Матем.анализ 3 семестр (Лекции Галкина)
Описание файла
Файл "Матем.анализ 3 семестр" внутри архива находится в папке "m3". Документ из архива "Лекции Галкина", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Матем.анализ 3 семестр"
Текст из документа "Матем.анализ 3 семестр"
65
Галкин С.В.
Краткий курс математического анализа
в лекционном изложении
для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана
(третий семестр)
Москва 2005.
Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля.
Лекция 1.
Двойной интеграл.
Задача об объеме цилиндрического тела.
К определенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции. К двойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела.
-
Рассмотрим, например, прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания R его объем равен
-
Объем цилиндра той же высоты, в основании которого лежит эллипс с полуосями равен .
-
Объем цилиндра той же высоты, с площадью основания , равен .
Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежит область с площадью , а высота изменяется от точки к точке так, что конец ее описывает некоторую поверхность ( ). Тогда логично разбить область на области малого размера – организовать разбиение области на области – элементы разбиения. На каждом элементе отметим точку M(x,y) и построим над этим элементом прямой круговой цилиндр, высота которого постоянна для всех точек элемента и равна . Вычислим объем этого элементарного цилиндра. Просуммируем объемы всех элементарных цилиндров. Эта сумма и даст приближенно искомый объем цилиндрического тела тем точнее, чем меньше будут размеры элементов разбиения. Этот алгоритм используем для построения двойного интеграла
Двойной интеграл1
Теорема существования2.
Пусть функция непрерывна в замкнутой односвязной области D3. Тогда двойной интеграл существует как предел интегральных сумм.
Замечание4. Предел этот не зависит от
-
способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А
-
выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,
-
способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В
Свойства двойного интеграла5.
1. Линейность
а) свойство суперпозиции .= +
Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Они равны интегральным суммам для правых частей равенств, так как число слагаемых конечно. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.
2. Аддитивность.
Если , то = +
Доказательство. Выберем разбиение области D так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы D1, так и элементы D2. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.
4. Если в области D выполнено неравенство , то (неравенство можно интегрировать).
Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.
Заметим, что, в частности, возможно
5. Теорема об оценке.
Если существуют константы , что , то
Доказательство. Интегрируя неравенство (свойство 4), получим . По свойству 1 константы можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.
6. Теорема о среднем (значении интеграла).
Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань и верхняя грань . Выполнено неравенство . Деля обе части на , получим . Но число заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то в некоторой точке функция должна принимать это значение. Следовательно, .
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что существует цилиндр постоянной высоты , объем которого равен объему цилиндрического тела
Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
Предположим, что D – плоская область, лежащая в некоторой плоскости и введем в этой плоскости декартову систему координат.
Область D назовем правильной, если любая прямая, параллельная декартовым осям, пересекает ее не более чем в двух точках.
Можно показать, что замкнутую ограниченную область с кусочно-гладкой границей можно представить в виде объединения правильных областей, не имеющих общих внутренних точек. Поэтому интеграл по области D можно вычислять как сумму интегралов (свойство 2) по правильным областям. Будем считать, что нам надо вычислить двойной интеграл по правильной области.
Подставляя в формулу для объема, получим . Это повторный интеграл, вернее один из них. Второй повторный интеграл можно получить, вводя сечения, параллельные оси OX. По аналогии . По смыслу двойного интеграла (объем цилиндрического тела)
Примеры. Записать двойной интеграл по заданной области и повторные интегралы.
1.
1 1. |
Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.
К двойному интегралу .мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой .
В этом и состоит его геометрический смысл.
Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскую область D, плотность которой равна , т.е. меняется от точки к точке. Достаточно ассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобы понять, что мы имеем ту же модель.
Поэтому физический смысл двойного интеграла заключается в том, что равен массе плоской области D, плотность которой равна .
Пример. Вычислить объем V цилиндрического тела, ограниченного двумя параболическими цилиндрами z = 1-y2 и x = y2 и площадь его основания D, расположенного в плоскости OXY..
|
Лекция 2. Приложения двойного интеграла.
Теорема. Пусть установлено взаимно однозначное соответствие областей Dxy и Duv с помощью непрерывных, имеющих непрерывные частные производные функций . Пусть функция f(x,y) непрерывна в области Dxy. Тогда
, где - якобиан (определитель Якоби).
Доказательство (нестрогое). Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q1, Q3, Q4, Q2 – прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображении - ячейку P1, P3, P4, P2.
u v Q3 Q1 Q2 Q4 P1 P2 P4 P3 x y | Запишем координаты точек Q1 (u, v), Q2 (u+du, v), Q3 (u, v+dv), |
Приближенно будем считать ячейку P3, P4, P1, P2.параллелограммом, образованным сторонами . Вычислим площадь этой ячейки как площадь параллелограмма.
Подставляя в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy, получим .
Следствие. Рассмотрим частный случай – полярную систему координат : . .
Пример. Вычислить площадь внутри кардиоиды .
Пример. Вычислить объем внутри прямого кругового цилиндра , ограниченный плоскостью в первом октанте.
Для каждой задачи можно выбрать ту систему координат, в которой вычисления проще. Декартова система координат удобна для прямоугольных областей. Если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны. Полярная система координат удобна для круга, кругового сектора или сегмента. Если центр круга находится в начале координат, то пределы интегрирования по углу и радиусу постоянны.
Приложения двойного интеграла.
С помощью двойного интеграла можно вычислить объем цилиндрического тела, площадь и массу плоской области. От этих задач мы и пришли к двойному интегралу.