Матем.анализ 3 семестр (Лекции Галкина), страница 3
Описание файла
Файл "Матем.анализ 3 семестр" внутри архива находится в папке "m3". Документ из архива "Лекции Галкина", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "кратные интегралы и ряды" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Матем.анализ 3 семестр"
Текст 3 страницы из документа "Матем.анализ 3 семестр"
Пример. Вычислить массу тетраэдра плотностью f(x, y, z) = z, ограниченного плоскостями x+y+z = 1, x+z =1, x+y = 1, y+z =1.
1 |
Лекция 4. Приложения тройного интеграла.
Замена переменных в тройном интеграле.
Теорема. Пусть с помощью непрерывных функций x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z =z(u, v, w) имеющих непрерывные частные производные установлено взаимно однозначное соответствие пространственно односвязных ограниченных, замкнутых областей Dxyz, Duvw с кусочно-гладкой границей. Тогда
, где - якобиан (определитель Якоби).
Теорема приведена без доказательства.
Цилиндрическая система координат.
M
| Вводятся цилиндрические координаты , , h. x = cos, y = sin, z = h. Вычислим якобиан |
Пример Вычислить объем пространственного тела, заключенного между цилиндрической поверхностью и эллиптическим параболоидом . .
|
Сферическая система координат.
x y z r | Сферические координаты , r, . x = r sin cos y= r sin sin z = r cos. |
Пример. Найти массу части шара (с центром в начале координат, радиусом R), находящейся в первом октанте, если плотность вещества шара в каждой точке шара пропорциональна расстоянию этой точки от оси OZ.
Приложения тройного интеграла.
Геометрическое приложение – вычисление объема любого пространственного тела.
По свойству 3 тройного интеграла , где – объем области V.
С помощью двойного интеграла тоже можно вычислять объем, но только цилиндрического тела, а не произвольного.
Пример. Вычислить объем пространственного тела, ограниченного эллиптическим параболоидом и шаром ( единичного радиуса с центром в точке (0, 0, 1))
Механические приложения – вычисление массы пространственного тела, статических моментов, центра тяжести, моментов инерции по формулам, которые выводятся аналогично соответствующим формулам для плоского тела с двойным интегралом ( - плотность вещества тела в каждой точке).
, , . Формулы для моментов инерции запишите сами (например, )
Пример. Определить координаты центра тяжести полушара , По симметрии . ,
Лекция 5 Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства..
Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода.
Задача о массе кривой. Пусть в каждой точке кусочно-гладкой материальной кривой L: (AB) задана ее плотность . Определить массу кривой.
Поступим так же, как мы поступали при определении массы плоской области (двойной интеграл) и пространственного тела (тройной интеграл).
1. Организуем разбиение области- дуги L на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и (условие А)
2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» Mi и вычислим в них значения функции
3. Построим интегральную сумму , где - длина дуги (обычно вводятся одни и те же обозначения для дуги и ее длины). Это – приблизительное значение массы кривой. Упрощение состоит в том, что мы предположили плотность дуги постоянной на каждом элементе и взяли конечное число элементов.
Переходя к пределу при условии (условие В), получим криволинейный интеграл первого рода как предел интегральных сумм:
Теорема существования10.
Пусть функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L11. Тогда криволинейный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм.
Замечание. Предел этот не зависит от
-
способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А
-
выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,
-
способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В
Свойства криволинейного интеграла первого рода.
1. Линейность
а) свойство суперпозиции
Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.
2. Аддитивность.
Если , то = +
Доказательство. Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения ( первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L1, так и элементы L2. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.
4. Если на дуге выполнено неравенство , то
Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.
Заметим, что, в частности, возможно
5. Теорема об оценке.
Если существуют константы , что , то
Доказательство. Интегрируя неравенство (свойство 4), получим . По свойству 1 константы можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.
6. Теорема о среднем (значении интеграла).
Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань и верхняя грань . Выполнено неравенство . Деля обе части на L, получим . Но число заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве L, то в некоторой точке функция должна принимать это значение. Следовательно, .
Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
Параметризуем дугу L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Пусть t0 соответствует точке A, а t1 соответствует точке B. Тогда криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному интегралу ( - известная из 1 семестра формула для вычисления дифференциала длины дуги):
Пример. Вычислить массу одного витка однородной (плотность равна k) винтовой линии: .
Криволинейный интеграл 2 рода.
Задача о работе силы.
-
Организуем разбиение области- дуги AB на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и (условие А)
-
Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» Mi и вычислим в них значения функции
-
Построим интегральную сумму , где вектор, направленный по хорде, стягивающей -дугу .
-
Переходя к пределу при условии (условие В), получим криволинейный интеграл второго рода как предел интегральных сумм (и работу силы):
Теорема существования.
Пусть вектор - функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L12. Тогда криволинейный интеграл второго рода существует как предел интегральных сумм.
Замечание. Предел этот не зависит от
-
способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А
-
выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,
-
способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В
Свойства криволинейного интеграла 2 рода.
1. Линейность
а) свойство суперпозиции
Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, используя свойство скалярного произведения, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.
2. Аддитивность.
Если , то = + .
Доказательство. Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения ( первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L1, так и элементы L2. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.
3. Ориентируемость.