Матем.анализ 3 семестр (Лекции Галкина), страница 6

Получили тот же результат.

Лекция 8

Скалярное и векторное поля.

Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано скалярное поле  (M), если в этой области задана скалярная функция  (M).

Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано векторное поле (M), если в этой области задана векторная функция (M).

Например, масса или температура частиц в комнате – скалярные поля, скорость или силы взаимодействия частиц – векторные поля.

В интегралах первого рода :двойных, криволинейных, поверхностных мы имели дело со скалярным полем – распределением масс точек кривой или поверхности в пространстве.

В интегралах второго рода вычислялись характеристики векторных полей: работа векторного поля (силового поля) в криволинейном интеграле, поток векторного поля в поверхностном интеграле.

Рассмотрим подробнее основные характеристики скалярных и векторных полей.

Скалярные поля.

Линии уровня плоского поля  (x, y) – кривые, на которых значения функции постоянны  (x, y) = С.

Например, линии равной высоты, нанесенные на географической карты (h (x, y) = 0 – уровень моря, h = 7000м – немногие горные вершины, h = - 10000м – самые глубокие океанские впадины).

Поверхности уровня пространственного поля  (x, y, z) – поверхности, на которых значения функции постоянны  (x, y, z) = С.

Например, поверхности равной температуры или давления в атмосфере. Любая линия на поверхности уровня – это линия уровня.

Пример. Задано поле . При С > 0 поверхности уровня – однополостные гиперболоиды, при С = 0 поверхность уровня – конус, при С < 0 поверхности уровня – двуполостные гиперболоиды.

Линии или поверхности различных уровней не пересекаются.

Чем чаще (гуще) поверхности или линии уровня, тем интенсивнее изменение поля.

Градиент поля – вектор .

Утверждение. Градиент скалярного поля ортогонален его поверхности уровня.

Доказательство. Пусть точка (x, y, z) остается на поверхности уровня g(x, y, z) = 0 при вариациях переменных. Тогда равенство превращается в тождество, а тождество можно дифференцировать.

.

Вектор (x, y, z) - это вектор, касательный в точке (x, y, z) к любой кривой, лежащей на поверхности уровня, проходящей через эту точку. Поэтому в точке (x, y, z) вектор градиента ортогонален всем касательным к линии уровня, проходящим через эту точку. Следовательно, он ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня и направлен по нормали к поверхности уровня.

Производная скалярного поля по направлению определяется как . Известно из теории функций многих переменных (выпуск V учебника), что производная по направлению есть проекция градиента на данное направление

.

Пример. Найти производную скалярного поля g(x, y, z) = x² + y² + z³ по направлению {1,3,2} в точке (1,0,4)

.

Векторное поле.

Векторная линия - линия, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной к ней.

Уравнения векторной линии легко получить из условия коллинеарности векторов поля и касательной

.

Пример. Написать уравнения векторных линий векторного поля

- линии уровня – окружности (С>0).

Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями.

Формула Остроградского – Гаусса.

Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные в пространственно односвязной замкнутой области V и на ее кусочно гладкой границе .

Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса

.

Заметим, что левая часть формулы представляет собой поток векторного поля через поверхность .

Доказательство. 1) Формула Остроградского – Гаусса, в силу произвольности P, Q, R состоит из трех частей, в каждую из которых входит одна из компонент векторного поля P, Q, R. В самом деле, можно взять P = 0, Q = 0 и доказывать отдельно часть формулы в которую входит только R. Остальные части формулы (при P = 0, R = 0, Q = 0, R = 0) доказываются аналогично. Будем доказывать часть формулы

2) Для доказательства выбранной части формулы представим пространственную область V в виде объединения конечного числа цилиндрических тел, не имеющих общих внутренних точек, с образующими, параллельными оси OZ. Доказательство можно проводить для цилиндрического тела. В самом деле, тройной интеграл в правой части равен сумме тройных интегралов по цилиндрическим телам (свойство аддитивности). Поверхностный интеграл в левой части также равен сумме поверхностных интегралов по полным поверхностям цилиндрических тел, причем при суммировании интегралы по общим границам соседних цилиндрических тел будут сокращаться из-за противоположного направления внешних нормалей на общих границах.

Итак, будем доказывать соотношение для цилиндрического тела V, проектирующегося в область D на плоскости OXY. Пусть «верхняя» граница цилиндрического тела – поверхность описывается уравнением , «нижняя» граница – поверхность описывается уравнением . Боковую поверхность цилиндрического тела, параллельную оси OZ, обозначим .

Сразу заметим, что поток векторного поля через боковую поверхность равен нулю. Действительно, , так как нормаль на боковой поверхности ортогональна оси OZ и .

Заметим также, что на «верхней» поверхности , а на «нижней поверхности . Поэтому при переходе от поверхностного интеграла по к двойному интегралу по области D и обратно надо менять знак, а при переходе от поверхностного интеграла по к двойному интегралу по области D и обратно менять знак не надо .

D	- = = + = Таким образом, соотношение доказано.

Замечание. Формулу Остроградского – Гаусса можно записать в «полевом» виде

- поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от дивергенции поля по области, ограниченной поверхностью .

Дивергенция векторного поля (расходимость) есть .

Дивергенция – это характеристика векторного поля, инвариантная относительно системы координат. Покажем это.

Инвариантное определение дивергенции.

Рассмотрим произвольную точку M в пространственной области V. Выберем ее окрестность V_M – шар радиуса r с центром в точке M. Обозначим - ее границу – сферу радиуса r. По теореме о среднем для тройного интеграла

(по формуле Остроградского – Гаусса).

Стягиваем окрестность к точке M, получаем дивергенцию векторного поля в точке M.

. Это и есть инвариантное определение дивергенции.

Поэтому дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотности потока векторного поля через окрестность этой точки и характеризует мощность источника (если >0) или стока (если <0) векторного поля в точке M.

Если >0, то точка M – источник векторного поля, если <0, то точка M – сток векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этой области нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой области равен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее».

Пример. Определить расположение источников и стоков векторного поля . Выяснить, является ли точка M(1,2,3) источником или стоком.

. Все точки, для которых 2xy+xz >0 – источники, все точки, для которых 2xy+xz <0 – стоки. На поверхности 2xy+xz = 0 нет ни источников, ни стоков. Точка M – источник, так как .

Свойства дивергенции.

1. Линейность.

.

1. , где - постоянное векторное поле.

1. , где - скалярное поле.

= = .

Соленоидальное поле и его свойства.

Векторное поле называется соленоидальным в области V, если в любой точке M этой области

Свойства соленоидального поля.

1. Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутую поверхность равнялся нулю.

Необходимость следует из формулы Остроградского – Гаусса, достаточность – из инвариантного определения дивергенции.

1. Поток соленоидального поля через любую поверхность, окружающую изолированный источник или сток, один и тот же.

Рассмотрим две замкнутых поверхности и , окружающие изолированный источник (сток). Будем считать векторное поле соленоидальным в пространственной области между поверхностями. Рассечем поверхности плоскостью P и выберем на ней «верхнюю» сторону плоскости и «нижнюю» сторону, введем на плоскости вектор нормали от «нижней» стороны к «верхней». Плоскость разделяет поверхности на «верхние» и «нижние» части. Обозначим на них направления внешних нормалей к поверхностям. Рассмотрим две пространственных области. Одна из них лежит выше плоскости и ограничена верхними частями поверхностей и верхней частью плоскости. Вторая ограничена нижними частями поверхностей и нижней частью плоскости. В той и другой области поле соленоидально. Следовательно,

поток векторного поля через границы этих областей равен нулю.

,

.

Складывая эти выражения, получим .

1. Поток соленоидального поля через произвольное сечение векторной трубки один и тот же.

Следствие. Векторные линии соленоидального поля не могут начинаться и заканчиваться внутри поля.

В самом деле, иначе конечный поток приходился бы на нулевую площадь источника или стока, что требовало бы бесконечной мощности источника или стока.

Лекция 9 Формула Стокса.

Ротор векторного поля.

Назовем ротором векторного поля вектор