Матем.анализ 3 семестр (Лекции Галкина), страница 10

Тогда Po сходится. Будем доказывать от противного. Пусть A сходится, тогда, вычитая из него сходящийся ряд Po, получим сходящийся ряд Qo. Тогда по доказанной выше теореме ряд Q сходится. Противоречие.

Второй вариант P расходится и Q сходится рассматривается аналогично.

Теорема. Пусть ряд A условно сходится, тогда ряды P, Q расходятся.

Доказательство. Если P, Q оба сходятся, то по доказанной выше теореме Am сходится, т.е. ряд A сходится абсолютно. Противоречие.

Если P сходится и Q расходится или P расходится и Q сходится, то A расходится.(по доказанной выше теореме). Противоречие.

Следовательно, оба ряда P, Q расходятся.

Итак, получена следующая схема.

.

Эта схема отражает суть теорем о структуре знакопеременных рядов.

Пример.

P: - сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Q: сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, исходный ряд A абсолютно сходится.

Пример.

P: - сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Q: расходящийся ряд (по второму признаку сравнения с гармоническим рядом). Следовательно, исходный ряд A расходится.

Теорема Римана.

Пусть S – произвольное число (конечное или бесконечное). Тогда можно так переставить местами члены условно сходящегося знакопеременного ряда, что его сумма будет равна S.

Доказательство. Так как ряд A условно сходится, то ряды P, Q расходятся (теоремы о структуре знакопеременного ряда). Пусть для определенности S>0. Переставляем в начало ряда столько положительных членов, чтобы их сумма стала больше S, Теперь переставляем столько отрицательных членов, чтобы частичная сумма ряда стала бы меньше S. Повторяем этот процесс. Процесс осуществим для любого S, так как ряды P, Q расходятся (т.е. повторением членов можно набрать любую их сумму). С другой стороны, частичная сумма сконструированного ряда сходится именно к S. В сконструированном ряде - тот член ряда, добавление которого меняет знак . так как знакопеременный ряд условно сходится.

Сам ход доказательства напоминает добавление положительных членов – гирь на одну чашку весов, пока весы не покажут вес, больший S. Последний член – гиря . Затем добавление на другую чашку весов столько отрицательных – членов (вернее гирь, весом, равным модулям этих членов), чтобы весы показали вес, меньший S. Процесс повторяется. Вес гирь, вызывающих переход указателя весов через S, убывает до нуля, так как для условно сходящегося ряда выполняется необходимый признак сходимости. Поэтому .

Знакочередующиеся ряды.

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если знаки членов ряда чередуются, т.е. ряд имеет вид . Предполагаем, что ряд начинается с положительного члена, .

К знакочередующимся рядам можно применить все теоремы, доказанные выше для знакопеременных рядов. Но есть специальный, очень удобный достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов – признак Лейбница (он не является необходимым признаком).

Признак Лейбница.

Пусть

1. ряд имеет вид (знакочередующийся, )

2. последовательность монотонно убывает

Тогда 1) ряд сходится

2)

Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм с четными номерами

(последовательность монотонно убывает по условию теоремы).

Т.е. последовательность ограничена сверху .

Т.е. последовательность монотонно возрастает.

По теореме Вейерштрасса существует .

Рассмотрим теперь последовательность частичных сумм с нечетными номерами

.

По условию , т.е. .

По доказанному выше . Следовательно, предел правой части равенства существует и равен . Поэтому предел левой части равенства тоже существует и равен

.

Раскроем определение предела как для четных n, так и для нечетных n. Следовательно, это справедливо для любых , поэтому .

Из доказанного выше неравенства . Переходя к пределу, получим .

Следствие. . Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенного члена ряда.

Доказательство. Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийся ряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена.

То есть . А первый член остатка ряда и есть первый отброшенный член.

Пример. Ряд

. Ряд сходится по признаку Лейбница. Ряд из модулей – расходящийся гармонический ряд. Следовательно, ряд сходится условно.

Функциональные ряды

Лекция 13. Равномерно сходящиеся ряды.

Функциональный ряд – это ряд , члены которого – функции , определенные в некоторой области V.

Определим частичную сумму ряда – тоже функцию .

Зафиксировав некоторую точку x, мы имеем дело с обычным числовым рядом.

Функциональный ряд называется сходящимся в точке x, если сходится к или

, что .

Это - обычная или поточечная сходимость ряда, так как номер N зависит не только от , как в числовых рядах, но и от точки x. То есть в каждой точке x ряд сходится со своей скоростью.

Критерий Коши поточечной сходимости ряда. Это – критерий Коши для последовательности частичных сумм ряда.

Для того чтобы функциональный ряд сходился в точке x, необходимо и достаточно, чтобы .

Все точки, в которых ряд сходится, составляют область сходимости ряда.

Примеры. 1) Ряд сходится только в точке , во всех остальных точках ряд расходится.

2) Ряд сходится во всех точках оси, .

3) Ряд сходится в области .

4) Ряд расходится во всех точках оси .

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в области V, если

, что .

Здесь номер N зависит только от , но не от точки x, поэтому номер N выбирается сразу для всей области V. Ряд сходится с одной и той же скоростью для всех точек области V. Такая сходимость напоминает сходимость числовых рядов. Действительно, равномерно сходящиеся ряды обладают очень полезными свойствами, которые мы обсудим ниже.

Критерий Коши равномерной сходимости ряда.

Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился в области V, необходимо и достаточно, чтобы .

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.

Пусть члены функционального ряда можно мажорировать (ограничить по модулю) в области V членами сходящегося числового знакоположительного ряда, .

Тогда функциональный ряд равномерно сходится в области V.

Доказательство. Так как числовой ряд сходится, то для него выполнен критерий Коши (ряд знакоположителен, ).

Тогда

.

Следовательно, выполнен критерий Коши равномерной сходимости ряда, и ряд сходится в области V равномерно.

Пример. Ряд сходится равномерно в R, так как - сходящийся числовой ряд.

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

Теорема о непрерывности суммы ряда.

Пусть члены функционального ряда - непрерывные функции в точке - внутренней точке области V. Пусть ряд сходится равномерно в области V. Тогда сумма функционального ряда – непрерывная функция в точке .

Доказательство. Так как ряд сходится равномерно в V, то

.

Так как - непрерывные функции в точке , то и непрерывна в как сумма конечного числа непрерывных функций.

Зафиксируем n>N. По непрерывности .

Оценим

.

Итак , то есть сумма функционального ряда – непрерывная функция в точке .

Теорема о почленном переходе к пределу.

Пусть ряд равномерно сходится к S(x) в V, тогда

Тогда ряд (ряд из c_n сходится к ).

(без доказательства).

Заметим, что суть теоремы содержится в формуле.

, что и оправдывает название теоремы.

Теорема о почленном интегрировании.

Пусть непрерывны в V, пусть ряд равномерно сходится в V. Тогда ряд , то есть функциональный ряд можно почленно интегрировать.

Заметим, что суть теоремы содержится в формуле

Доказательство. Так как ряд равномерно сходится в V, то его сумма S(x) непрерывна (теорема о непрерывности суммы ряда) и

Так как непрерывны, то . Составим ряд , покажем, что он сходится к Обозначим частичную сумму

Так как ряд равномерно сходится в V, то .

Оценим .

Теорема о почленном дифференцировании.

Пусть непрерывны в V. Пусть ряд сходится в V, а ряд

.равномерно сходится в V. Тогда ряд можно почленно дифференцировать, причем ( = .

Доказательство. Так как ряд сходится равномерно, то его сумма - непрерывная функция (теорема о непрерывности суммы ряда). Ее можно интегрировать, применяя теорему о почленном интегрировании.

Дифференцируя, получим , то есть .

Лекция 14. Степенные ряды.