Билеты (версия для шпор), страница 4

13. Признак Абеля‒Дирихле. Главное значение несобственного интеграла.

Пусть f (х) определена на a≤ x<+∞ и для А (A≥a) Ǝ определенный интеграл Римана

О1. Предел

в случае, если он Ǝ, называется несобственным интегралом 1‒го рода от f (х) по полупрямой [а, +∞) и обозначается

При этом говорят, что НСИ (3) схо­дится:

Если предела (2) , то НСИ (3) расходится.

НСИ по ‒∞< x ≤ b и по всей прямой:

при независимом друг от друга стремлении А' →‒∞ и А" → +∞. Из этих определений =>

1) если для некоторого а сходится каждый из НСИ и , то сходится и , причем:

2) если сходится НСИ и b ‒ число, b > а, то сходится , причем

Для существования предель­ного значения функции F(А) при

А → +∞ необходимо и дос­таточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши: для ε > 0 Ǝ В>а, для А₁ и A₂: А₁ >B, A₂ >В выполняется

=> справедливо У1.

У1(критерий Коши сходимости НСИ). Для сходимости НСИ необходимо и достаточно, чтобы для ε>0 Ǝ В>а, для А₁ и A₂, : А₁ >B, A₂ >В:

Пусть f (х) задана на полупрямой a≤ x<+∞ и для А ≥ а Ǝ обычный интеграл

Пусть f(х) интегрируема по [а, А] (=> |f(х)| тоже).

О2. НСИ называется абсолютно сходящимся, если сходится .

О2. НСИ называется условно сходящимся, если он сходится, а расходится.

У2 (признак Дирихле ‒ Абеля). Пусть выполнены условия:

1) f (х) непрерывна на a≤ x<+∞ и име­ет на этой полупрямой ограниченную первообразную F (х) ( для всех x ≥ a: |F (х) | ≤ K=const);

2) g(х) определена и монотонно не возрастает на a ≤ x < +∞ и имеет равный 0 предел при x→+∞;

3) производная g ' (х) Ǝ и непрерывна в точке a≤ x<+∞.

Тогда сходится НСИ

Док‒во. Пусть [А₁, А₂] ‒ сегмент полупрямой a ≤ x < +∞, А₂ > А₁. Проведем на нем интегрирование по частям

|F(x)| ≤ K и g (х) не возрастает и g (х) → 0 при x→+∞

(т.е. g (х) ≥ 0, g ' (х) ≤ 0) =>

Пусть ε > 0. Так как g (х) → 0 при х→ ∞, то по данному ε можно выбрать В так, что при А₁ ≥ B выполняется неравенство g(А₁)<ε/(2K) => из неравенства (5) => для А₁>В и A₂>В выполняется => по критерию Коши (4) сходится.

О4. Пусть f (х) определена на прямой ‒∞ < х<+∞ и интегрируема на каждом сегменте, принадлежа­щем этой прямой. Функция f (х) интегрируема по Коши, если Ǝ (в симметричных пределах). Этот предел называется главным значением несобственного интеграла от f (х) (в смысле Коши):

У3. Пусть f (х) интегрируема на каж­дом сегменте прямой ‒∞ < х <+∞. Если f (х) не­четна, то она интегрируема по Коши и главное значение интег­рала от нее равняется 0. Если f (х) четна, то она интегрируема по Коши  сходится НСИ .

1‒я часть очевидна. Для до­к‒ва 2‒й части воспользоваться равенством , справедливым для любой четной функции, и О1 сходимости НСИ.

14. Метод хорд и его обоснование.

Послед‒сть х₀, х₁, .... х_п, ... называется итераци­онной, если для п ≥1 х_п выражается через х_п‒1 по рекуррентной формуле х_п = F (х_п‒1),

х₀ ‒ число из области задания F(х).

У1. Пусть F (х) непрерывна на [а, b] и пусть все элементы итерационной послед‒ти х₀, х₁, .... х_п, ... лежат на [а, b]. Тогда, если {х_n} → с, то число с является корнем уравнения х = F (х).

Док‒во. {х_n} → с и все х_п [а, b] => с ∈[а, b]. F (х) непрерывна в с =>

{ F (х_п)} → F (с) => равенство х_п = F (х_п‒1) в пределе при п →∞ переходит в с = F (с) => с ‒ корень уравнения х = F (х).

Метод хорд. Пусть искомый корень с уравнения f (х) = 0 изоли­рован на

[а, b], х₀ ∈ [а, b] ‒ 0‒е прибли­жение корня, обо­значим А₀ = f (x₀),

В = f (b). Про­ведем через точки А₀ и В хорду A₀ В и возьмем за 1‒е приближение абсциссу x₁ точки пересече­ния этой хорды с осью Ох. Далее проведем хорду через точки А₁ с абсциссой х₁ и В. За 2‒е приближение возьмем абсциссу х₂ точки пересечения хорды А₂ В с осью Ох. Продолжая этот процесс неограниченно, построим послед‒сть х₀, х₁, х₂, .... х_п, ... приближенных значений искомого корня. Уравнение хорды, проходящей через точки А_п (х_п, f (х_п)) и В(b, f (b)):

абсцисса х_n+1 точки пересечения этой хорды с осью Ох. (3) определяет алгоритм метода хорд.

Обоснование метода. Пусть искомый ко­рень с уравнения f (х) = 0 изолирован на [а, b], на котором f (х) имеет монотонную 1‒ю производ­ную, сохраняющую постоянный знак. f '(х) не­прерывна, ибо она не может иметь точек разрыва 1‒го рода, а монотонная функция других точек разрыва не имеет. Пусть эта f '(х) >0 и не убывает на [а, b]. Уравнение

имеет на [а, b] только 1 корень с, совпадающий с кор­нем ур-ния f (х) = 0 (при этом считаем, что F(b) = b ‒ f (b) / f '(b) => F(х) будет не­прерывна на всем [а, b])=> вместо уравнения f (х) = 0 можно решать уравнение (4) => взять х₀ = а и построить итерационную послед‒сть

Рекуррентная формула (5) ≡ рекуррентной формуле (3).

Докажем, что {х_n} → с. Если для некоторого номера п окажется, что х_п = с, где с ‒ искомый корень, то f (х_n) = f (с) = 0 и из (5) => х_п+1 = с => аналогично х_п+2 = х_п+3 = ... = с, т. е. {х_n} →с.

Докажем, что если а ≤ х_п ≤ с, то а ≤ х_п ≤ х_п+1 ≤ с. Пусть а ≤ х_п ≤ с. Из (5), учитывая, что f (с) = 0:

где х_п< ξ_n < с, с < ξ_n^* < b => ξ_n < ξ_n^*. Т.к. f ' (х) >0 и не убывает = >

0 < f '(ξ_n) ≤ f '(ξ_n^*) =>дробь в правой части (6) > 0 и ≤ 1,

(т.к. (b ‒ с) f '(ξ_n^*) + (с ‒ х_п) f '(ξ_n) ≥ [(b ‒ с) + (с ‒ х_п)] f '(ξ_n) = (b ‒ х_п) f '(ξ_n) ) => 0 ≤ х_п+1 ‒ х_п ≤ с ‒ х_п, => х_п ≤ х_п+1 ≤ с => и из того, что х₀ = а => все х_п ∈ [а, с] (и тем более ∈ [а, b]) и послед­‒сть {х_n} является неубывающей (=> и сходящейся). В силу У1 {х_n} → с.

З1. Еще 3 случая: 1) f '(x) < 0 и не возрастает на [а, b] (все делать также), 2) f '(x)>0 и не возрастает на [а, b], 3) f '(x) <0 и не убывает на [а, b].

В случаях 2) и 3) уравнение f (x) = 0 заменяется уравнением

и нулевое приближение точка х₀ = b (при этом {х_п} ‒ невозрастающая).

З2. Оценка отклонения n‒го приближе­ния х_n от точного значения корня с. Т. Лагранжа к f (х_п) = f (х_п) ‒ f (с) => f (х_п) = (х_п ‒ с) f ' (ξ_n) =>

15. Метод касательных и его обоснование.

Послед‒сть х₀, х₁, .... х_п, ... называется итераци­онной, если для п ≥1 х_п выражается через х_п‒1 по рекуррентной формуле х_п = F (х_п‒1),

х₀ ‒ число из области задания F(х).

У1. Пусть F(х) непрерывна на [а, b] и пусть все элементы итерационной послед‒ти х₀, х₁, .... х_п, ... лежат на [а, b]. Тогда, если {х_n} → с, то число с является корнем уравнения х = F (х).

Док‒во. {х_n} → с и все х_п [а, b] => с ∈[а, b]. F (х) непрерывна в с => { F (х_п)} → F (с) => равенство х_п = F (х_п‒1) в пределе при п →∞ переходит в с = F (с) => с ‒ корень уравнения х = F (х).

У2. Пусть с ‒ корень х = F (х) и пусть в некотором [с ‒ ε, с + ε] |F'(х)|≤ α < 1. Тогда {х_n} → с (х₀ ‒ число из [с ‒ ε, с + ε]).

Док‒во. х₀ ∈ [с ‒ ε, с + ε] => пусть х_п‒1 ∈ [с ‒ ε, с + ε], надо доказать, что х_п ∈ [с ‒ ε, с + ε]. По Т. Лагранжа и учитывая, что

F (с) = с, х_п = F (х_п‒1) :

x_n ‒ c = F(x_n‒1) ‒ F(c) = F'(ξ)(x_n‒1 ‒ c) (1)

где x_n‒1 < ξ < c => ξ ∈ [с ‒ ε, с + ε]. |F'(х)|≤ α < 1=> из (1)

|x_n ‒ c| ≤ α|x_n‒1 ‒ c| (2) => |x_n ‒ c| < |x_n‒1 ‒ c| => х_п расположен к с ближе, чем предыдущий х_n‒1 => т.к. х_п‒1 ∈ [с ‒ ε,с+ε] и т. к. сегмент симметричен относительно с, то х_n ∈ [с ‒ ε, с + ε] => все {x_n} ∈ [с ‒ ε, с + ε]. Докажем, что {х_n}→с. (2) справедливо для п=> |x_n ‒ c| ≤ αⁿ|x₀ ‒ c| => т.к. αⁿ → 0, то x_n → c.

Метод касательных. Пусть искомый корень с уравнения f (х) = 0 изолирован на [а, b]. Пусть 0‒е приближение искомого корня х₀ ∈ [а, b] и В₀ = f (х₀). Проведем через В₀ касатель­ную к графику функции и возьмем за 1‒е приближение абсциссу х₁ точки пересечения этой касательной с осью Ох. Далее проведем касательную через В₁ с абсциссой х₁ и возьмем за 2‒е приближение абсциссу x₂ точки пересечения этой касательной с осью Ох. Продолжая, построим послед‒сть х₀, х₁, .... х_п, ... приближенных значений искомого корня.

Возьмем уравнение Y ‒ f (х_п) = f '(х_п) (х ‒ х_п) ка­сательной в В_п и вычислим абсциссу х_п+1 точки пересечения этой ка­сательной с осью Ох => получим формулу ал­горитма метода касательных:

Обоснование метода.

1°. Пусть корень с уравне­ния f (х) = 0 изолирован на [а, b], где f (х) имеет f '(х) ≠ 0 и ограниченную f ⁽²⁾(х). Докажем, что в этом случае Ǝ такая малая окрестность корня с, что если 0‒е приближение х₀ лежит в этой окрестности, то {х_п} → с. Уравнение

имеет на [а, b] только 1 корень с, совпадающий с кор­нем уравнения f (х) = 0 => вместо f (х) = 0 можно решать уравнение (4) => взяв некоторое х₀, по­строим итерационную послед‒сть

Рекуррентная формула (5) ≡ рекуррентной формуле (4).

В силу требований, наложенных на f (х), Ǝ т > 0 и N > 0: всюду на [а, b] | f '(х)|≥ m>0 и | f '' (х)| ≤ N. Т.к.

Из непрерывности f (х) => в некоторой ε‒окрест­ности корня с

где α ‒ фиксированное число: 0 < α < 1 . Из (6) и (7) => всюду в

ε‒окрестности корня => если взять x₀ из этой окрестности, то по У2 {х_n} →с.

З1. Оценка погрешности. Разложим f (х) в окрестности х_п по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

f (x) = f (х_п) + f '(х_п)(x ‒ х_п) + 1/2 f ''(ξ)(x ‒ x_n)² . Полагая х = с и учитывая f (с) = 0: 0 = f (х_п) + f '(х_п)(c ‒ х_п) + 1/2 f ''(ξ)(c ‒ x_n)² Вычитая из последней формулы ф‒лу f (х_п) + f '(х_п)(x_n+1 ‒ х_п) = 0, которая вытекает из (5), получим

Последовательно применяя эту оценку для п =0, 1, 2, .... получим:

2°. Пусть ко­рень с уравнения f (х) = 0 изолирован на [а, b], где f (х) имеет монотонную f '(х), сохраняющую постоянный знак. f '(х) обязательно не­прерывна, ибо она не может иметь точек разрыва 1‒го рода, а монотонная функция других точек разрыва не имеет. Пусть

f '(х) > 0 и не убывает на [а, b].

Докажем, что если х₀ = b, а x_n+1 определяется через х_п с помощью формулы (5), то {х_n}→ с. Если для некоторого номера п окажется, что х_п = с, где с ‒ искомый корень, то f (х_n) = f (с) = 0 и из (5) =>

х_п+1 = с => аналогично х_п+2 =х_п+3 =...= с, т. е. {х_n} →с.

Докажем, что если c ≤ х_п ≤ b, то c ≤ х_п+1 ≤ х_п ≤ b. Из (5) и f (с) = 0:

где с< ξ_n < х_п. Т.к. f '(х)>0 и не убывает = > 0< ≤ 1 =>

0 ≤ х_п ‒ х_п+1 ≤ х_п ‒ с, => c ≤ х_п+1 ≤ х_п => из х₀ = b =>

х_п ∈[с, b] (и тем более ∈[а, b]) и {х_n} является невозрастающей (и сходящейся). По У1 {х_n} → с.

З2. Еще 3 случая: 1) f '(х)<0 и не возрастает на [а, b] (все также),

2) f '(х)>0 и не возрастает на [а, b], 3) f '(х)<0 и не убывает на [а, b]. В 1) х₀ = b, а в 2) и 3) х₀ = а. Это обеспечит {x_n} [а, b] и {x_n}→ c.

З3. Оценка отклонения n‒го приближе­ния от точного значения корня с. Т. Лагранжа к f (х_п) = f (х_п) ‒ f (с) => f (х_п) = (х_п ‒ с) f ' (ξ_n) =>

16. Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Пусть требуется вычислить интеграл . (1)

Метод трапеций. Разобьем [a, b] на п равных частей точками а = х₀ <х₁ < ... < х_п = b. Метод трапеций: замена интеграла (1) суммой

площадей трапеций с основаниями, равными f (x_{k ‒1}) и f (х_k), и с высотами, равными x_k ‒ x_{k ‒1}= (b‒a)/n => формула трапеций

Докажем: если f (х) имеет на [a, b] непре­рывную f ⁽²⁾(х), то Ǝη∈[a, b]:

Оценим интеграл , считая, что f (х) имеет на

[‒h, +h] непрерывную 2‒ю производную.

Подвергая следующий интеграл двукратному интегрированию по частям, получим

Т.к. величина представляет собой площадь трапеции, то (5) и (6) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене этой площадью, имеет порядок h³.

Для вычисления интеграла (1) представим этот интеграл в виде суммы достаточно большого числа п интегралов

Применяя к каждому из этих интегралов формулы (5) и (6), получим (3) с оста­точным членом (4).

Метод прямоугольников. Разобьем [a, b] на п равных частей точками а = х₀ <х₁ < ... < х_п = b. Пусть x_2k‒1 ‒ средняя точка [x_2k‒1, x_2k]. Метод прямоугольников: замена интеграла (1) суммой

площадей прям‒ков с высотами, = f (x_{2k ‒1}), и основаниями, равными x_2k ‒ x_{2k ‒1}= (b ‒a )/n => формула прямоугольников

Если f (х) имеет на [a, b] непре­рывную 2‒ю производную, то

Ǝ η ∈ [a, b]:

Ошибка метода прямоугольников имеет порядок h³.

Метод парабол. Разобьем [a, b] на п равных частей при помощи точек а = х₀ < х₂ < ... < х_2п = b и х_{2k ‒1} ‒ середина [х_2k‒2, х_2k]. Метод парабол заключается в замене интег­рала (1) суммой площадей фигур, представляющих собой криволинейные трапеции, лежащие под параболами, проходящими через 3 точки графика функции f (х) с абсциссами х_{2k ‒2}, х_{2k ‒1}, х_2k:

=> справедлива формула парабол или формула Симпсона:

Если f (х) имеет на [a, b] непре­рывную 4‒ю производную, то

Ǝ η ∈ [a, b]:

Ошибка метода парабол имеет порядок h⁵.