Билеты (версия для шпор), страница 6

21. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы 1‒го дифференциала.

О. Ф‒я и = f (х₁, ..., х_т) называется диф­ференцируемой в М (х₁, ..., х_т), если ее полное приращение в М можно представить в виде

где А₁, ..., А_т ‒ некоторые не зависящие от Δx₁, … , Δx_m числа, а α₁, ..., α_т ‒ бесконечно малые при Δx₁ →0, … , Δx_m →0 функции, равные 0 при Δx₁ = … = Δx_m =0.

А₁ Δx₁ + ...+ А_т Δx_m ‒ главная, линейная относительно приращений аргументов часть.

О. Дифференциалом dи дифф‒мой в М (х₁, ..., х_т) ф‒и

и = f (х₁, ..., х_т) называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в М. Если в представлении (1) все коэффициенты А_i = 0, то dи = 0 в М.

dи = А₁ Δx₁ + ...+ А_т Δx_m =

Дифференциал dх_i независимой переменной х_i ‒ (не зависящее от х₁, ..., х_т) число. Пусть dх_i = Δx_i =>

Cложная функция вида и = f (х₁, ..., х_т), где x₁ = φ₁(t₁, …, t_k), …, x_m = φ₁(t₁, …, t_k) (3)

Т1. Пусть функции (3) дифф‒мы в не­которой М (t₁°, ..., t_k°), а

и = f (х₁, ..., х_т) дифф‒ма в соотв‒щей N (х₁°, ..., х_т°), где

х_i° = φ_i(t₁°, ..., t_k°), i = 1, ..., т. Тогда сложная ф‒я и = f (х₁, ..., х_т) , где х₁, ..., х_т определяются формулами (3), дифф‒ма в М. При этом частные производные этой сложной функции в М :

….. (4)

в которых все берутся в точке N, а все - в точке М.

Док‒во. Придадим аргументам t₁, …, t_k в точке М (t₁°, ..., t_k°) приращения Δt₁ ,…, Δt_k, одновременно ≠ 0. Им соответствуют приращения Δx₁ , ..., Δx_m функций (3) в М. Им соответствует прираще­ние Δu в N. Т.к. и = f (х₁, ..., х_т) дифференцируема в N =>

где берутся в N, α₁, ..., α_т ‒ бесконечно малые при Δx₁ →0, … , Δx_m →0 функции, равные 0 при Δx₁ = … = Δx_m =0.

Т.к. ф‒и (3) дифф‒мы в М (t₁°, ..., t_k°), приращения Δx₁ , ..., Δx_m :

где берутся в М, а

Надо убедиться, что после подстановки в правую часть (5) выражений (6) приращение Δu будет

где

Тогда теорема будет доказана, т.к (7) означает дифф‒ть сложной функции, а (8) ‒ это ее частная производная. При подстановке в правую часть (5) выражений (6), кроме группы слагаемых полу­чаются и другие группы слагаемых. Но они являются величиной о (ρ), т.к.

1°. Все в (5) берутся в N, т. е. являются постоянными числами, которые при умножении на о (ρ) дают о (ρ).

2°. Из (6) => все Δx_i (i = 1, ..., т) удовлетворяют | Δx_i | ≤ const ρ.

3°. Все α_i в (5) ‒ бесконечно ма­лые при ρ →0 функции, т.к. все α_i ‒ бесконечно малые при Δx₁ →0, … , Δx_m →0 . Но все ф‒и (3) дифф‒мы => непрерывны в М => Δx₁ →0, … , Δx_m →0 при ρ → 0.

4°. Из пп. 2° и 3° => каждое α_i Δx_i является величиной о (ρ).

З. Если ф‒и (3) зависят от 1 аргумента t, то u ‒ сложная ф‒я 1 переменной t : и = f (х₁, ..., х_т), где x_i = φ_i (t). Ее производная :

Ф‒я и = f (х₁, ..., х_т), заданная на мн‒ве {М}, называется однород-ной функцией степени р на {М}, если для М (х₁, ..., х_т) {М} и для t: N (t х₁, ..., t х_т) {М} выполняется

f (t х₁, ..., t х_т) = t ^p f (х₁, ..., х_т) (10)

Т2 (Эйлера об однородных функциях). Если и = f (х₁, ..., х_т) явля-ется в некоторой области {М} дифф‒ой однородной функцией степени р, то в М (х₁, ..., х_т) {М} справедливо равенство

Док‒во. Пусть М₀ (х₁°, ..., х_т°) ‒ точка области {М}. Рассмот-рим сложную ф‒ю и = f (х₁, ..., х_т), где x_i = t х_i° (i = 1, ..., т), т. е.

и = f (t х₁°, ..., t х_т°). Т.к. при t = 1 ф‒и x_i = t х_i° диф­ф‒мы и

и = f (х₁, ..., х_т) диф‒ма в соответствующей М₀, то, по Т1 и заме­чанию, можно вычислить в точке t = 1 по (9).

где берутся в М₀. С другой стороны, в силу (10):

и = f (t х₁°, ..., t х_т°) = t ^p f (х₁°, ..., х_т°) (13)

Из (13) => = p t ^p‒1 f (х₁°, ..., х_т°), т. е.

Из (12) и (14) => (11) для произвольной М₀ => теорема доказана.

Инвариантность формы 1‒го дифференциала: формула

универ­сальна и справедлива, когда х₁, ..., х_т ‒ дифф‒мые функции новых переменных t₁, …, t_{k .}

Пусть аргументы х₁, ..., х_т ф‒и и = f (х₁, ..., х_т) являются дифф‒мыми в А (t₁°, ..., t_k°) функциями x_i = φ_i (t₁, …, t_k), и и = f (х₁, ..., х_т) дифф‒ма в В (х₁°, ..., х_т°), где х_i° = φ_i (t₁°, ..., t_k°) =>

и ‒ сложная функция аргументов t₁, …, t_k, по Т1 дифф‒ма в А => ее дифференциал :

где определяются из (4). Подставляя из (4) в (16) и собирая коэффициенты при получим

Коэффициент при = дифференциалу dx_i ф-ции x_i = φ_i (t₁, …, t_k) => получим для дифференциала dи сложной функции формулу (15), в которой дифференциалы dx_i будут дифференциалами функций x_i = φ_i (t₁, …, t_k).

22. Производная по направлению. Градиент.

Пусть и = f (х, у, z) 3 переменных х, у и z задана в некоторой окрест­ности М₀ (х₀, у₀, z₀). Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором а с координатами {cos α, cos β, cos γ}. Проведем через М₀ ось 1, направление которой совпадает с направлением а, возьмем на этой оси

М (х, у, z) и пусть l ‒ величина направленного отрезка М₀М. Координаты х, у, z точки М :

x = x₀ ‒ l cos α, y = y₀ ‒ l cos β, z = z₀ ‒ l cos γ (1)

На оси 1 ф‒я и = f (х, у, z) ‒ сложной ф‒я одной переменной l. Если эта функция имеет в l = 0 производную по переменной l, то эта производная называется производной по направлению 1 от

и = f (х, у, z) в М₀ :

Градиентом дифф‒мой в точке М₀ (х₀, у₀, z₀) функции и = f (х, у, z) в М₀ называ­ется вектор

grad u, имеющий координаты, соответственно равные производным , , , взятым в М₀ :

Т.к. вектор а, определяющий направление оси 1, имеет координаты {cos α, cos β, cos γ}, представим выражение (2) в виде скалярного произведения векторов grad и и а:

Покажем, что градиент функции и = f (х, у, z) в точке М₀ характе­ризует направление и величину максимального роста этой ф‒и в М₀, т.е., производная функции и в М₀ по направлению, определяемому градиентом этой функции в М₀, имеет максимальное значение по сравнению с производной по другому направлению в М₀, а зна­чение указанной производной равно длине вектора | grad и |. Перепишем (3) в виде

где φ ‒ угол между grad и и а => максимальное значение производной по направлению при

cos φ = 1, т. е. когда на­правление а совпадает с направлением grad и, при этом

З. Для ф‒и и = f (х, у) 2 перемен­ных х и у единичный вектор а, определяющий направление в М₀, имеет координаты {cos α, sin α} => (2) принимает вид

Для ф‒и 2 переменных градиент дифф‒мой функции и (х, у) ‒ вектор с координатами , формула (3) также справедлива. Для функции и = f (х₁, ..., х_т) т переменных х₁, ..., х_т аналогично. Производная в М₀ (х₁°, ..., х_т°) по направлению 1, которое задается единичным вектором а = {cos α₁, …, cos α_m} (где

cos² α₁ + …+ cos² α_m = 1), определяется как про­изводная по l сложной ф‒и и = f (х₁, ..., х_т) , где

x₁ = x₁° ‒ l cos α₁ , …, x_m = x_m° ‒ l cos α_i . Если

и = f (х₁, ..., х_т) ‒ дифф‒мая функция, для производной по направлению :

Градиентом ф‒и в данной М₀ (х₁°, ..., х_т°) называется вектор

производные берутся в М₀. Также справедлива (3).

23. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о равенстве смешанных производных.

Пусть у и =f (х₁, ..., х_т), опре­деленной в области {М}, в {М}

Ǝ по x_i => ‒ функция от х₁, ..., х_т , тоже определенная в {М}. Если она имеет частную производную по х_k в некоторой

М {М}, то ее называют 2‒ой частной производной и = f (х₁, ..., х_т) в М сначала по х_i, а затем по х_k:

п‒я частная производная вводится индуктивно. Если введено понятие (п ‒ 1)‒й частной производной ф‒и и =f (х₁, ..., х_т) по х_i1, ..., х_i(n‒1) и она имеет в М частную производную по х_in , то ее на-зывают п‒й частной производной и = f (х₁, ..., х_т) в М по х_i1, ..., х_in

Если не все i₁, ..., i_n совпадают, то част. производная ‒смешанная

Ф‒я и = f (х₁, ..., х_т) называется п раз дифф‒мой в М₀ (х₁°, ..., х_т°), если все частные производные (п ‒ 1)‒го по­рядка этой ф‒и являются дифф‒мыми функциями в М₀.

У. Чтобы и = f (х₁, ..., х_т) была п раз дифф‒емой в М₀ (х₁°, ..., х_т°), достаточно, чтобы все ее частные производные п‒го порядка были непрерывными в М₀. (=> из определения дифф‒сти функ­ции и теоремы о достаточных условиях дифф‒сти)

Т1. Пусть и = f (х, у) дважды дифферен­цируема в М₀ (x₀, у₀). Тогда в М₀ = .

Док‒во. и = f (х, у) дважды дифф‒ма в М₀ (x₀, у₀) => f_x' и f_y' определены в окрестности М₀ и дифф‒мы в М₀. Рассмотрим

Ф=f (х₀+h, у₀+h)‒ f (х₀+h, у₀ )‒ f (х₀, у₀+ h)+ f (х₀, у₀ ) (1)

где h ‒ столь малое число, что М (х₀ + h, у₀ ‒ h) находится в этоой окрестности М₀. Ф ‒ приращение Δφ = φ (х₀ + h) ‒ φ (x₀) дифф‒мой на [x₀, x₀ + h] ф‒и φ (х) = f (х, у₀ + h) ‒ f (х, у₀ ) переменной х => по Т. Лагранжа, Ǝ θ из 0 < θ < 1:

Ф = Δφ = φ' (х₀ + θh)h = [ f_x'(х₀ + θh, у₀ + h) ‒

‒f_x'(х₀ + θh, у₀ )]h ={[ f_x'(х₀ + θh, у₀ + h) ‒ f_x'(х₀, у₀ )] ‒

‒ [ f_x'(х₀ + θh, у₀ ) ‒ f_x'(х₀, у₀ )]}h (2)

Т.к. f_x' дифф‒ма в М₀ => [ f_x'(х₀ + θh, у₀ + h) ‒ f_x'(х₀, у₀ )] =

(х₀, у₀ ) θh + (х₀, у₀ )h + α₁ θh +

+β₁ h[ f_x'(х₀ + θh, у₀ ) ‒ f_x'(х₀, у₀ )] = (х₀, у₀ ) θh+α₂ θh

где α₁, β₁, α₂ ‒ бесконечно малые при h → 0 . Подставляя в (2):

Ф = [ (х₀, у₀ ) + α] h² (3)

где α = α₁ θ + β₁ ‒ α₂ θ ‒ бесконечно малая при h → 0 функция. С др. стороны, (1) для Ф ‒ приращение Δψ = ψ(y₀ + h) ‒ ψ (y₀) дифф‒мой на [y₀, y₀ + h] ф‒и ψ (y) = f (х₀ +h, у) ‒ f (х₀, у):

Ф = [ (х₀, у₀ ) + β] h² (4)

где β ‒ бесконечно малая при h → 0. (3) = (4) и сократить на h² :

(х₀, у₀ ) + α = (х₀, у₀ ) + β

α и β‒бесконечно малые при h→0 => (х₀, у₀ ) = (х₀, у₀ )

Т2. Пусть и= f (х₁, ..., х_т) п раз дифф‒ма в М₀ (х₁°, ..., х_т°). Тогда в М₀ значение смешанной частной производной п‒го порядка не зависит от порядка последовательных дифференцирований.

Док‒во. Достаточно доказать для 2 последо­вательных дифф-ний:

Т.к ‒ дважды дифф‒мая ф‒я переменных и , то по Т1

=> справедливость (5).

Дифф‒лы высших порядков. 1‒й дифференциал дифф‒мой в

М (х₁, ..., х_т) ф‒и и = f (х₁, ..., х_т) :

Пусть правая часть (6) ‒ функция от х₁, ..., х_т, дифф‒мая в М (х₁, ..., х_т). Достаточно, чтобы и = f (х₁, ..., х_т) была 2 раза дифф‒ма в М, а аргументы были либо независимыми переменными, либо 2 раза дифф‒мыми ф‒ями некоторых независимых пере­менных.

О1. Значение δ (dи) дифференциала от 1‒го диф­ференциала (6), взятое при δх₁ = dх₁, ..., δх_m = dх_т , называется 2‒ым дифференциалом ф‒и и=f (х₁, ..., х_т) (в данной М (х₁, ..., х_т)

Пусть введен дифференциал d ^п‒1и порядка п ‒ 1 и и = f (х₁, ..., х_т) п раз дифф‒ма в данной М (х₁, ..., х_т), а ее аргументы или независи-мые переменные, или п раз дифф-мые функции некоторых независимых переменных.

О2. Значение δ (d ^n‒1и) дифференциала от (п ‒ 1)‒го дифференциа-ла d ^n‒1и, взятое при δх₁ = dх₁, ..., δх_m = dх_т , называется п‒м дифференциалом и= f (х₁, ..., х_т) в М:

При вычислении 2‒го и последующих дифференциалов 2 случая:

1) х₁, ..., х_т ‒ независимые переменные => dх₁, ..., dх_т не зависят от х₁, ..., х_т . Каждый dх_k можно взять = одному и тому же приращению Δх_k для М (х₁, ..., х_т) =>

З1. По индукции для п‒го дифференциала:

2) х₁, ..., х_т ‒ соответствующее число раз дифф‒мые функции независимых переменных t₁, ..., t_k. :

Из (11) и (10) => 2‒й и последующие дифференциалы не обладают свойством инва­риантности формы, но обладают этим свойством, если х₁, ..., х_т ‒ линейные функции независимых переменных t₁, ..., t_k , т.к. частная производная выше 1‒го порядка от линей­ной ф‒и =0 и d²x_i = 0, …, d ^mx_i = 0.

24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Дифф-л k‒го порядка ф‒и и = f (х₁, ..., х_т) в М : d ^ku|_M

Т. Пусть ф‒я и = f (М) = f (х₁, ..., х_т) задана в некоторой ε ‒ окрестности М₀ (х₁°, ..., х_т°) и n+1 раз дифф‒ма в этой ε‒окрестности. Тогда пол­ное приращение Δu = f (М) ‒ f (М₀) этой функции в М₀ для точки М из этой ε‒окрестности можно пред­ставить в следующей форме:

где N ‒ некоторая точка ε ‒ окрестности, завися­щая от М₀ , а дифференциалы dx_i переменных х_i , входящие в d ^ku|_M и d ⁿ⁺¹u|_N , равны Δx_i = x_i ‒ х_i°.

Док‒во. Проведем для и = f (х, у) 2 переменных х и у. Формула Тейлора для п + 1 раз диф‒мой в некоторой окрестности t₀ функции u = F (t) одной переменной t с центром разложения в t₀ (остаточный член в форме Лагранжа), 0 < θ <1:

t ‒ независимая переменная => приращение Δt =t ‒ t₀ ‒ дифференциал dt независимой переменной t =>

Обозначим Δu = F (t) ‒ F (t₀), согласно (3), формулу Тейлора (1) можно записать в форме:

Рассмотрим в ε‒окрестности М₀ (х₀, у₀) точку

М (х₀ +Δx, у₀+Δy) и соединим точки М₀ и М прямой ли­нией => координаты х и у точек этой прямой ‒ линейные функции новой переменной t :

х = х₀ +tΔx , y = у₀+tΔy (5)

при этом координаты точек отрезка М₀М соответствуют значениям переменной t из сегмента [0, 1]. Значению t = 0 отве­чает точка М₀, а значению

t = 1 ‒ точка М. Т.к. по условию и = f (х, у) двух переменных х и у в ε‒окрестности точки М₀ п + 1 раз дифф‒ма, то из (5) => на прямой М₀М эта функция является сложной функцией переменной t, (п + 1) раз дифф‒мой для всех значений t из [0, 1]. Обозначим эту сложную функцию через F (t) и запишем для нее формулу Тейлора с цен­тром разложения в t₀ = 0 в форме (4) при Δu = F (1) ‒ F (0) = f (М) ‒ f (М₀)

Фигурирующие в (4) дифференциалы различных поряд­ков являются дифференциалами сложной функции и = f (х, у) , где х и у ‒ линейные функции (5) => дифферен­циалы порядка ф­‒и и = f (х, у):

В (6) dx и dу находятся из (5) при dt = Δt = 1 ‒ 0 = 1 => в (6): dx = dt Δx = Δx, dy = dt Δy = Δy (7)

Подставляя и из (6) в (4) и учитывая (7), получим формулу Тейлора (1).

Развернутое выражение формулы Тейлора :