Матем.анализ 3 семестр (Лекции Галкина), страница 9

Пример. Ряд расходится, так как , а ряд (гармонический) расходится.

Второй признак сравнения.

Пусть . Тогда ряды и сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится.

Доказательство. Раскроем определение предела. .

.

Если ряд сходится, то по 1 признаку сравнения ряд сходится ( , ряд сходится (свойство сходящихся рядов).

Если ряд сходится, то ряд сходится (свойство сходящихся рядов), тогда по 1 признаку сравнения ряд сходится.

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Пример. Ряд с расходится по второму признаку сравнения (ряд сравнения – гармонический ряд).

Ряд сходится. - ограничена. Ряд сравнения - сходящийся ряд Дирихле.

Признак Даламбера.

Конечная форма признака Даламбера.

Пусть , тогда ряд сходится.

Пусть , тогда ряд расходится.

Доказательство. Пусть .

Тогда .

, и ряд сходится. Можно было, не оценивая частичную сумму ряда, заключить, что ряд сходится по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пусть , Тогда . Поэтому не стремится к нулю при , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд расходится.

Предельная форма признака Даламбера.

Пусть , тогда ряд сходится. Пусть , тогда ряд расходится. Если , то признак не позволяет сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.

Доказательство. Пусть . Тогда .

При малом . По конечной форме признака Даламбера ряд сходится.

Пусть . Тогда . При малом , то есть . Поэтому не стремится к нулю при , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд расходится.

Замечание. Признак Даламбера удобно применять, когда общий член ряда содержит произведение некоторых чисел или факториал.

Правда, если общий член ряда содержит факториал, то его можно заменить по формуле Стирлинга и применять второй признак сравнения.

Пример. .

. Ряд сходится по признаку Даламбера.

Пример. . Рассмотрим , так как последовательность , монотонно возрастая, стремится к при , то

. Следовательно, . Поэтому не стремится к нулю при , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд расходится.

Заметим, что . Поэтому признак Даламбера в предельной форме не дает ответ о сходимости или расходимости ряда, хотя признак в конечной форме позволяет установить расходимость ряда.

Радикальный признак Коши.

Конечная форма радикального признака Коши.

Пусть , тогда ряд сходится.

Пусть , тогда ряд расходится.

Доказательство. Пусть . Тогда , ряд сходится по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пусть . Тогда , ряд расходится, так как необходимый признак сходимости ряда не выполнен.

Предельная форма радикального признака Коши.

Пусть , тогда ряд сходится.

Пусть , тогда ряд расходится.

Доказательство. Пусть , тогда .

при малом . Ряд сходится по конечной форме радикального признака Коши.

Пусть , тогда . при малом . Тогда , ряд расходится, так как необходимый признак сходимости ряда не выполнен.

Пример.

, ряд сходится по радикальному признаку Коши в предельной форме.

Замечание. У каждого признака сходимости есть своя «зона нечувствительности». Ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши не позволяют установить расходимость гармонического ряда. Проверьте это. Гармонический ряд расходится, но расходится так слабо, что попадает в «зону нечувствительности» указанных признаков. Интегральный признак Коши имеет меньшую «зону нечувствительности» и позволяет установить расходимость гармонического ряда.

Теорема Дирихле о возможности перестановки местами членов ряда в сходящихся знакоположительных рядах.

Пусть - сходящийся знакоположительный ряд. Тогда его члены можно переставлять, менять местами, полученный ряд будет сходиться и иметь ту же сумму.

Доказательство. Проведем доказательство по индукции.

Пусть меняются местами два члена ряда . Тогда в исходном и полученном перестановкой членов ряде частичные суммы, начиная с будут совпадать. Следовательно, ряд, полученный перестановкой двух членов ряда, , будет сходиться и иметь ту же сумму.

Пусть при перестановке местами членов ряда ряд сходится и имеет ту же сумму.

Пусть переставляются членов ряда. Эта перестановка сводится к перестановке членов ряда, а затем к перестановке еще какого-либо члена с каким-либо другим (перестановке двух членов ряда).

По индуктивному предположению при перестановке местами членов ряда ряд сходится и имеет ту же сумму. Ряд, полученный перестановкой двух членов ряда, будет сходиться и иметь ту же сумму. Следовательно, и при перестановке членов ряда ряд будет сходиться и иметь ту же сумму.

Лекция 12. Знакопеременные ряды.

Ряд называется знакопеременным, если среди членов ряда содержится бесконечное количество отрицательных членов и бесконечное количество положительных членов.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд из модулей членов ряда сходится.

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Доказательство. Так как ряд сходится, то ряд тоже сходится. Ряд - знакоположительный, так как и сходится по первому признаку сравнения рядов по сравнению со знакоположительным рядом , так как . Вычитая из сходящегося ряда сходящийся ряд , получаем сходящийся ряд (свойство сходящихся рядов) .

Теорема о перестановке членов в абсолютно сходящихся рядах.

Пусть ряд абсолютно сходится, тогда его члены можно переставлять, получая абсолютно сходящийся ряд с той же суммой.

Доказательство. Обозначим s - сумму ряда , S – сумму ряда .

Рассмотрим ряд . Он знакоположительный, так как . Он сходится по первому признаку сравнения рядов по сравнению со знакоположительным рядом , так как . Его сумма равна s + S.

Пусть ряд получен перестановкой членов из .

Тогда знакоположительный ряд получен перестановкой членов из . По теореме Дирихле он сходится и имеет ту же сумму S.

Знакоположительный ряд получен перестановкой членов из ряда . Следовательно, по теореме Дирихле, он сходится и имеет ту же сумму S + s.

Вычитая из сходящегося ряда сходящийся ряд , мы получим ряд . По свойствам сходящихся рядов он сходится и имеет сумму, равную (S + s) – S = s.

Следовательно, ряд , полученный при перестановке членов ряда , сходится и имеет ту же сумму, что и ряд .

Ряд называется условно сходящимся, если ряд из модулей членов ряда расходится, а сам ряд сходится.

Теоремы о структуре знакопеременных рядов.

Обозначим - положительные члены, - отрицательные члены знакопеременного ряда. A – ряд , Am – ряд , P – ряд , Po – ряд A, в котором все отрицательные члены заменены нулями на тех же местах. Q – ряд , Qo – ряд A, в котором все положительные члены заменены нулями на тех же местах.

Пример

A

Am

Po

P

Qo

Q

Теорема Ряды P, Po, ряды Q, Qo сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Так как ряд знакопеременный, то два последовательных положительных члена отделяет друг от друга конечное число отрицательных членов. То же верно и для последовательных отрицательных членов. Пусть первая серия нулей в Po: Тогда , т.е. k элементов в последовательности частичных сумм повторяются. Исключим их из последовательности и перенумеруем члены (это соответствует исключению серии нулей). Исключение последовательных одинаковых элементов не влияет на сходимость и предел последовательности. Далее доказательство можно провести по индукции, так как операция исключения нулей аналогична. Поэтому ряды Po и P сходятся или расходятся одновременно. Аналогичное верно и для Qo и Q.

Теорема. Если P сходится, Q – сходится, то Am сходится, т.е. ряд A сходится абсолютно.

Доказательство. Так как P сходится, то Po сходится, так как Q – сходится, то Qo – сходится. Складывая сходящиеся ряды Po и (-Qo) почленно (учитывая, что ), получим сходящийся ряд. Это – ряд Am.

Теорема. Если P сходится и Q расходится или P расходится и Q сходится, то A расходится.

Доказательство. Рассмотрим один из вариантов. Пусть P сходится и Q расходится.