления. Любые 2 первообразные данной f (х) отличаются на постоянную => согласно Т1 и З1, можно утверждать, что первообразная Ф (х) непрерывной на [а, b] функции f (х) имеет вид:

где С ‒ некоторая постоянная.

Полагая в этой формуле сначала х = а, а затем х = b и используя св‒во 1° определенных интегралов:

это основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона —Лейбница).

Замена переменной под знаком определенного интеграла.

Пусть выполнены условия:

1) f (х) непрерывна на [а, b]

2) [а, b] является множеством значений некоторой функции

х = g(t) , определенной на α ≤ t ≤ β и имеющей на этом сегменте непрерывную производную;

3) g(α)=a, g(β) = b.

Тогда справедлива формула замены переменной под знаком определенного интеграла:

Рассмотрим некоторую первообразную Ф(х) функции f (х). По (1):

Т.к. Ф(х) и х = g(t) дифф-мы на соответ­ствующих сегментах, то сложная функция Ф( g (t)) диф-ма на [α, β] =>

причем Ф' вычисляется по аргументу х: Ф'(g(t)) = Ф'(х), где

х = g(t). Т.к. Ф'(х) = f (х) => Ф'(g(t)) = f (g(t)) =>

=> Ф(g(t)), определенная и непрерывная на [α, β], является на [α, β] первообразной для f (g(t))g'(t) => из (1) и g(α)=a, g(β) = b

Сравнивая последнюю формулу с (3), получаем (2).

Формула интегрирования по частям. Пусть и (х) и v (х) имеют непрерывные производные на [а, b]. Тогда:

и (х)v (х) является первообразной для и (х)v' (х) + v (х) и' (х) => в силу (1):

=> по св‒ву 3° определенных интегралов получим (4) и (5).