Билеты (версия для шпор)

1. Отыскание точек локального экстремума функции. Достаточные условия экстремума.

1°.Чтобы дифф‒мая на (а, b) f (х) не убывала (не возрастала) на (а, b), необ­ходимо и достаточно, чтобы f ' (x) ≥ 0 (≤ 0) на (а, b).

2°. Чтобы дифференци­руемая f (х) возрастала (убывала) на (а, b), до­статочно, чтобы f ' (x) > 0 (< 0) всюду на (а, b).

Пусть f (х) определена всюду в некоторой окрестности точки с. f (х) имеет в точке c локальный максимум (минимум), если Ǝ такая окрестность точки с, в пределах которой f (с) является наибольшим (наимень­шим) среди всех других значений функции.

Необходимое условие экстре­мума: если f (х) дифференци­руема в точке с и имеет в этой точке экстремум, то f ' (с) = 0.

1‒е ДУЭ. Т1. Пусть с ‒ точка возможного экстремума f (х), и пусть f (х) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с. Тогда, если в пределах этой окрестности f ' (x) > 0 (< 0) слева от точки с и f ' (x) < 0 (> 0) справа от с, то f (х) имеет в точке с локальный максимум (минимум). Если f ' (x) имеет один и тот же знак слева и справа от с, то экстремума в точке с нет.

Док‒во. 1) Пусть в пределах рассматриваемой окрестности f ' (x) >0 (f ' (x) < 0) слева от с и f ' (x) < 0 ( f ' (x) > 0) справа от с. Пусть х₀ ‒

значение аргумента из этой окрест­ности: х₀≠с. f (х) диф‒ма (=> непрерывна) на [с, х₀]. Применяя к f (х) по [с, х₀] Т. Лагранжа:

f (с) ‒ f (х₀)= f '(ξ)(с ‒ х₀) (1)

где с < ξ < х₀. Т.к. f ' (ξ)>0 (<0) при х₀ < с и f ' (ξ)<0 ( > 0 при

х₀ >с), правая часть (1) >0 (<0) => левая тоже => значение f (с) ‒ наибольшее (наи­меньшее) среди всех значений f (х) в окрестности.

2) Если f ' (x) имеет один и тот же знак слева и справа от с, то правая часть (1) имеет раз­ные знаки при x₀ < с и при х₀ > с => отсутствие экстремума в точке с.

Т1.1. Пусть f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки с, за исключением, быть может, самой точки с, и непрерывна в точке с. Тогда, если в пределах этой окрестности

f ' (x) > 0 ( < 0) слева от с и f ' (x) < 0 ( > 0) справа от с, то f (х) имеет в точке с локальный максимум (минимум). Если f ' (x) имеет один и тот же знак слева и справа от с, то экстремума в точке с нет.

Док‒во ан‒но, но применимость Т. Лагранжа устанавливается так: по условию функция диф‒ма (=> непрерывна) всюду на (с, х₀] и непрерывна в точке с => f (х) непрерывна всюду на [с, х₀] и диф‒ма во всех внутренних точках [с, х₀].

2‒е ДУЭ. Т2. Пусть f (х) имеет в данной точке с возможного экстремума конечную 2‒ую производную. Тогда f (х) имеет в точке с максимум, если f ⁽²⁾ < с, и минимум, если f ⁽²⁾ > с.

Док‒во. Из f ⁽²⁾ < с (f ⁽²⁾ > с) и Т2° => f ' (x) убывает (возрастает) в точке с. По условию f ' (c) = 0 => Ǝ такая окрестность точки с, в пределах которой f ' (x) >0 (<0) слева от с и f ' (x) <0 (>0) справа от с => по Т1 f (х) имеет в точке с максимум (минимум).

3‒е ДУЭ. Т3. Пусть п ≥ 1‒ целое число и пусть функция у = f (x) имеет производную порядка п в некоторой окрестности точки с и производную порядка п+1 в самой точке с. Пусть справедливы: f ⁽²⁾(c) = f ⁽³⁾(c) = …= f ⁽ⁿ⁾(c) = 0, f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c) ≠ 0 (2)

Если п ‒ нечет­ное и f ' (c) = 0, то у = f (х) имеет локальный экстремум в точке с: локальный минимум при f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c) > 0 и локальный максимум при f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c) < 0.

Док‒во. Пусть п ≥ 1 ‒ нечетное число и f '(с) = 0. При п = 1 это Т2. Пусть п ≥ 3 и f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c) > 0 (для f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c) < 0 ан‒но) => по Т2, примененной к f ⁽ⁿ⁾ (x), функция f ⁽ⁿ⁾ (x) возрастает в точке с. Поскольку f ⁽ⁿ⁾(с) = 0 => найдется достаточно малая окрестность точки с, в пределах которой f ⁽ⁿ⁾ (x) < 0 слева от с и f ⁽ⁿ⁾ (x) > 0 справа от с. Разложим f ' (x) в окрестности точки с по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа => для х из достаточно малой окрестности точки с между с и х Ǝ ξ :

Из (2) и доп. условия f ' (с) = 0 =>

ξ лежит между с и х => для всех х из малой окрестности точки с: f ⁽ⁿ⁾(c) < 0 при х < с и f ⁽ⁿ⁾(c) > 0 при х> с. При нечетном п число n ‒ 1 ‒ четное => вся правая (и левая) часть (3) для всех х из малой окрестности с отри­цательна слева от с и положительна справа от с. По Т1 f (x) имеет локальный минимум в точке с.

2. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба. Достаточные условия перегиба.

f (x) дифф‒ма в точке (а, b) => Ǝ касательная к графику у = f (х), проходящая через М (х, f (х)) (а < х <b), и она не параллельна Оу

О1. График у = f (х) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если этот график в пределах (а, b) лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

Т1. Если у = f (х) имеет на (а,b) конечную 2‒ю производную и если f ⁽²⁾ (х) ≥ 0 (f ⁽²⁾ (х) ≤ 0) всюду на (а,b), то график функции у = f (х) имеет на (а, b) выпуклость, направ­ленную вниз (вверх).

Док‒во. Пусть f ⁽²⁾ (х) ≥ 0 на (а, b) (для f ⁽²⁾ (х) ≤ 0 ан‒но), с ‒ точка из (а, b). Уравне­ние касательной, проходящей через

М (с, f (с)) (текущая орди­ната ‒Y): Y ‒ f (с) = f '(с)(x‒c) (1)

Разложим f (х) в окрестности с по фор­муле Тейлора при п = 1:

где остаточный член в форме Лагранжа, ξ ‒ между с и х. По условию f (х) имеет 2‒ю производную на (а, b)=> (2) справедливо для х ∈ (а, b). Из (1) и (2): (3)

Т.к. f ⁽²⁾ (х) ≥ 0 на (а, b), то правая часть (3) неотрицательна=> для х ∈ (а, b): у ‒ Y ≥ 0 => у ≥ Y => график у = f (х) на (а, b) лежит не ниже касатель­ной (1).

Т2. Пусть 2‒я производная у = f (х) непрерывна и положительна (отрицательна) в точке с. Тогда Ǝ такая окрестность точки с, в пределах которой гра­фик функции у = f (х) имеет выпуклость, направленную вниз (вверх).

Док‒во. По теореме об устойчивости знака непрерывной функции Ǝ окрестность точки с: в ее пределах f ⁽²⁾ (х) >0 (< 0). По Т1 график f (х) имеет в этой окрестности выпуклость вниз (вверх). •

О2. Точка М (с, f (с)) графика функции у = f (х) называется точкой перегиба этого графика, если Ǝ такая окрестность точки с оси абсцисс, в пределах которой график f (х) слева и справа от с имеет разные направления выпуклости.

Л1. Пусть функция у = f (х) имеет f ' (x) всюду в δ ‒окрестности точки с, причем f ' (x) непрерывна в точке с. Тогда, если график

f (х) имеет на интервале (с, с + δ) выпуклость, направленную вниз (вверх), то всюду в пределах (с, с+ δ) этот график лежит не ниже (не выше) касательной к графику, проведенной в точке М (с, f (с)).

Док‒во. Рассмотрим {х_n} ∈ (с, с + δ): {х_n}→с. Через каждую

М_п (х_n, f (х_n)) графика у = f (х) проведем каса­тельную:

Y_n = f (х_n) + f ' (х_n)(x ‒ х_n). Т.к. график имеет на (с, с + δ) выпуклость, направленную вниз (вверх) => для п и х ∈ (с, с + δ): f (х) ‒ Y_n = f (х) ‒ f (х_n) ‒ f ' (х_n)(x‒ х_n) ≥ 0 (≤ 0) (4)

f ' (x) непрерывна в точке с (=> f (х) тоже)=>из определения непрерывности по Гейне Ǝ

= >из (4) и Т*(Если элементы сходящейся {х_п}, начиная с некоторого n, удовлетворяют неравенству х_п ≥ b (х_п ≤ b), то и предел а этой {х_п} удовлетво­ряет неравенству а ≥ b (а ≤ b)):

Переходя в (4) к пределу при п→∞ и по Т*, получим:

f (x) ‒ Y ≥ 0 (≤ 0) для х ∈ (с, с + δ), где Y ‒ текущая ордината касательной (1), проходящей через точку М (с, f (с)).

Л2. Пусть у = f (х) имеет f '(х) в некоторой окрестности точки с, причем f '(х) непре­рывна в точке с. Тогда, если график у = f (х) имеет пере­гиб в точке М (с, f (с)), то в пределах достаточно малой δ ‒окрест­ности точки с этот график слева и справа от с лежит по разные стороны от касательной, проведенной через М.

Для док‒ва выбрать δ > 0 настолько малым, чтобы на каждом из

(с ‒ δ , с) и (с, с + δ) график у = f (х) имел определенное направ­ление, и применить Л1 по каж­дому интервалу.

Т3 (необходимое условие перегиба). Если у = f (х) имеет в точке с f ⁽²⁾(с) и график f (х) имеет перегиб в точке М(с, f (с)), то f ⁽²⁾(с)=0.

Док‒во. Y ‒ текущая ордината касательной Y= f (с) + f '(с)(x‒c), проходящей через М(с, f (с)). Функция F(x) = f (x) ‒ Y = f (x) ‒ f(с) ‒ ‒ f '(с)(x‒c), как и f (х), имеет в точке с 2‒ю производную (=> имеет F '(х) в некоторой окрестности с, причем F '(х) непрерывна в точке с). По Л2 в малой окрестности точки с график у = f (х) лежит слева и справа от с по разные стороны от касательной, проходящей через М (с, f (с))=> F(х) в малой окрестности точки с имеет слева и справа от c разные знаки => у F(х) нет в с локального экстремума. Пусть f ⁽²⁾(с)≠ 0 => т.к. F '(х) = f '(x) ‒ f '(с), F ⁽²⁾(x) = f ⁽²⁾(x), то

F' (с) = 0, F⁽²⁾ (c) ≠ 0 и F(х) имеет в точке с локальный экстремум по Т (Пусть f (х) имеет в данной точке с возможного экстремума конечную 2‒ую производную. Тогда f (х) имеет в точке с максимум, если f ⁽²⁾ < с, и минимум, если f ^{(2 )} > с ) => f ⁽²⁾ (с)= 0.

1‒е ДУП. Т4. Пусть у = f (х) имеет f ⁽²⁾ (с) в некоторой окрест‒ности точки с и f ⁽²⁾ (с) = 0. Тогда, если в пределах этой окрестно‒сти f ⁽²⁾(х) имеет разные знаки слева и справа от с, то график f (х) имеет перегиб в точке М (с, f (с)).

Док‒во. Из усло­вий => Ǝ конечная f '(с) => график f (х) имеет касательную в М (с, f (с)). f ⁽²⁾(х) слева и справа от с имеет разные знаки => из Т1 => направление выпуклости вокруг с различно.

2‒е ДУП. Т5. Если у = f (х) имеет в с конеч­ную f ⁽³⁾ (c) и f ⁽²⁾ (c)=0, f ⁽³⁾ (c) ≠ 0, то график f (х) имеет перегиб в точке М (с, f (с)).

Док‒во. Из f ⁽³⁾ (c) ≠ 0 и из Т** (Если f (x) дифференцируема в точке с и f '(с)>0 (f '(с)<0), то f (x) возрастает (убывает) в с) => f ⁽²⁾ (х) либо возрастает, либо убы­вает в точке с. f ⁽²⁾ (с) = 0 => Ǝ такая окрестность точки с, в пределах которой f ⁽²⁾ (х) имеет разные знаки слева и справа от с => по Т4 график у = f (х) имеет перегиб в точке М (с, f (с)).

3‒е ДУП. Т6. Пусть п ≥ 1‒ целое число и пусть функция у = f (x) имеет производную порядка п в некоторой окрестности точки с и производную порядка п+1 в самой точке с. Пусть справедливы: f ⁽²⁾(c) = f ⁽³⁾(c) = …= f ⁽ⁿ⁾(c) = 0, f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c) ≠ 0 (5)

Тогда, если п - четное, график у = f (х) имеет перегиб в М (с, f (с)).

Док‒во. п ‒ чет­ное. При п = 2 это Т5. Пусть п ≥ 4. Из f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c) ≠ 0 и из Т**, примененной к функции f ⁽ⁿ⁾(x) => f ⁽ⁿ⁾(x) или возрастает, или убывает в точке с. Т.к. f ⁽ⁿ⁾(c) = 0 => Ǝ достаточно малая окрестность точки с, в пределах которой f ⁽ⁿ⁾(x) справа и слева от с имеет разные знаки. Разложим f ⁽²⁾ (х) в окрестности точки с по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа => для х из достаточно малой окрестности точки с между с и х Ǝ ξ :

Т. к. в пределах достаточно малой окрестности с f ⁽ⁿ⁾(x) имеет разные знаки справа и слева от с и т. к. ξ лежит между с и х, то

f ⁽ⁿ⁾ (ξ) ( в силу четности n, и вся правая часть (6)) имеет разные знаки справа и слева от с=> f ⁽²⁾ (х) в пределах малой окрестности с имеет разные знаки справа и слева от с => по Т4 график у = f (х) имеет перегиб в М (с, f (с)).

3. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика функции.

О1. Прямая х = а является верти­кальной асимптотой графика функции у = f (х), если хотя бы одно из предельных значений или равно +∞ или ‒∞.

Пусть функция у = f (х) определена для сколь угодно больших значений аргумента, ради определенности положитель­ного знака.

О2. Прямая Y = kх + b является наклонной асимптотой графика функции у = f (х) при х→+∞, если f (х) представима в виде f (х) = kx + b + α(х), где .

Т1. Для того чтобы график функции у = f (х) имел при х→+∞ наклонную асимптоту Y = kх + b необходимо и доста­точно, чтобы Ǝ два предельных значения

Док‒во. 1) Необходимость. Пусть график функции

у = f (х) имеет при х→+∞ асимптоту Y = kх + b,

т. е. f (х) = kx+b+α(х) =>

2) Достаточность. Пусть Ǝ предельные зна­чения (1). Из 2‒го => разность f (х) ‒ kх ‒ b является бесконечно ма­лой при х→+∞. Обозначив эту бесконечно малую α(х), получим для f (х) представление

f (х) = kx + b +α (x).

Замечание. Для х→‒∞ все аналогично.

Схема исследования графика функции

1°. Уточнить область задания функции.

2°. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных).

3°. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума.

4°. Найти области сохранения направления выпуклости и точки перегиба.

5°. Найти точки пересечения графика функции с осью Ох.

4. Понятие интегрируемости функции. Леммы Дарбу о верхних и нижних суммах.

Пусть f (х) задана на [а, b], а < b, Т ‒ разбиение [а, b]: а = х₀ <х₁ < ... < х_п = b на п частичных сегментов [х₀, х₁], ..., [х_п‒1, х_п]. Пусть ξ_i ‒ точка [х_i‒1, х_i], Δх_i = х_i ‒ х_i‒1 ‒ длина сегмента. Δ=max Δх_i

О1. Число I{ х_i, ξ_i }, где

называется интегральной суммой f (х), соответствующей данному разбиению Т сегмента [а, b] и данному выбору промежуточных точек ξ_i на частичных сегментах [х_i‒1, х_i].

О2. Число I называется преде­лом интеграль­ных сумм I{ х_i, ξ_i } при Δ→0, если для ε >0 Ǝ δ=δ(ε): для разбиения Т сегмента [а, b], для которого Δ=max Δх_i < δ, независимо от выбора точек ξ_i на [х_i‒1, х_i] выполняется неравенство | I{ х_i, ξ_i } ‒ I |< ε.

О3. Ф‒я f (х) называется интегрируе­мой (по Риману) на [а, b], если Ǝ конечный предел I интегральных сумм f (х) при Δ→0. Предел I ‒ определенный интеграл от f (х) по [а, b]:

Утв. Неограниченная на [а, b] ф‒я f (х) не интегрируема на [а, b].

Док‒во. f (х) не ограничена на [а, b] => она не ограничена на некотором [х_k‒1, х_k] данного разбиения Т [а, b] => слагаемое f (ξ_k) Δх_i в I { х_i, ξ_i} можно сделать как угодно большим по модулю за счет выбора ξ_k => I{ х_i, ξ_i} не ограничены => конечного предела интегральных сумм. •

Пусть f (х) огра­ничена на [а, b], Т ‒ разбиение [а, b] точками а = х₀ <х₁ < ... < х_п = b, М_i и m_i ‒ ТВГ и ТНГ f (х) на [х_i‒1, х_i].

Суммы называются верхней и нижней сум­мами f (х) для данного Т сегмента [а, b].

Для I{ х_i, ξ_i } разбиения Т сегмента [а, b]: s ≤ I{ х_i, ξ_i } ≤ S.

Свойства верхних и нижних сумм.

1°. Для фиксированного разбиения Т и для ε > 0 точки ξ_i (ξ_i*) на [х_i‒1, х_i] можно выбрать так, что:

0 ≤ S ‒ I{ х_i, ξ_i } < ε (0 ≤ I{ х_i, ξ_i* } ‒ s < ε).

Пусть Т ‒ некоторое фиксированное разбиение [а, b]. По опреде‒лению точной грани М_i для данного ε > 0 на [х_i‒1, х_i] Ǝ ξ_i :

0 ≤ М_i ‒ f(ξ_i) < ε /(b‒a), i = 1,2, ..... п. Умножая эти неравенства на Δх_i и складывая, получим 0 ≤ S ‒ I{ х_i, ξ_i } < ε.

2°. Если разбиение Т' сегмента [а, b] получено путем добав­ления новых точек к точкам Т, то s ≤ s', S ' ≤S.

Пусть к Т добавляется одна точка х' ∈ [х_i‒1, х_i], ‒ ТВГ f (х) на [х_i‒1, х'] и [х', х_i], ‒ длины сегментов => . ТВГ на части [х_i‒1, х_i] не превосходит ТВГ М_i на всем сегменте => => => S ' ≤ S. Для s ≤ s' ан‒но.

3°. Пусть Т' и Т" ‒ разбиения [а, b]. Тогда: s'≤ S", s",≤ S'.

s' ≤ S', s" ≤ S". Пусть Т ‒ разбиение [а, b]: Т = Т' U Т", а S и s ‒ верхняя и нижняя суммы разбиения Т => по св‒ву 2°:

s' ≤ s ≤ S ≤ S', s"≤ s ≤ S ≤ S" => s' ≤ S", s" ≤ S'.

4°. Мн‒во {S} верхних сумм данной f (х) для всевозможных раз-биений [а, b] ограничено снизу. Мн‒во {s} нижних сумм ‒ сверху.

=> из 3°. S ≥ некоторой фиксированной s => {S} ограни­чено снизу. s ≤ какой‒либо верх­ней суммы => {s} ограничено сверху.

Пусть ‒ ТНГ мн‒ва {S} верхних сумм, I ‒ ТВГ множества {s} ниж­них сумм: . Числа верхний и нижний интегра­лы Дарбу от f (х).

. Пусть => . Т.к ‒ точные грани => Ǝ S' и s" ‒ верхняя и нижняя суммы некоторых разбиений Т' и Т" сегмента [а, b]: . Вычитая 2‒е неравенство из 1‒ого и учитывая => s" > S' => противоречит св‒ву 3°.

5°. Пусть разбиение Т' сегмента [а, b] получено из разбиения Т добавлением к последнему р новых точек, и пусть s', S' и s, S ‒ нижние и верхние суммы разбиений Т' и Т. Тогда для разностей S ‒ S ' и s'‒ s (они ≥ 0 по св‒ву 2° ) можно получить оценку, зависящую от максимальной длины Δ частичных сегментов разби­ения Т, числа р добавленных точек и ТВГ и ТНГ М и т ф‒и f (х) на [а, b]: S ‒ S ' ≤ (M ‒ m)pΔ, s'‒ s≤ (M ‒ m)pΔ

Пусть к разбие­нию Т добавляется точка х' ∈ [х_i‒1, х_i], он разделится на [х_i‒1, х'] и [х', х_i], ‒ длины сегментов => . Пусть М_i, ТВГ f(х) на [х_i‒1, х_i], [х_i‒1, х'] и [х', х_i] =>

Далее, т ≤ М_i' ≤ М_i ≤ М и т ≤ М_i'' ≤ М_i ≤ М => М_i ‒ М_i' ≤ М ‒ т и М_i ‒ М_i'' ≤ М ‒ т =>

Это 1‒е неравенство св‒ва 5° при р = 1. Для нижних сумм ан‒но.

6°.Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу от f (х) по [а, b] являются с пре­делами верхних и нижних сумм при Δ→0.

Докажем:

1)М = m, т. е. f (х) = const => лемма оче­видна, т.к. S = = s.

2)М > т. Т.к. ‒ ТНГ {S} => для ε > 0 Ǝ Т* [а, b]:

S* ‒ < ε/2. (1)

Пусть р ‒ число точек Т*, лежащих строго внутри [а, b]. Пусть Т ‒ разбиение [а, b]: (2) и S ‒ верхняя сумма Т. Добавим к Т внутренние точки Т* => получим разбие­ние Т', верхняя сумма S' которого по св‒ву 5° и условию (2):

0 ≤ S ‒ S ' ≤ (M ‒ m)pΔ< ε/2 (3)

Но Т' можно рассматривать как раз­биение, полученное в результате добавления к Т* внут­ренних точек Т = > по св‒ву 2°:

≤ S ' ≤ S* => 0 ≤ S '‒ ≤ S*‒ => из (1): 0 ≤ S '‒ ≤ ε/2

Складывая это неравенство с (3), получим 0 ≤ S ‒ ≤ ε . (4)

Т.о., для ε > 0 Ǝ δ > 0 (см (2)): верхние суммы S разбиений Т сегмента [а, b], для которых Δ < δ (см. (2)), удовлетворяют неравенству (4)=> верхний интеграл Дарбу является пределом верхних сумм. Для нижних сумм док‒во ан‒но.