Билеты (версия для шпор), страница 3

9. Понятие длины плоской кривой. Формулы для вычисления длины дуги кривой.

Пусть φ (t) и ψ (t) непрерывны на [α, β]. Если рассматривать t как время, то эти функции определяют закон дви­жения по плоскости точки М с коорд‒тами: x = φ(t), y = ψ(t), α ≤ t ≤ β (1)

Мн‒во {М} всех точек М, координаты х и у которых определяют‒ся уравнениями (1), называется простой плоской кривой L, если различным значениям параметра t из [α, β] отвечают различные точки этого мн‒ва.

Простая замкнутая кривая L = L₁ L₂, где L₁ и L₂ ‒ 2 простые кривые: 1) их граничные точки совпадают; 2) их не граничные точки различны.

Пусть мн‒во {t} ‒ сегмент | полусегмент | интервал | чис­ловая прямая | открытая или замкнутая полупрямая.

Разбиение {t}: конечная или бесконечная система сегментов

{[t_i‒1, t_i]} разбивает {t}, если: 1) объединение всех сегментов ‒ все множество {t}; 2) общие точ­ки двух сегментов - лишь их концы.

Параметрическое задание кривой. Пусть φ(t) и ψ(t) непрерывны на {t}. Уравнения x = φ(t), y = ψ(t) задают параметрически кривую L, если Ǝ такая система сегментов {[t_i‒1, t_i]}, разбивающих множество {t}, что для значений t из каждого данного сегмента этой системы эти уравнения определяют простую кривую.

Длина дуги кривой. Пусть кривая L задается параметрически уравнениями x = φ(t), y = ψ(t), где t изменяется на [α, β].

Пусть Т ‒ разбиение [α, β] точками α = t₀ < t₁ < t₂ < ... < t_n = β. М₀, М₁, М₂, ..., М_n - соответствующие точки кривой L=> ломаная М₀М₁М₂ ... М_п вписана в кривую L и отвечает данному разбиению Т. Длина l_i звена

М_i‒1 М_i =

=>длина всей ломаной

О1. Если мн‒во {l (t_i)} длин вписанных в кри­вую L ломаных, отвечающих всевозможным разбиениям Т сегмента [α, β], ограничено, то кривая L называется спрямляе­мой, а ТВГ l мн‒ва {l (t_i)} называется длиной дуги кривой L.

Лемма. Пусть l*(t_i) ‒ длина ломаной, вписанной в кривую L и отвечающей разбиению Т* сегмента [α, β], l(t_i) ‒ длина лома­ной, вписанной в кривую L и отвечающей разбиению Т, получен­ному из разбиения Т* посредством добавления нескольких новых точек. Тогда l*(t_i) ≤ l (t_i).

Док‒во. Пусть к Т* добавляется 1 точка γ. Ломаная, отвечающая Т, отличается от ломаной, отвечающей Т*, тем, что 1 звено М_i‒1 М_i заменяется двумя звеньями М_i‒1 C и СМ_i. Т.к. длина стороны

М_i‒1 М_i треугольника М_i‒1 CМ_i не превосходит суммы длин двух других его сторон, то l*(t_i) ≤ l(t_i).

Достаточные условия спрямляемости кривой.

Т1. Если x = φ(t), y = ψ(t) имеют на [α, β] непрерывные производ-ные, то кривая L, определяе­мая параметрическими уравнениями (1), спрямляема и длину L ее дуги можно вычислить по формуле

Док‒во. 1)Докажем, что кривая L спрям­ляема.

x = φ(t), y = ψ(t) имеют на [α, β] производные => по Т. Лагранжа:

Подставим в (2):

Т.к. производные φ(t), ψ(t) непрерыв­ны => эти производные ограничены => ƎМ : для t ∈[α, β]: | φ' (t) | ≤ М и | ψ' (t) | ≤ М => из (4)

=> мн‒во {l (t_i)} длин вписанных в L лома­ных, отвечающих всевозможным Т сегмента [α, β], ограничено => L спрямляема.

2)Пусть l ‒ длина L. Правая часть (4) похожа на интегр. сумму

интегрируемой функции , причем эта отвечает разбиению Т сегмента [α, β] и данному выбору точек τ_i на [t_i‒1, t_i]. Докажем : для ε > 0 Ǝ δ > 0, что при Δ < δ (Δ = max Δt_i):

| l (t_i) ‒ I| < ε/2 (6)

где ‒ предел при Δ→ 0 интеграль-ных сумм (5). Т.е., докажем, что при достаточно «мел­ких» разбиениях Т сегмента [α, β] длины l (t_i) ломаных, вписанных в L, и отвечающих этим разбиениям, как угодно мало отли­чаются от интеграла I, стоящего в правой части (3).

где М_i и m_i ‒ точные грани ψ '(t) на [t_i‒1, t_i]. В силу (4), (5) и (7):

где S и s ‒ верхняя и нижняя суммы ψ '(t) для разбиения [α, β]. Т. к. ф‒и и ψ'(t) интегри­руемы на [α, β] (это => из непрерывности φ '(t) и ψ '(t) на [α, β]), то из определения интегрируе­мости и из теоремы (Чтобы ограниченная на [а, b] f (х) была интегрируемой на [а, b], необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 Ǝ Т сегмента [а, b], для которого S ‒ s ≤ ε) => что для ε > 0 Ǝ δ > 0, что при Δ < δ (Δ = max Δt_i) выполняются :

| I{ t_i, τ_i } ‒ I |< ε/4 и S ‒ s < ε/4 (9)

=> при Δ < δ в силу (8) и (9):

| l(t_i) ‒ I| = | l(t_i) ‒ I{ t_i, τ_i }+ + I{ t_i, τ_i } ‒ I| ≤

≤ | l(t_i) ‒ I{ t_i, τ_i }| +| I{ t_i, τ_i } ‒ I| ≤ ε/4+ ε/4 = ε/2 => (6) 3)Докажем, что среди всевозможных ломаных, длины l (t_i) которых удовлетворяют (6), имеются ломаные, длины которых отличаются от длины l дуги кривой L меньше чем на ε/2.

Т. к. l ‒ ТВГ {l (t_i)} длин лома­ных, вписанных в L, и отвечающих всевозможным разбиениям [α, β], то Ǝ Т* сегмента, что длина l*(t_i) соответствующей ломаной : 0 ≤ l ‒ l*(t_i) < ε/2 (10).

Разобьем каждый [t_i‒1, t_i] разбиения Т* на столь мелкие части, чтобы максимальная длина разбие­ния полученного объединением указанных разбие­ний была Δ < δ. Длина l(t_i) ломаной, отвечающей разбиению Т, удовлетворяет (6). Т.к. вершины ломаной, отвечающей разбиению Т*, являются также вершинами ломаной, отвечающей разбиению Т, то по лемме:

0 < l*(t_i) ≤ l (t_i) ≤ l => в силу (10): 0 ≤ l ‒ l (t_i) < ε/2 (11)

Из (6) и (11) => |l ‒ I| < ε => в силу произвольности ε => l = I.

Замечание. Если кривая L является графиком функции у = f (х), имеющей на [a, b] непрерывную производную f '(х), то кривая L спрямляема и длина l дуги L, может быть най­дена по формуле

График этой функ­ции ‒ кривая, определяемая уравнениями х = t,

у = f (t), a ≤ t ≤ b и вы­полнены все условия Т1=> полагая в (3) φ(t)=t, y = f (t) и заменяя t на х, мы получим (12).

Если кривая L определяется полярным уравнением r = r (θ),

θ₁ ≤ θ ≤ θ₂ и r(θ) имеет на [θ₁, θ₂] непрерывную про­изводную, то кривая L спрямляема и длину l дуги L можно найти по формуле

Для док‒ва перейти от поляр­ных координат к декартовым:

x = r(θ)cosθ, y = r(θ)sinθ ‒ это параметри­ческие уравнения, функции φ = r(θ)cosθ, ψ = r(θ)sinθ удовлетворяют условиям Т1. Подставляя их в (3), получим (13).

10. Понятие квадрируемости плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.

Плоская фи­гура Q ‒ части плоскости, ограниченная простой замкнутой кри­вой L. Кривая L ‒ граница фигуры Q. Многоугольник ‒ часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной линией. Многоугольник вписан в фигуру Q, если точка этого многоугольника принадлежит Q или ее границе. Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то указанный многоугольник описан вокруг Q. Площадь вписанного в Q многоуголь­ника не больше площади описанного вокруг Q многоугольника.

Пусть {S_i} ‒ мн‒во площадей вписанных в Q многоугольников, а {S_d} ‒ мно‒во площадей описанных вокруг Q многоугольников. {S_i} ограничено сверху (площадью описанного вокруг Q многоугольника), а множество {S_d} ограничено снизу (напр., 0). Пусть Р ‒ ТВГ {S_i}, а ‒ ТНГ {S_d}. Р и ‒ нижняя и верхняя площадь Q.

Р ≤ . Пусть Р ≥ => полагая и по определению точных граней, Ǝ вписанный в Q многоугольник, площадь S_i которого будет больше числа , т. е. , и описанный вокруг фигуры Q многоугольник, площадь S_d которого меньше числа , т. е. => S_d < S_i ‒ противоречие.

О. Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью Р . Число Р = Р = называется площадью Q.

Т1. Чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 Ǝ такие описанный и вписанные многоуголь­ник для Q: S_d­ ‒ S_i < ε.

Док‒во. 1) Необходимость. Пусть Q квадрируема, т. е. Р = Р = . Т.к. Р и ‒ ТВГ и ТНГ для {S_i} и {S_d}, то для числа ε > 0

Ǝ вписанный в Q многоугольник: Р ‒ S_i < ε/2, и описанный:

S_d ‒ Р < ε/2 => S_d­ ‒ S_i < ε.

2) Дост‒сть. Пусть S_d­ и S_i ‒ площади многоугольников, для которых S_d­ ‒ S_i < ε. Т.к. S_i ≤ Р ≤ ≤ S_d, то ‒ Р < ε. Т.к. ε произвольно => Р = => фигура квадрируема.

Граница плоской фигуры Q имеет пло­щадь, равную 0, если для

ε > 0 для Q Ǝ описанный и вписанный многоугольники, разность площадей которых: S_d­ ‒ S_i < ε => Т1: чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необ­ходимо и достаточно, чтобы ее граница имела площадь, равную 0.

Криволинейной трапе­цией (КТ) называется фигура, ограниченная графиком заданной на [а, b] непрерывной и неотрицательной функции f (х), орди­натами, проведенными в точках a и b, и отрезком оси Ox между точками а и b.

Криволинейная трапеция ‒ квадрируемая фи­гура, ее площадь

Док‒во. Т. к. непрерывная на [а, b] функция интегрируема, то для

ε > 0 Ǝ разбиение Т сегмента [а, b]: S ‒ s < ε, где S и s ‒ верхняя и нижняя суммы разбиения Т. Но S = S_d­ и s = S_i, где S_d­ и S_i ‒ площади ступенча­тых фигур, 1‒я из которых содержит КТ, 2‒я содержится в КТ => S_d­ ‒ S_i < ε => по Т1 КТ квадрируема. Т.к. lim при Δ→ 0 (Δ=maxΔt_i) верхних и нижних сумм равен и s ≤ Р ≤ S, то площадь КТ можно найти по (1).

Пусть кривая L задана в полярной системе координат r = r (θ),

α ≤ θ ≤ β, и функция r(θ) непрерывна и неотрицательна на [α, β]. Плоская фигура, ограниченная кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α и β, называется криволинейным сектором (КС).

Криволинейный сектор ‒ квадрируемая фигура, его площадь

Док‒во. Рассмотрим разбиение Т сегмента [α, β] точками α = θ₀ < θ₁ < ... < θ_n = β и для каждого [θ_i‒1, θ_i] построим круговые секторы, радиусы кото­рых равны минимальному r_i и максимальному R_i значениям r(θ )на [θ_i‒1, θ_i] => получим две веерообразные фи­гуры, 1‒я из которых содержится в КС, а 1‒я содержит КС. Их площади

1‒я сумма ‒ нижняя сумма s для функции ½r²(θ) для разбиения Т сегмента [α, β], 2‒я сумма ‒ верх­няя сумма S. Т.к. ф-я ½ r² (θ) интегри­руема на [α, β], то разность S ‒ s = ‒ мо­жет быть как угодно малой => для ε > 0 эта разность может быть S ‒ s = ‒ < ε/2. Впишем во внутрен­нюю веерообразную фигуру многоугольник Q_i с площадью S_i, для которого ‒ S_i < ε/4, и опишем вокруг внешней веерообраз­ной фигуры многоугольник Q_d с площадью S_d, для которого S_d ‒ < ε/4. 1‒й ‒вписан в КС, 2‒й ‒ описан КС. Т.к.

то S_d ‒ S_i < ε => т.к. ε произвольно, КС квадрируем. Из (3) => (2)

11. Понятие кубируемости (объем тела). Кубируемость некоторых классов тел.

Пусть Е ‒ некоторое конеч­ное тело (тело ‒ часть пространства, ограниченная замкнутой непересекающейся поверхностью). Пусть {V_i } ‒ мн‒во объемов вписанных в Е многогранников, а {V_d } ‒ мн‒во объемов описанных Е многогранников. {V_i } ограничено сверху (объемом описанного многогранника), {V_d } ограничено снизу (например, 0).

Пусть V ‒ ТВГ {V_i} , ‒ ТНГ {V_d }. Числа V и называются нижним и верхним объемом тела Е.

V ≤ . Пусть V ≥ => полагая и учитывая определение точных граней, Ǝ вписанный в Е многогранник, объем V_i которого будет больше числа , т. е. , и такой описанный вокруг Е многогранник, объем V_d которого меньше числа , т. е. => V_d < V_i ‒ противоречие, т.к. объем любого описан­ного многогранника не меньше объема любого вписанного.

О. Тело Е называется кубируемым, если верх­ний объем этого тела совпадает с нижним объемом V. Число V = = V называется объемом тела Е.

Т1. Чтобы тело Е было кубируемым, необ­ходимо и достаточно, чтобы для тела Е для ε < 0 Ǝ описанный и впи­санный многогранники, разность объемов которых V_d ‒ V_i < ε.

Док‒во. 1) Необходимость. Пусть тело Е кубируемо, т. е. V = = V. Т.к. V и ‒ ТВГ и ТНГ {V_i } и { V_d }, то для ε > 0

Ǝ вписанный в Е многогранник, объем V_i которого: V ‒ V_i < ε/2; и Ǝ описанный многогранник, объем V_d которого: V_d ‒ V< ε/2. Складывая, получим V_d­ ‒ V_i < ε.

2) Дост‒сть. Пусть V_d­ и V_i ‒ объемы многогранников, для которых V_d­ ‒ V_i < ε. Т.к. V_i ≤ V ≤ ≤ V_d, то ‒ V < ε. Т.к. ε произвольно => V = => тело кубируемо.

Цилиндр ‒ это тело, ог­раниченное цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными некоторой оси, и двумя плоско­стями, перпендикулярными этой оси. Эти плоскости в пересечении с цилиндрической поверхностью образуют плоские фигуры, назы­ваемые основаниями цилиндра, а расстояние h между основаниями цилиндра называется высотой цилиндра.

У1. Если основанием цилиндра Е является квадрируемая фигура Q, то цилиндр является кубируемым телом, и его объем: V = Рh, где Р ‒ площадь основания Q, h ‒ высота цилиндра.

Док‒во. Так как Q квадрируема, то для ε > 0 можно указать такие описанный и вписанный в эту фигуру многоугольники, разность их площадей S_d­ ‒ S_i < ε/h. Объемы V_d­ и V_i призм с высотой h, основаниями которых служат эти многоугольники, равны S_d­ h и

S_i h => V_d­ ‒ V_i = (S_d ‒ S_i )h <( ε/h)h = ε. Т.к. эти при­змы являются соответственно описанным и вписанным в Е многогранниками, то по Т1 тело Е кубируемо. Т.к. V_i ≤ Ph ≤ V_d, то объем цилиндра V=Рh.

Из У1 => кубируемость ступенча­тых тел (ступенчатым телом называется объединение конечного числа цилиндров, расположен‒ных так, что верхнее основание ка­ждого предыдущего цилиндра находится в одной плоско­сти с нижним основанием следующего).

Замечание. Если для ε > 0 можно указать такое описанное вокруг тела Е ступенчатое тело и такое вписанное в Е ступенчатое тело, разность объемов которых V_d ‒ V_i < ε, то тело Е кубируемо.

Криволинейной трапе­цией (КТ) называется фигура, ограниченная графиком заданной на сег­менте [а, b] непрерывной и неотрица-тельной функции f (х), орди­натами, проведенными в точках a и b, и отрезком оси Ox между точками а и b.

Утверж­дение 2. Пусть функция у = f (х) непрерывна на [а, b]. Тогда тело Е, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной тра­пеции, кубируемо и его объем

Док‒во. Пусть Т ‒ разбиение [а, b] точками а = х₀ <х₁ < ... < х_п = b, М_i и m_i ‒ ТВГ и ТНГ f (х) на [х_i‒1, х_i]. На каждом [х_i‒1, х_i] построим два пря­моугольника с высотами т_i и М_i. Получим две ступенчатые фигуры, 1‒я содержится в КТ, 2‒я содержит ее. При вращении КТ и этих ступенчатых фигур мы получим тело Е и два ступенчатых тела, одно из которых содержится в Е, а другое содержит Е. Объемы этих ступенчатых тел:

Эти выражения являются верхней и нижней суммами для функции π f ²(х). Т.к. эта функция интегрируема, то разность этих сумм для некоторого Т сегмента [а, b] будет меньше данного ε > 0 => тело Е кубируемо. Т.к. предел указанных сумм равен , то объем тела Е можно найти по (1).

12. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Формулы замены переменного и интегрирования по частям для несобственных интегралов.

Пусть f (х) определена на a≤ x<+∞ и для А (A≥a) Ǝ определенный интеграл Римана

О1. Предел

в случае, если он Ǝ, называется несобственным интегралом 1‒го рода от f (х) по полупрямой [а, +∞) и обозначается

При этом говорят, что НСИ (3) схо­дится:

Если предела (2) , то НСИ (3) расходится.

НСИ по ‒∞< x ≤ b и по всей прямой:

при независимом друг от друга стремлении А' →‒∞ и А" → +∞. Из этих определений =>

1)если для некоторого а сходится каждый из НСИ и , то сходится и , причем:

2) если сходится НСИ и b ‒ число, b > а, то сходится , причем

Для существования предель­ного значения функции F(А) при А → +∞ необходимо и дос­таточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши: для ε > 0 Ǝ В>а, для А₁ и A₂: А₁ >B, A₂ >В, выполняется

=> справедливо У1.

У1(критерий Коши сходимости НСИ). Для сходимости НСИ необходимо и достаточно, чтобы для ε>0 Ǝ В>а, для А₁ и A₂, : А₁ >B, A₂ >В:

Пусть f (х) задана на a≤ x<+∞ и для А ≥ а Ǝ интеграл

У2 (общий признак сравнения). Пусть на полупрямой a≤ x<+∞ |f(x)| ≤ g(x). Тогда из сходимости интеграла вытекает сходимость

Док‒во. Пусть сходится => по кр-рию Коши, для

ε>0 Ǝ В>а, что для А₁>В и A₂>В :

Согласно неравенствам для интегралов и |f (x)| ≤ g (x) :

≤ ≤ => и из (3) => для А₁>В и A₂>В: => сходится.

У3 (частный признак сравнения). Пусть f (х) на 0< a≤ x<+∞ удовлетворяет соотношению |f(х) | ≤ с/х^λ, с и λ ‒ постоянные,

λ >1. Тогда интеграл сходится. Если Ǝ такая постоянная с > 0, что на 0< a≤ x<+∞ справедливо f (х) ≥ с/х^λ, в котором λ ≤ 1, то расходится.

Док‒во => из У2 и следующего при­мера (поло­жить g(х) = с/х^λ).

Пример. Рассмотрим НСИ где а > 0 и λ ‒ вещественные числа. f (х) = 1/х^λ при A>0 интегрируема на [а, А], причем , при λ ≠ 1 => при λ>1 , а при λ≤1 предел => при λ > 1 сходится НСИ , а при λ≤1 он расходится.

Следствие (частный признак сравнения в предельной форме). 1)Если при λ > 1 Ǝ конечный предел , то интеграл сходится. 2) Если же при λ ≤ 1 Ǝ предел , то расходится.

Док‒во. 1)Из существования предела при x→+∞ => ограничен-ность |f(x)|х^λ => с некоторой постоянной c₀ > 0 выполняется неравенство |f(х) | ≤ с₀/х^λ => применяется 1‒я часть У3.

2) с > 0 => Ǝ столь малое ε>0, что с ‒ ε > 0. Этому ε отвечает такое В > 0, что при х ≥ В выполняется с ‒ ε < f (x)х^λ (это => из опреде-ле­ния предела) => f (x) >(с ‒ ε) / х^λ => действует 2‒я часть У3.

Пусть f (х) интегрируема по [а, А] (=> |f (х)| тоже).

О2. НСИ называется абсолютно сходящимся, если сходится .

О2. НСИ называется условно сходящимся, если он сходится, а расходится.

Замечание. Положив в У2 g(х)= |f (х)| => из абсолютной сходимости НСИ вытекает его сходимость.

У4. Пусть выполнены условия:

1) f (х) непрерывна на a ≤ x < +∞;

2) полуось a ≤ x < +∞ является мн-вом значений неко­торой строго монотонной функции х = g (t), заданной на α ≤ t <+∞ (или

‒ ∞ < t ≤ α) и имеющей на этой полуоси непре­рывн. производную;

3) g(α)=а.

Тогда из сходимости одного из следующих НСИ

вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов.

Док‒во. сегменту [а, А] отвечает, из‒за строгой монотонности функции g (t), сегмент [α, ρ] (или [ρ, α]) оси t такой, что при изменении на [α, ρ] значения х = g (t) заполняют сегмент [а, А], причем g (ρ) = А => выполнены все условия, при которых действует формула замены переменной под знаком определенного интеграла =>

В силу строгой монотонности функции х = g (t), А→+∞ при ρ→+∞ и, обратно ρ→+∞ при А→+∞ (или А→+∞ при ρ→‒∞ и ρ→‒∞ при А→+∞) => из (4) => справедливость У4.

У5. Пусть и (х) и v (х) имеют непре­рывные производные на

а ≤ x<+∞ и Ǝ . Тогда из сходимости одного из интегралов

вытекает сходимость другого и справедли­вость формулы

Док‒во. На сегменте [а, А] дей­ствует обычная формула интегрирования по частям =>

Т.к. при А→+∞ выражение → , то из последнего равенства следует одновременная сходимость или расходимость интегралов (5) и справедли­вость (6) в случае сходимости одного из интегра­лов (5).