Матем.анализ 3 семестр (Лекции Галкина), страница 7
Описание файла
Файл "Матем.анализ 3 семестр" внутри архива находится в папке "m3". Документ из архива "Лекции Галкина", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "кратные интегралы и ряды" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Матем.анализ 3 семестр"
Текст 7 страницы из документа "Матем.анализ 3 семестр"
Свойства ротора.
Теорема Стокса.
Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхность с кусочно-гладкой границей .
Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим аргументам до второго порядка включительно в области V.
Тогда справедлива формула Стокса
Замечание. Нормаль к поверхности проведена так, чтобы наблюдатель, находясь на конце вектора нормали, видел бы обход контура , совершающимся в положительном направлении (так, чтобы область, границей которой является контур, при обходе контура находилась бы «по левую руку»).
Доказательство теоремы Стокса.
Отсюда видно, что . Вспомним еще, что .
(на поверхности , поэтому под интегралом стоит частная производная P по y с учетом зависимости z от y на поверхности )
Используем формулу Грина для области D с ее границей . Ее можно записать в виде
. Нам понадобится только та ее часть, которая относится к функции P . Продолжаем равенство дальше.
В самом деле, на контуре , а переменные x, y на том и другом контуре те же, так как контур - это проекция контура на плоскость OXY (параллельно оси OZ).
Одна из частей формулы Стокса доказана.
Линейным интегралом векторного поля по дуге L называется криволинейный интеграл .
Линейный интеграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге.
Циркуляцией векторного поля называется линейный интеграл по замкнутому контуру.
Вводя эти понятия, можно записать формулу Стокса в «полевой» форме
Мы определили ротор векторного поля в декартовой системе координат, однако ротор – это характеристика самого векторного поля Поэтому необходимо дать определение ротора, которое не зависит от выбора системы координат.
Инвариантное определение ротора.
Рассмотрим произвольную точку M в области V. Проведем через нее поверхность , границей которой служит контур . Пусть поверхность и контур удовлетворяют условиям теоремы Стокса. По теореме о среднем для поверхностного интеграла и формуле Стокса получим
Здесь, как и ранее - обозначение области и ее площади. Из этого соотношения, стягивая контур к точке M, получим
Это и есть инвариантное определение ротора.
Правая часть формулы – это поверхностная плотность циркуляции векторного поля (энергии в точке M вращения векторного поля или работы векторного поля при вращении вокруг некоторого направления, определяемого вектором ). Левая часть – это проекция ротора на это направление.
Если направление совпадает с направлением ротора и - единичный вектор, то левая часть равна модулю ротора. Поэтому модуль ротора векторного поля равен максимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля.
Левая часть достигает максимума при коллинеарности направления и ротора векторного поля. Поэтому направление ротора векторного поля – это то направление, вокруг которого поверхностная плотность циркуляции векторного поля – наибольшая.
Пример. Найти ротор линейной скорости вращения с постоянной угловой скоростью
Векторное поле линейной скорости .
Ранее была сформулирована теорема о полном дифференциале для пространственной кривой. В ее доказательстве не хватало только одного пункта – перехода от пункта 3) к пункту 2). Все остальное доказывается аналогично случаю плоской кривой.
Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.
Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны.
-
не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек дуги.
Теперь переход от пункта 3) к пункту 2) легко сделать по формуле Стокса.
Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять по формуле
= , так как интеграл не зависит от формы дуги (пути интегрирования).
Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять также по формуле Ньютона – Лейбница
= , где - потенциал векторного поля ( ).
Потенциальное поле и его свойства.
Векторное поле называется потенциальным, если существует такое скалярное поле (потенциал векторного поля ), что = .
Замечание. Если поле - потенциально, то = - полный дифференциал. Тогда - полный дифференциал. Поэтому свойства потенциального поля можно сформулировать и доказать как следствия теоремы о полном дифференциале.
Свойства потенциального поля.
-
Линейный интеграл потенциального поля не зависит от формы дуги L = , а зависит только от начальной и конечной точек дуги.
-
Циркуляция потенциального поля равна нулю
Полагая дугу АВ замкнутой (A = B), получаем =
Оператор Гамильтона
Применим оператор Гамильтона к скалярному полю .
Оператор Гамильтона представляет собой вектор-оператор. Его можно скалярно или векторно умножить на векторное поле .
Это дифференциальные операции первого порядка над скалярным и векторным полями. От скалярного поля можно взять градиент, от векторного поля можно взять дивергенцию и ротор.
Дифференциальные операции второго порядка.
В результате дифференциальных операций первого порядка мы получаем скалярные и векторные поля .
К ним вновь можно применить дифференциальные операции первого порядка.
От скалярного поля можно взять градиент, получив векторное поле .
От векторных полей можно взять ротор и дивергенцию, получив скалярные поля , и векторные поля , .
Итак, дифференциальные операции второго порядка позволяют получить скалярные поля , и векторные поля , , .
Ранее было показано, что потенциальное поле – безвихревое, т.е. =0.
Покажем, что поле ротора – соленоидальное поле, т.е. =0.
Доказательство.
Три остальных векторных поля связаны друг с другом. Это становится ясным, если рассматривать векторные операции с оператором Гамильтона «набла» аналогично обычным векторным операциям. Однако, эти аналогии не совсем верны, см. подробнее о свойствах оператора «набла» выпуск 7 учебника.
Известно соотношение . Перенося это правила на действия с оператором «набла», получим
Здесь - оператор Лапласа (скаляр – оператор).
- произведение скаляр-оператора Лапласа на вектор .
Гармоническое поле.
Скалярное поле называется гармоническим, если
Векторное поле называется гармоническим, если оно потенциальное ( ), а потенциал - гармоническое скалярное поле, т.е. .
Теорема. Для того, чтобы векторное поле было гармоническим, необходимо и достаточно чтобы оно было соленоидальным и потенциальным.
Необходимость. Если векторное поле - гармоническое, то оно потенциальное, т.е. , тогда оно соленоидально, так как .
Достаточность. Если векторное поле потенциальное, то . Так как оно еще и соленоидально, то 0 = . Следовательно, поле потенциально и его потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, поэтому векторное поле – гармоническое.
Так как гармоническое поле потенциально и соленоидально, то его свойства – свойства соленоидального поля и свойства потенциального поля.
Часть 2. Числовые и функциональные ряды
Лекция 10. Числовые ряды и их свойства.
Числовой ряд – это сумма бесконечного количества чисел, выбранных по определенному алгоритму. Обычно задают формулу общего члена ряда .
Примеры
-
1+ - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . Ее сумма равна ,
-
1+1+1+…..Сумма этого ряда бесконечна.
-
1-1+1-1… Сумма этого ряда не существует (ни конечная, ни бесконечная).
При изучении рядов возникает основной вопрос: «Сходится ли ряд». Отвечая на этот вопрос для геометрической прогрессии, мы вычисляем последовательно 1+ , =1+ 1+ - суммы n членов ряда – частичные суммы ряда .
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда – он называется суммой ряда
.
Ряд называется расходящимся, если предел частичных сумм ряда бесконечен или вообще не существует.
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то .