Билеты (версия для шпор), страница 8

29. Понятие зависимости функций. Функциональные матрицы.

Пусть т функций от одних и тех же п переменных

определены и дифф‒мы в некоторой открытой n‒мерной области D.

1 из этих ф‒й, напр. u_k , зави­сит в области D от остальных, если для всех то­чек (x₁, ..., x_n ) D : u_k = Ф (u₁, …, u_k‒1, u_k+1, …, u_m) (2)

где Ф ‒ некоторая ф‒я, определенная и дифф‒мая в соответствующей области изменения своих аргументов. Функции u₁, …, u_m зависимы в области D, если 1 из них зависит в D от остальных.

Если дифф‒мой ф‒и Ф : сразу для всех точек области D справедливо тождество вида (2), то u₁, …, u_m независимы в D. Определитель Якоби:

Т1(достат. усл-е незав-сти). Пусть m функций от п ≥ т переменных

определены и дифф‒мы в окрестности М₀ (х₁°, ..., х_п°). Тогда если якобиан из этих функций по каким‒либо т переменным отличен от 0 в M₀, то эти ф‒и независимы в некоторой окрестности М₀.

Док‒во. Пусть в М₀ отличен от 0 якобиан

Пусть u₁, …, u_m зависимы в некоторой окрестности М₀ :

u_k = Ф(u₁, …, u_k‒1, u_k+1, …, u_m)

где Ф ‒ некоторая дифф‒мая ф‒я. Производ­ная сложной и_k по x_l :

=> если их взять (3) для каждого l = 1, 2, ..., т в М₀ , то k‒я строка якобиана (2) является линейной комбинацией остальных строк с коэффициентами => якобиан (2) = 0 в М₀, => противоречит условию теоремы.

Функциональные матрицы. Пусть функции (1) определены и диф­ф‒мы в некоторой окрестности М₀ (х₁°, ..., х_п°) и все их частные производные 1‒го порядка непре­рывны в самой М₀.

Функциональная матрица из т строк и п столбцов:

Т2. Пусть у функциональной матрицы (4): 1) некоторый минор r ‒го порядка отличен от 0 в М₀ (х₁°, ..., х_п°), 2) все миноры (r + 1) ‒го порядка = 0 в не­которой окрестности М₀. Тогда r функций, представ‒лен­ных в указанном миноре r‒го порядка, независимы в окрестности М₀, каждая из остальных функций зависит в этой окрестно­сти от указанных r функций. (Если r = min (m, n), требование 2) опустить)

Док‒во. Пусть в М₀ ≠ 0 минор в левом верхнем углу (4)

=> из Т1 =>независимость и₁, ..., и_r в окрестности М₀ . Надо доказать, что из и_r+1, ..., и_т (m > r) зависит в окрестности М₀ от и₁, ..., и_r . Напри‒мер и_r+1 . Пусть и₁° = φ₁ (х₁°, ..., х_п°), ..., и_r° = φ_r (х₁°, ..., х_п°) => то всюду в неко­торой окрестности N₀ (и₁°, …, и_r°, х₁°, ..., х_п°)

(п +r)‒мерного пр‒ва 1‒ые r функций (1) являются един­ственным и дифференцируемым решением системы уравне­ний :

(в N₀ все F₁, .... F_r обращаются в 0, а = (‒1)^r ≠ 0 => выполнены условия теоремы о разрешимости системы функциональных уравнений). Якобиан совпадающий с минором (5), ≠ 0 в N₀ => всюду в достаточно малой окрестности N₀ система (6) имеет единственное и дифф‒мое решение

Равенства (7) и 1‒ые r равенств (1) пол­ностью эквивалентны в окрест‒ности N₀ : если подставить x₁, ..., x_r из (7) в 1‒ые r равенств (1), то они обратятся в тожде­ства относительно x_r+1, ..., х_п, и₁ ..., и_r . Дифференцируя (7) по x_l (l = r + 1, ..., п) и замечая, что и₁ ..., и_r ­не зависят от x_r+1, ..., х_п :

Равенства (8¹) ‒ (8^r ) справедливы для всех значений x₁, ..., x_r , x_r+1, ..., х_п из некоторой окрест­ности М₀. Подставим x₁, ..., x_r из (7) в (r + 1)‒е равен­ство (1) => и_r+1 ‒ функция Ф от и₁ ..., и_r, x_r+1, ..., х_п, т.к.

=> и_r+1 зависит в не­которой окрестности М₀ от и₁, ..., и_r. Остается доказать, что для всех значений x₁, ..., x_r , x_r+1, ..., х_п , лежащих в малой окрест­ности М₀, функция Ф не зависит от x_r+1, ..., х_п . Дост‒но доказать, что для всех x₁, ..., х_п из достаточно малой окрестности точки М₀ :

Продифференцируем Ф по x_l (l = r + 1, ..., п) как сложную ф‒ю:

Рассмотрим минор (r + 1)‒го порядка матри­цы (4):

По условию теоремы он = 0 всюду в окрестности М₀. Умножим равенства (8¹) ‒ (8^r+1) на соответ­ствующие алгебраические дополнения Δ₁, .... Δ_r+1 элементов последнего столбца (10) и сложим

Т.к. сумма произведений элемен­тов данного столбца на соответствую‒щие алгебраические дополне­ния элементов этого (другого) столбца равна определителю (0), то каждая [ ] = 0, а ( ) = минору (10):

Δ ‒ минор (10), = 0 всюду в окрестности М₀, алгебраическое дополне­ние Δ_r+1 совпадает с минором (5), ≠ 0 в М₀ и в некоторой окрестности М₀ (Т.к. все частные производные, входящие в (5), непре­рывны в М₀, то и сам минор (5) непрерывен в М₀ => по теореме об устойчивости знака непрерывной функции этот минор ≠ 0 не только в М₀, но и в некоторой ее окрестности). Из (11) => всюду в некоторой окрестности М₀ справедливы равенства (9).

30. Условный экстремум и методы его отыскания

Пусть требуется найти экстремум функции т + п переменных

при наличии т условий связи

Функ­ция (1) при наличии связей (2) имеет условный максимум (минимум) в М₀ (х₁°, ..., х_п°, y₁°, ..., y_m°), координаты кото­рой удовлетворяют условиям связи (2), если Ǝ такая окрестность М₀, в пределах которой значение функции (1) в М₀ является наибольшим (наименьшим) среди ее значений во всех точках, координаты которых удовлетворяют условиям связи (2).

Пусть функции в левых частях равенств (2) дифф‒мы в некоторой окрест­ности М₀, в самой М₀ их частные производные по у₁, ..., у_т непрерывны, и отличен от 0 якобиан:

=> по теореме о разрешимости системы функциональных уравнений для достаточно малых ε₁ > 0, ..., ε_m > 0 Ǝ такая окрестность М '₀ (х₁°, ..., х_п°) пр‒ва переменных (х₁, ..., х_п), что всюду в пределах этой окрестности определены т функций

удовлетворяющих | y₁ ‒ y₁° | < ε₁, …, | y_m ‒ y_m° | < ε_m и являющихся при наличии этих условий единственным и дифф‒мым решением системы уравнений (2). Подставляя (4) в (1), сведем вопрос о существо­вании условного экстремума в точке М₀ у (1) при на­личии связей (2) к вопросу о существовании безусловного экс­тремума в точке М'₀ у сложной функции аргументов х₁, ..., х_п

Установим необходимые условия существования условного экстремума в М₀. Пусть (1) дифф‒ма в М₀ и имеет в этой точке условный экстремум при наличии связей (2), т.е., (5) имеет в М '₀ безусловный экстремум. Необходимое условие безусловного экстремума функции и = Ф (x₁, ..., х_n ) в М '₀ :

тождественное отн‒но dх₁, ...., dх_п . В силу инвариантности формы 1‒го дифференциала и равенства (5) формулу (6) будет :

(все частные производные берутся в М₀.) В (7) dy₁, ...., dу_т ‒ это дифференциалы функций (4) => (7) не является тождеством отн‒но dy₁, ...., dу_т . Если в уравнения связи (2) подставить (4), являющиеся решением системы (2) => урав­нения (2) обратятся в тождества, дифференци­руя их:

Т.к. якобиан (3 ≠ 0 в М₀, то из линейной системы (8) dy₁, ...., dу_т можно выразить как линейные функции dх₁, ...., dх_п . Если найти эти выра­жения и подставить в (7), то, собирая члены, содержащие dх₁, ...., dх_п :

где А₁, ..., А_n ‒ некоторые рациональные функ­ции частных производных f, F₁, ..., F_т в М₀. Т.к. в (9) фигурируют лишь дифференциалы независимых переменных, то из (9) => А₁ = 0, ..., А_п =0 => Необходимые условия существования условного экстре­мума функции (1) при наличии связей (2) :

А₁ = 0, ..., А_п =0, F₁ = 0, ..., F_т = 0 (10)

(10) ‒ это система т + п уравнений для определения т + п координат точки возможного экстремума.

Метод неопределенных множителей Лагранжа. Симметризирует роль переменных. Умножим (8) на произвольные постоянные множители λ₁, ..., λ_m и сложим с (7):

Выберем множители λ₁, ..., λ_m так, чтобы выполнялись равенства

здесь определитель ((3)) ≠0. В силу (13) равенство (11) примет вид

Т.к. переменные х₁, ..., х_п ‒ независимые, то из (14) =>

(13) + (15) + (2) => получим систему п + 2т уравнений

для определения п + т координат точек возможного условного экстремума и т множителей λ₁, ..., λ_m .

Достаточные условия. Пусть в М₀ выполнены необходимые условия экстремума (16). Еще потребуем 2‒кратной дифф‒сти функций (1) и (2) в окрест­ности М₀ и непрерывности всех частных производных 2‒го по­рядка в самой М₀. Из конструкции функции Лагранжа (12) => при наличии связей (2) экстремумы функции (1) и функции Лагранжа совпадают (т.к. f (M) ‒ f (M₀ ) = Ψ(M) ‒ Ψ (M₀ ) ) => для получения достаточного условия экстремума в М₀ у функции (1) при наличии связей (2) надо потребовать знако‒определенности в М₀ d ² Ψ: в М₀ ‒ минимум, если d ² Ψ| _M0 > 0, и максимум, если d ² Ψ| _M0 < 0. 2‒й дифференциал d ² Ψ можно в данной М₀ возможного экстремума вычислять так, как если бы все х₁, ..., х_п , y₁, ..., y_т были независимыми. Но в общем случае 2‒й дифференциал d ² Ψ не обладает свойством инвариантности формы и должен с учетом зависимости y₁, ..., y_т от х₁, ..., х_п определяться равенством

Но в точке возможного экстремума М₀ :

что и в случае, когда все х₁, ..., х_п , y₁, ..., y_т незави­симы. Надо в (17) подста­вить вместо dy₁, ..., dy_т их значения из систе­мы (8). Потом изучить знакоопределен­ность d ² Ψ в данной М₀.