Билеты (версия для шпор), страница 7

25. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Т. Пусть п ≥ 1 ‒ целое число, u = f (М) = f (х₁, ..., х_т) задана и (п ‒ 1) раз диф‒ма в ε‒окрестности М₀ (х₁°, ..., х_т°) и п раз диф‒ма в М₀. Тогда для точки М из ε ‒ ок­рестности М₀ :

где ρ ‒ расстояние ρ (М₀, М), о (ρⁿ) ‒ бесконечно малая при ρ →0 (при М → М₀) ф‒я более высокого порядка малости, чем ρⁿ.

З. В более подробной записи:

В правой части (2) ‒ сумма многочлена сте­пени п от т переменных

х₁, ..., х_т и остаточного члена о (ρⁿ). Обозначим:

Теорема будет доказана, если установить, что при выполнении условий теоремы R_n+1(М) = о (ρⁿ) .

Л1. Если f (М) = f (х₁, ..., х_т) п раз диф-ма в М₀ (х₁°, ..., х_т°), то как сама ф-я R_n+1(М), определяемая равенством (3), так и все ее частные производные по переменным х₁, ..., х_т до порядка п вклю­чительно обращаются в 0 в точке М₀.

Док‒во. При п = 1 функция (3) :

и R₂ (М₀) = 0, (М₀) = 0 (i = 1, ..., т) проверяются элементарно. Далее по индукции. Пусть лемма справед­лива для некоторого п ≥ 1.

Пусть f (М) (п + 1) раз диф-ма в точке М₀ и

R_n+2 (М₀) = 0, т.к. в (4) каждая (х_i - х_i^° ) = 0 в точке М₀. Надо доказать, что для i = 1, ..., т ф-я (М) и все ее частные производные до п включительно обращаются в 0 в М₀, для этого в силу индуктивного предположения достаточно доказать, что (М) определяется равенством типа (3):

Т.к. все х_i (i = 1, ..., т) равноправны и вхо­дят в (4) симметрично, то достаточно доказать (5) для i = 1:

Из (4) => для док-ва (6) достаточно убедиться: для k = 1, .... п + 1 при фик­сированных х₂, х₃, ..., х_т

Т.к. при дифференцировании по х₁ переменные х₂, x₃, ..., х_т фиксированы, то величину

при дифференцировании по х₁ можно рассматривать как постоян­ную. Т.к. символы , ..., используются для образования частных производных функции f в фиксированной М₀, то при дифферен­цировании по х₁ указанные символы также нужно рассматривать как постоянные величины => для док-ва (7) доста­точно убедиться в справедливости равенства

Дифференцируя ф-ю по х₁ как слож­ную и учитывая независимость от х₁ символов D и , получим (8).

Л2. Пусть R (М) = R (х₁, ..., х_т) ‒ функция, удовлетворяющая :

1) R (М) п раз дифференцируема в точке М₀ (х₁°, ..., х_т°),

2) сама функция R(М) и все ее частные производные по из переменных х₁, .... х_т до порядка п включительно обращаются в 0 в точке М₀. Тогда для функции R (М) справедлива оценка

R (М) = о (ρⁿ) (9)

где ρ - расстояние ρ (М₀, М).

Док‒во. При п = 1 утверждение леммы выте­кает из условия дифф-сти ф-и R(М) в М₀ :

Учитывая, что R (М₀) = 0, (М₀) = 0 для k = 1, ..., m, получим: R(М) = о (ρ). Дальше по индукции. Пусть Л2 справед­лива для некоторого п ≥ 1 и R(М) удовлетворяет требованиям Л2 для п +1 => (М ) удовлетворяет требованиям Л2 для n =>

Т.к. п ≥ 1, то п + 1 ≥ 2 и R(М), удовлетворяющая требованиям Л2 для п + 1, хотя бы 1 раз дифф-ма в окрест­ности М₀ => выполнены условия разложения по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для п = 0, т.е для М из достаточно малой ε ‒окрестности М₀ на отрезке М₀М Ǝ N :

N лежит между М₀ и М и ρ = ρ (М₀, М) => ρ (М₀, N ) ≤ ρ => из (10) =>

Док‒во теоремы. В силу Л1 сама функция (3) и все ее частные производ­ные по переменным х₁, ..., х_т до порядка п включительно обращаются в 0 в точке М₀. Но тогда в силу Л2 для функ­ции (3) справедлива оценка R_n+1(М) = о (ρⁿ).

26. Экстремум функции нескольких переменных.

и = f (М) определена в некоторой окрестности М₀ (х₁°, ..., х_т°) пр‒ва Е ^т.

О1. Ф‒я и = f (М) имеет в М₀ локальный максимум (минимум), если Ǝ ε ‒ окрестность М₀, в пределах которой значение f (М₀) является наибольшим (наимень­шим) среди всех значений ф‒и.

О2. Ф‒я и = f (М) имеет в М₀ локальный экстремум, если она имеет в М₀ либо локальный максимум, либо локальный минимум.

У1 (необходимое условие экстремума). Если и = f (М) обладает в

М₀ (х₁°, ..., х_т°) частными производными 1‒го порядка по всем х₁, ..., х_т и имеет в М₀ локальный экстремум, то:

Док‒во. У f (х₁, ..., х_т) зафиксировать: х₂ = x₂°, ..., х_m = x_m° => получим ф‒ю 1 переменной х₁. Ее производная в х₁ = x₁° совпадает с (М₀). Т.к. функция т переменных имеет локальный экстремум в М₀, то ф‒я 1 переменной имеет локальной экстремум в х₁ = x₁° => ее производная в этой точке =0. Остальные равенства аналогично.

У1*. Если и = f (М) дифф‒ма в М₀ и имеет в М₀ локальный экстремум, то дифференциал dи|_M0 ≡ 0 относительно диффе­ренциалов независимых переменных dx₁, …, dx_m . (т.к.

то из (1) => при dx₁, …, dx_m справедливо dи|_M0 = 0).

Если х₁, .... х_т 2 раза дифф‒мой ф‒и ‒ независимые переменные или линейные ф‒и некоторых независимых переменных, то 2‒ой дифференциал этой ф‒и в данной М₀ является квадратичной формой относительно дифференциалов аргумен­тов dx₁, …, dx_m :

Т(достаточные условия локального экстремума). Пусть функция

и = f (М) = f (х₁, ..., х_т) 1 раз дифф‒ма в некоторой окрестно­сти

М₀ (х₁°, ..., х_т°) и 2 раза дифф-ма в самой М₀. Пусть М₀ ‒ точка возмож­ного экстремума, т. е. = 0. Тогда, если 2‒й дифференциал (2) является по­ложительно (отрицательно) определенной КФ от переменных dx₁, …, dx_m , то и = f (М) имеет в М₀ локальный минимум (максимум). Если 2‒й дифф-ал (2) ‒ знакопере‒менная КФ, то и = f (М) не имеет локального экстремума в М₀.

Док‒во. 1) Пусть 2‒й дифференциал (2) ‒ по­ложительно определенная КФ от dx₁, …, dx_m. Разложим и = f (М) в окрестности М₀ по фор­муле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано при п = 2

где dx_k = х_k ‒ x_k° в выражения для и , а ρ :

М₀ ‒ точка возможного экс­тремума => = 0 => полагая в (2)

dx_k = х_k ‒ x_k°, (3) примет вид:

Если для малых ρ правая часть (5) > 0, то в малой окрестности М₀ :

f (М) ‒ f (М₀) > 0 => и = f (М) имеет в М₀ локальный ми­нимум.

Пусть h_i = (х_k ‒ x_k°) / ρ , i = 1, ..., т => из (4) :

| h_i | ≤ 1, h₁² +…+ h_m² = 1 (6)

(5) можно переписать:

КФ Ф = ‒ функция, определенная и непрерывная на поверхности единичной сферы (6), являющейся замкнутым и ограни‒ченным мн‒вом. По 2‒й Т Вейерштрасса эта ф‒я достигает на этом мн‒ве своей ТНГ μ, и из положительной определенности КФ Ф и из того, что h₁, ..., h_т, удовлетворяющие (6), ≠ 0 одновременно => ТНГ μ>0 Т.к. бесконечно малая при ρ → 0 функция α (ρ) при всех малых ρ :

| α (ρ) | < μ, то вся правая часть (5) > 0 при этих ρ, т. е. при всех М, достаточно близких к М₀ => и = f (М) имеет в М₀ локальный минимум.

2) Доп. св‒во: если КФ Ф (h₁, ..., h_т) = знакопере‒менна, то Ǝ 2 совокупности переменных (h₁', ..., h_т' ) и (h₁'', ..., h_т'' ):

причем , (8)

Из определения знакопеременной КФ => Ǝ 2 совокупности (t₁', ..., t_т' ) и (t₁'', ..., t_т''), состоящие из чисел, одновременно ≠ 0, и такие, что

, . Положив

и учитывая, что из определения КФ =>

получим неравенства (8), из (9) => (7). Доп. свойство доказано.

Зафиксируем 2 совокупности (h₁', ..., h_т' ) и (h₁'', ..., h_т'' ), удовлетво‒ряющие (7) и (8), и докажем, что для ρ > 0 найдутся М' (x₁', ..., x_т' ) и М" (x₁'', ..., x_т'' ) пр‒ва Е ^т : ρ (М', М₀) = ρ (М", М₀) = ρ, причем

Положив для ρ > 0 и для всех i :

удовлетворим соотношениям (10), причем в силу (7) справедливы:

Беря в точках М' и М" для и = f (М) разложение в окрестности М₀ по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, получим вместо (5) разложения, справедливые для всех достаточно малых ρ > 0:

Для точки М" все ан‒но. Учитывая (8) и что , не зависят от ρ и ρ (М', М₀)= ρ (М", М₀) = ρ, получим из (11), что для как угодно малого ρ >0 : f (М ') > f (М₀) и f (М") < f (М₀) => отсутствие экстремума в М₀.

З. Требование ≥ 0 ( ≤ 0) является необходимым условием локального минимума (максимума) в М₀ дважды дифференцируемой в этой точке ф‒и и = f (М).

Пусть f (М) имеет в М₀ локальный минимум, но условие ≥ 0 не выпол­нено => Ǝ h₁, .... h_т :

Функция F (t) = f (x₁° + th₁, …, x_m° + th_m), определенная при всех t, достаточно малых по модулю, обязана иметь локальный минимум в точке t = 0, чему противоречит < 0

Утверждение. Пусть ф‒я двух переменных и = f (х, у) 1 раз дифф‒ма в окрестности М₀ (х°, у°) и 2 раза дифф‒ма в самой М₀ и пусть М₀ ‒ точка возможного экстре­мума. Тогда, если в М₀ выполнено условие а₁₁а₂₂ ‒ a²₁₂ > 0, то и = f (х, у) имеет в М₀ локальный экстремум (максимум при а₁₁ < 0 и минимум при а₁₁ > 0). Если а₁₁а₂₂ ‒ a²₁₂ < 0 в М₀ , то и = f (х, у) не имеет в М₀ локального экстремума.

27. Теорема о существовании и дифф-сти неявно заданной ф-и.

Если переменная и является по смыслу задачи ф‒ей аргументов х, у, ..., но задается уравнением F (и, х, у, ...) = 0, то ф-я и задана неявно.

R ‒ пр‒во перемен­ных (и, х, у, ...), R' ‒ пр‒во переменных (х, у, ...)

Т. Пусть F (и, х, у) дифф‒ма в некоторой окрестности М₀ (и°, х°, у°) R, причем непрерывна в М₀. Тогда, если в М₀ ф‒я F обращается в 0, а не обращается в 0, то для достаточно малого ε > 0 Ǝ такая окрестность М '₀ (х°, у°) R', что в пределах этой окрестности Ǝ !

ф‒я и = φ (х, у), которая удовлетворяет | и ‒ и° | < ε и является решением уравнения F (и, х, у, ...) = 0, (1)

причем и = φ (х, у) непрерывна и дифф‒ма в этой окрестности М '₀.

Док‒во. 1. Докажем, что для достаточно малого ε > 0 в ок­рестности

М '₀ (х°, у°) Ǝ ! и = φ (х, у), удовлетворяющая | и ‒ и° | < ε и являющаяся решением (1). Уравнение (1) определяет в R некото­рую поверхность S. F (М₀) = 0 => М₀ S. Геометрически однозначная разрешимость (1) относительно и : часть S, близкая к М₀, однозначно проектируется на Оху.

Пусть > 0 в М₀ => из непрерывности в М₀ и из теоремы об устойчивости знака непре­рывной ф‒и => Ǝ окрестность М₀ , в пределах которой > 0 . Пусть эта окрестность ‒ шар Ω достаточно малого радиуса с центром в М₀. Фиксируем ε > 0 столь малым, чтобы М₁ (и° ‒ ε, х°, у°) и М₂ (и°+ ε, х°, у°) были внутри Ω. Рассмотрим F (и, х°, у°) переменной и на [и° ‒ ε, и° + ε]. Геометрически: рассматриваем ф‒ю 3 переменных F (и, х, у) вдоль отрезка М₁М₂ . Т.к. (и, х°, у°) > 0 на [и° ‒ ε, и° + ε], то F (и, х°, у°) возрастает на этом сегменте => т.к. F = 0 при и = и° , то F (M₁) < 0, F (M₂) > 0.

Рассмотрим F (и° ‒ ε, х, у) и F (и° + ε, х, у) 2 переменных х и у

(ф‒ю F (и, х, у) на 2 плоскостях, параллельных Оху, 1‒я проходит через М₁, а 2‒я ‒ через М₂). F (M₁) < 0, F (M₂) > 0 и F (и, х, у) непре‒рывна всюду в шаре Ω, то по Т об устойчивости знака непрерывной ф‒и на этих плоскостях Ǝ окрестности М₁ и М₂, в пределах которых F сохраняет те же знаки, что и в М₁ и М₂. Эти окрестности взять в виде открытых квадратов с центрами в М₁ и М₂ и с малой стороной 2δ.

Возьмем δ столь малым, чтобы оба квадрата лежали внутри Ω =>

точка пр‒ва (и, х, у) c координатами:

будет лежать внутри Ω. Геометрически (3) ‒ открытый прямоугольный параллелепипед П с центром в М₀ со сторонами = 2ε, 2δ и 2δ и параллельными осям координат и, х, у. Т.к. П лежит внутри Ω, то всюду в П: > 0. Из (2) => F (и, х, у) < 0 на нижнем основании П и F (и, х, у) > 0 ‒ на верхнем.

Докажем, что (1) однозначно разрешимо относительно и, если F (и, х, у) рассматривать лишь для значений и, х, у, лежащих внутри П. Пусть

М ' (х, у) ‒ точка R', координаты которой удовлетворяют

(4)

=> М ' (х, у) ле­жит внутри квадрата с центром в М '₀ (х°, у°) и со сторо‒нами 2δ. Надо доказать, что для координат х, у точки М' Ǝ ! число и из [и° ‒ ε, и° + ε]: F (и, х, у ) = 0. (Геометрически: прямая, парал‒лельная оси и и пересекающая П, пересекает S внутри П в только 1 раз.)

Зафиксировав х и у, удовлетворяющие (4), рассмотрим F (и, х, у) аргу‒мента и на [и° ‒ ε, и° + ε], т. е. ф‒ю F (и, х, у) на отрезке М '₁ М '₂, где М '₁ и М '₂ ‒точки пересечения прямой, про­ходящей через М ' (х, у) и па‒раллельной Оu, с основа­ниями П. (и, х, у) > 0 на [и°‒ ε, и°+ ε], => F (и, х, у) возрастает на этом сегменте (на отрезке М '₁ М '₂) =>

из F (M '₁) < 0, F (M '₂) > 0 => внутри [и° ‒ ε, и° + ε] Ǝ 1 значение и : F (и, х, у ) = 0 (внутри отрезка М '₁ М '₂ Ǝ ! точка М S.)

Пусть и = φ (х, у) символизирует то правило, посредством которого каждой М ' (х, у) из окрестности (4) ставится в соответствие единствен‒ное число и из [и° ‒ ε, и° + ε], для которого F (и, х, у ) = 0 => в окрестности (4) Ǝ ! ф‒я и = φ (х, у), удовлетворяющая | и ‒ и° | < ε и являющаяся решением (1).

2. Докажем, что и = φ (х, у) непрерывна в М ' (х, у) окрестности (4). Т.к. для М ' (х, у) из окрестности (4) выполнены те же условия, что и для М '₀ (х°, у°) (т.е. точке М ' (х, у) из окрестности (4) соответствует

М (и, х, у) R : F (и, х, у ) = 0 в М, дифф‒ма в некоторой окрестности М и имеет в этой окрестности ≠0 частную производную), то достаточно доказать непрерывность и = φ (х, у) лишь в М '₀ (х°, у°). Надо доказать, что для ε > 0 Ǝ δ > 0 : для х и у, удовлетворяющих (4), справедливо

| и ‒ и° | < ε, где и = φ (х, у), и° = φ (х°, у°). Если взять в ка­честве ε то число, которое выбрано при рассмотрении п. 1, то суще‒ствование δ обеспечивается неравенствами (3). В рассуждениях п. 1

ε > 0 можно взять как угодно малым => непрерывность и = φ (х, у) . Условие непрерывности и = φ (х, у) в М '₀ (х°, у°) в разностной форме : Δu → 0 при Δх → 0 и Δy → 0.

3. Докажем дифф‒сть и = φ (х, у) в М ' (х, у) окрестности (4). В силу замечания из п. 2 достаточно доказать дифф‒сть в М '₀ (х°, у°). Т.к. F (u°, х°, у°) = 0 и F (u°+ Δu, х°+ Δх, у°+ Δy) = 0, то полное приращение ΔF функции F (и, х, у) в точке М₀ (u°, х°, у°) соответству‒ющее приращениям аргументов Δu, Δх и Δy, равно 0. Но из дифф‒сти F (и, х, у) в точ­ке М₀ (u°, х°, у°) :

, и берутся в М₀ (u°, х°, у°), α, β и γ → 0 при Δu → 0,

Δх → 0 и Δy→0

Из разностной формы условия непрерывности и = φ (х, у) в М '₀ (х°, у°) : Δu → 0 при Δх → 0 и Δy → 0 => из Δх → 0 и Δy → 0 => α, β и γ → 0.

По условию теоремы ≠ 0 в М₀. Т.к. γ → 0 при Δх → 0 и Δy → 0, то при достаточно малых Δх и Δy выражение не обращается в 0 => (5) можно на него поделить :

По теореме о предельном значении частного двух функций :

где μ и ν→ 0 при Δх → 0 и Δy → 0. Из (6) и (7) =>

(8) доказывает дифф‒сть и = φ (х, у) в М'₀ (х°, у°).

28. Теорема о разрешимости системы функциональных ур-ний.

Пусть т функций

ищутся как решение системы т функциональных уравнений

Решение системы (2) ‒ это совокупность т ф‒й (1) таких, что при их подстановке в (2) все уравнения системы обращаются в тождества. Это решение называется непрерывным и дифф‒мым в области D изменения х₁, ..., х_п, если каждая из ф‒й (2) непрерывна и дифф‒ма в D. R ‒ пр‒во (т + п) переменных и₁, ..., и_т, х₁, ..., х_п,

R' ‒ пр‒во п переменных х₁, ..., х_п. Из частных производных функций F₁, …, F_m составим определитель Якоби (якобиан) :

Т. Пусть т функций

дифф‒мы в некоторой окрестности М₀ (и₁°, ..., и_т°, х₁°, ..., х_п°) R, причем их частные производные по и₁, ..., и_т непрерывны в М₀. Тогда, если в М₀ все ф‒и (4) = 0, а якобиан ≠ 0, то для достаточно малых ε₁ > 0, ..., ε_т > 0 Ǝ окрест­ность М '₀ (х₁°, ..., х_п°) R', что в пределах этой окрестности Ǝ ! т функций (1), которые удовлетворяют условиям | и₁ ‒ и₁° | < ε₁, …, | и_m ‒ и_m° | < ε_m и являются решением системы (2), причем это решение непрерывно и дифф‒мо в указанной окрестности М '₀.

Док‒во. По индукции. При т = 1 это теорема о существовании и дифф‒сти неявно заданной ф‒и. Пусть теорема справедлива для системы т ‒ 1 уравнений, докажем для системы т уравнений. Т.к.

≠ 0 в М₀, то хотя бы 1 из его миноров (т ‒ 1)‒го порядка ≠ 0 в М₀, например, минор, стоящий в левом верхнем углу => по предполо‒жению индукции, первые т ‒ 1 уравнений (2) разрешимы относи‒тельно и₁, ..., и_т‒1 => для малых ε₁ > 0, ..., ε_т > 0 Ǝ такая окрестность М''₀ (и_т°, х₁°, ..., х_п°) пр‒ва R'' переменных (и_т, х₁, ..., х_п), что в пределах этой окрестности определены т ‒ 1 функций

которые | и₁ ‒ и₁° | < ε₁, …, | и_m‒1 ‒ и_m‒1° | < ε_m‒1 и являются единственным непрерывным и дифф‒мым решением системы первых т ‒ 1 уравнений (2).

Подставим (4) в левую часть последнего уравнения из (2) => она превращается в функцию Ψ, зависящую только от и_т, х₁, ..., х_п

Т.о., послед­нее из уравнений (2) приводит к уравнению

В силу (5) Ψ (и_т, х₁ ..., х_п) ‒ сложная ф‒я своих аргументов => по теореме о дифф‒сти сложной ф‒и, Ψ (и_т, х₁ ..., х_п) дифф‒ма в некоторой окрест­ности М₀'' (и_т°, х₁°, ..., х_п°) R". Из (5) и последнего из уравнений (2) => Ψ (и_т°, х₁°, ..., х_п°) = 0 => чтобы доказать, что к (6) применима теорема о существовании и дифф‒сти неявно заданной ф‒и и это уравнение разрешимо относительно и_т , достаточно установить, что ≠ 0 и непрерывна в М₀''. Под‒ставим в 1-ые т ‒ 1 уравнений (2) ф‒ии (4) и продифф‒ем по и_т :

………………………………………………….

Продифф‒ем (5) по и_т :

Умножим (7¹) ‒ (7^т) на соответствую­щие алгебраические дополне‒ния Δ₁, .... Δ_m элементов послед­него столбца якобиана (3) и сложим

Т.к. сумма произведений эл‒тов данного столбца определи­теля на соотв‒щие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца = определителю (0), то каждая [ ] = 0, а ( )= якоби­ану (3) =>

Δ ‒ якобиан (3), Δ_т ‒ алгебраиче­ское дополнение последнего элемента последнего столбца, которое совпадает с левым верхним минором и, по предположению, ≠ 0 в М₀. Поделим (8) на Δ_m :

Формула (9), справедливая в М₀'', доказывает непрерыв­ность в М₀'', т.к Δ и Δ_m состоят из частных производных функций (4) по и₁, ..., и_т , непре­рывных в М₀. Из (9) => ≠ 0 в М₀'' (т.к. Δ ≠ 0 в М₀). Т.о., к (6) можно применить теорему о существовании и дифф‒сти неявно заданной ф‒и: для дост-но малого ε_т > 0 Ǝ окрестность М'₀ (х₁°, ..., х_п°) R', что всюду в ее пределах определена ф‒я

которая удовлетворяет | и_m ‒ и_m° | < ε_m и является единственным непрерывным и дифф‒мым решением уравнения (6). Имея в виду, что ф‒и (4) являются решениями первых т ‒ 1 уравнений (2) при

и_т, х₁ ..., х_п из окрестности М₀'', и вставляя (10) в (4), получим

функции, зависящие только от х₁, ..., х_п:

По теореме о дифф‒сти сложной функции каждая из φ₁, ..., φ_m‒1 дифф‒ма в окрестности М '₀ (х₁°, ..., х_п°). Т.о., доказано: т функций

удовлетворяют в окрестности М '₀ условиям | и₁ ‒ и₁° | < ε₁, …,

| и_m ‒ и_m° | < ε_m и являются при наличии этих усло­вий единственным непрерывным и дифф‒мым в некоторой окрестности М '₀ (х₁°, ..., х_п°) решением системы (2). Осталось доказать, что функции (11) являются единственным решением системы (2). Пусть кроме ф‒й (11), существуют еще т функций

также являющихся решением системы (2) и удовлетворяющих | ₁ ‒ и₁° | < ε₁, …, | _m ‒ и_m° | < ε_m . Тогда, в силу предположения индукции, первые (т ‒ 1) функ­ций (11) являются при заданном

и_т = _т единствен­ным и дифференцируемым решением системы первых (т ‒ 1) уравне­ний (2). Но при заданном и_т единственное решение системы первых (т ‒ 1) уравнений (2) дается равенствами (4). Т.о., справедливы

где Ф₁, ..., Ф_т‒1 ‒ те же функции, что и (4) => из последнего уравнения (2) и соотношения (5) => _т ‒ единственное реше­ние уравнения (6), т. е. _т = и_т => из (4') и (4) => ₁ = и₁, ..., _т‒1 = и_т‒1.