Матем.анализ 3 семестр (928016), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Но возможны и менее очевидные приложения.

С помощью двойного интеграла можно вычислять площадь поверхности, определять статические моменты, моменты инерции и центр тяжести плоской области.

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.

то можно считать справедливым соотношение v_k cos_k = s_k. Выразим отсюда

v_k=s_k/ cos_k. Будем измельчать разбиение при условии max diam _k 0, что для кусочно-гладкой поверхности, не ортогональной плоскости OXY, равносильно max diam d_k 0. Вычислим площадь поверхности как двойной интеграл

.

Сюда остается лишь подставить .

Если поверхность  задана уравнением F(x, y, z) = 0, то

Поэтому в этом случае , .

.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение это можно

свести к уравнению F(x, y, z) = 0 и применить выведенную формулу:

.

Пример. Вычислить площадь поверхности конуса , ограниченной плоскостями

Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции.

Пусть задана плотность вещества плоской материальной области D (x, y). Выделим элементарную ячейку с массой dm и применим к ней известные формулы для материальной точки:

Статические моменты относительно осей OX, OY dm_x = y dm = y (x, y) ds,

dm_y = x dm = x (x, y) ds.

Моменты инерции относительно осей OX, OY dJ_x = y² dm = y² (x, y) ds,

dJ_y = x² dm = x² (x, y) ds.

Момент инерции относительно начала координат dJ₀ = dJ_x + dJ_y.

Двойным интегралом по всей области D вычисляем те же характеристики для области D.

, , , , J₀ = J_x + J_y.

Координаты центра тяжести , где - масса области D.

Пример. Вычислить координаты центра тяжести полукруга с заданной плотностью .

(это было ясно заранее, по симметрии полукруга относительно OYи независимости плотности от координаты x).

Поэтому .

Пример. Вычислить момент инерции полукруга с заданной плотностью относительно прямой .

.

Эта формула известна в теоретической механике.

Замечание о несобственных двойных интегралах.

Точно так же, как и в определенных интегралах, вводят несобственные двойные интегралы двух типов: интеграл от непрерывной функции по неограниченной области (первого рода) и интеграл от разрывной функции по ограниченной области (второго рода).

Интеграл первого рода определяют как предел последовательности двойных интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся» областям, стремящимся к заданной неограниченной области. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Интеграл второго рода⁶ определяют как предел последовательности интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся» областям, стремящимся к заданной области и исключающим точку разрыва. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Пример. Показать, что несобственный интеграл первого рода по области сходится при и расходится при .

Показать, что несобственный интеграл первого рода по области сходится при и расходится при .Вычислим этот интеграл по области .

.

=

=

Часто расширение математических знаний позволяет решать задачи, которые не получались старыми методами.

Пример. Вычислить интеграл Пуассона .

Неопределенный интеграл «не берется». Но двойной интеграл по области равен

I = .

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим

I = .

Поэтому = . По четности .

Лекция 3 Тройной интеграл.

Задача о массе пространственного тела.

Пусть есть некоторое пространственное материальное тело, занимающее область V, в каждой точке которой задана объемная плотность f(x, y, z). Надо вычислить массу пространственного тела.

Эта задача приводит к понятию тройного интеграла.

Введем разбиение области V на элементарные области, не имеющие общих внутренних точек (условие А) v_k с малым объемом (обозначение области и ее объема обычно одно и то же, это принято уже более 200 лет и не вносит путаницы).

На каждом элементе разбиения – элементарной области отметим точку M_k(x_k, y_k, z_k). Вычислим плотность в этой точке f(x_k, y_k, z_k) = f(M_k) и предположим, что плотность постоянна в элементарной области. Тогда масса элементарной области v_k приближенно равна = f(M_k) . Суммируя все такие массы элементарных областей (составляя интегральную сумму), приближенно получим массу области V

Для того, чтобы точно вычислить массу области, остается перейти к пределу при условии (условие B).

.

Так задача о массе пространственной области приводит к тройному интегралу⁷.

Введем некоторые ограничения на область интегрирования и подинтегральную функцию, достаточные для существования интеграла⁸.

Потребуем, чтобы функция f(M) была непрерывна в области V и на ее границе.

Потребуем, чтобы область V была замкнутой, ограниченной, пространственно-односвязной областью с кусочно-гладкой границей.

Область назовем пространственно-односвязной, если ее можно непрерывной деформацией стянуть в точку.

Теорема существования. Пусть область V и функция f(M)=f(x, y, z) удовлетворяют сформулированным требованиям. Тогда тройной интеграл существует как предел интегральных сумм.

.

Замечание. Предел этот не зависит⁹:

1) от выбора разбиения области, лишь бы выполнялось условие А

2) от выбора отмеченных точек на элементах разбиения

3) от способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие B.

Свойства тройного интеграла.

1. Линейность
   а) = +

б) =
Эти свойства, как и для двойного интеграла, доказываются «через интегральные суммы». Составляют интегральную сумму для интегралов, стоящих в левой части равенства, в ней делают нужную операцию (это возможно, т.к. число слагаемых конечно) и получают интегральные суммы для интегралов в правой части. Затем, по теореме о предельном переходе в равенстве, переходят к пределу, и свойство доказано.

1. Аддитивность (по множеству)
   = +

Доказательство проводится, как и ранее, через интегральные суммы с использованием замечания к теореме существования.

Разбиение выбирается и измельчается так, чтобы граница областей V, W состояла из границ элементов разбиения (это можно сделать, учитывая замечание). Тогда интегральная сумма для интеграла в левой части равенства равна сумме двух интегральных сумм, каждая для своего для интеграла в правой части равенства. Переходя к пределу в равенстве, получаем требуемое соотношение.

1. , где – объем области V.
   Интегральная сумма для интеграла в левой части =

2. Если f(x, y, z) g(x, y, z), то  .
   Переходя к пределу в неравенстве  (по теореме о переходе к пределу в неравенстве), получим требуемое соотношение.
   Следствие. Если f(x, y, z) 0, то 0.

3. Теорема об оценке интеграла. Если m f(x, y, z) M, то mV MV.
   Интегрируя неравенство m f(x, y, z) M, по свойству 4 получим требуемое неравенство.

4. Теорема о среднем. Пусть выполнены требования теоремы существования. Тогда
   Существует точка С в области V, такая, что f(C) = .

Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань и верхняя грань . Выполнено неравенство . Деля обе части на получим . Но число заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то в некоторой точке функция должна принимать это значение. Следовательно, .

Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

Если сначала перебирать элементы в столбце над областью D_xy, от нижней границы до верхней (внутренний интеграл), а затем перемещать область D_xy в D (внешний двойной интеграл), то получим повторный интеграл .

Если сначала перебирать элементы в слое [z, z+z] (внутренний интеграл), а затем .перемещать слой на [c, d], (внешний интеграл), то получим повторный интеграл .И в том, и в другом случае тройной интеграл сводится к определенному и двойному интегралам.

Характеристики

Список файлов лекций