Лекции, страница 7

С другой стороны, для потенциального потока по его определению , т.е. в потенциальном поле циркуляция по замкнутому контуру равна нулю.

Запишем выражения для проекций угловых скоростей.

Из сказанного выше следует, что для безвихревого (потенци­ального) движения . Следовательно, в этом случае

; ; (6.1)

Эти соотношения позволяют существенным образом упростить вычисления компонент скорости , и .

Рассмотрим выражение

(а)

Оно построено аналогично известному из механики твердого тела выражению для элементарной работы. Зададимся вопросом, в каком случае (а) является полным дифференциалом. Напомним, что если выражение для работы является полным дифференциалом, то силы называются консервативными или имеющими потенциал. Ответ на поставленный вопрос был дан Алесисом Клодом Клеро (с жизнью и деятельностью этого удивительного ученого можно познакомиться по превосходной книге: Идельсон Н.И. Этюды по истории небесной механики. - М.: Наука, 1975. - 494 с.)

Клеро показал, что выражение типа (а) является полным дифференциалом, если обеспечивается равенство накрест взятых производных. Соотношения (6.1) как раз и удовлетворяют этому требованию, т.е. взятые накрест производные в (а) дают соотношения (6.1). Таким образом, при потенциальном движении выражение (а) является полным дифференциалом какой-то функции j, и

(6.2)

С другой стороны, по общему правилу полный дифференциал может быть представлен как

(6.3)

Сопоставляя (6.2) и (6.3), получаем

; ; (6.4)

По предложению Гельмгольца функцию j называют потенциалом скорости.

Таким образом, всякому движению жидкости, происходящему без вращения частиц, соответствует свой потенциал скорости. Справедливо и обратное утверждение: если существует потенциал скорости, то движение происходит без вращения частиц.

Соотношения (6.4) можно получить и другим путем. Поскольку разные подходы к одному и тому же вопросу способствуют углубленному его пониманию, то получим эти же соотношения, используя другую методику.

Как уже отмечалось, условием потенциальности является . С другой стороны, как показано при рассмотрении операций второго порядка, операция ротора над градиентом какой-то ска­лярной функции тождественно равна нулю, т.е.

Сопоставляя эти соотношения, можем записать

(6.5)

Это означает, что вектор скорости можно рассматривать как градиент какой-то скалярной функции j. Раскроем значения и . Имеем

;

.

Откуда, учитывая (6.5), получаем

; ; ,

т.е. вновь приходим к соотношениям (6.4).

Пока что остается открытым вопрос о необходимости и целесообразности введения понятия о потенциале скорости. Чтобы разобраться в этом, следует иметь в виду, что к числу центральных задач гидромеханики относится определение сил, действующих на тела, обтекаемые потоками жидкости либо газа. Решение этих задач непосредственно связано с необходимостью расчета поля скоростей, т.е. определением проекций скоростей ( , , ) в каждой его точке. Из выражений (6.4) непосредственно следует, что все три компоненты скорости могут быть определены, если известна лишь одна величина - потенциал скорости. Таким образом, знание потенциала скорости существенно упрощает расчет поля. Однако немедленно возникает следующая проблема - как же найти потенциал скорости течения. Чтобы решить ее, необходимо прежде всего уяснить некоторые свойства, присущие потенциалу.

6.2. Уравнение Лапласа.

Операция дивергенции над градиентом скалярной функции приводит к оператору Лапласа. Если в качестве скалярной функции использовать потенциал скорости, то можно записать

(6.6)

Для несжимаемой жидкости , а (см. формулу 6.5). Таким образом

(6.7)

либо

(6.8)

Выражения (6.7) и (6.8) носят название уравнения Лапласа. Таким образом, для нахождения потенциала скорости необходимо проинтегрировать уравнение Лапласа. Любая функция, удовлетворяющая этому уравнению, носит название гармонической. Следовательно, потенциал скорости является гармонической функцией. Как любое дифференциальное уравнение, уравнение Лапласа имеет бесчисленное множество решений, поэтому для того, чтобы однозначно определить потенциал скорости, необходимо задать граничные условия. Для задач, связанных с обтеканием тел, так называемых внешних задач гидромеханики, такими условиями являются и .

Первое условие характеризует безотрывность течения (ра­венство нулю нормальной компоненты скорости). Второе - показывает, что вдали от тела распределение скоростей известно.

Поверхности (либо линии для двумерных потоков), в каждой точке которых , называются эквипотенциальными.

6.3. Циркуляция скорости в потенциальном поле.

Рассмотрим плоский (двумерный) поток. Выделим в нем произвольную кривую (рис. 6.1) и запишем выражение для циркуляции вдоль этой кривой

(6.9)

т.е. циркуляция вдоль кривой не зависит от ее формы, а определяется лишь разностью потенциалов в ее конечных точках. Если кривая замкнута, то очевидно, что и , т.е. циркуляция по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю.

6.4. Функция тока плоского течения.

Рис. 6.1

В практических задачах гидромеханики двумерных потоков широчайшее применение находит понятие о функции тока. Рассмотрим двумерный поток и ограничимся несжимаемой жидкостью.

Как было показано, дифференциальное уравнение линии тока имеет вид

либо

(6.10)

Запишем уравнение неразрывности для этого случая, которое будет иметь вид

(6.11)

Аналогично тому, как это делалось при рассмотрении потенциала скорости, поставим вопрос об условиях необходимых и достаточных для того, чтобы выражение (6.10) являлось полным дифференциалом какой-то скалярной функции. Применим к (6.10) условия Клеро (равенство взятых накрест производных). Имеем:

и .

Но это есть не что иное, как уравнение неразрывности (6.11) для плоского потока, которое удовлетворяется всегда, если только движение существует. Следовательно, можно записать:

(6.12)

где носит название функции тока. С другой стороны, поскольку, как показано выше, является полным дифференциалом, то можно записать:

(6.13)

Сопоставляя (6.12) и (6.13), получаем

; (6.14)

Из чего следует, что если функция тока течения известна, то можно определить компоненты скорости в любой точке пространства. Сопоставляя (6.10) и (6.12) приходим к выводу, что если частица движется вдоль линии тока, то функция тока остается постоянной (при , и (6.12) превращается в (6.10)). Проверим теперь, является ли функция тока гармонической функцией, т.е. удовлетворяет ли она уравнению Лапласа.

Для плоского потенциального течения , но , откуда . Из (6.14) и , следовательно

,

откуда

.

Таким образом, функция тока, как и потенциал скорости, является гармонической функцией. И еще одно важное обстоятельство. Если потенциал скорости существует только в потенциальном потоке, то функция тока этим условием не ограничена. Это объясняется тем, что уравнение неразрывности, которое используется для получения этого понятия, справедливо как для вихревого, так и для безвихревого движений.

6.5. Гидромеханический смысл функции тока.

Рис. 6.2

Установим гидромеханический смысл функции тока, для чего проведем две достаточно близко расположенные линии тока (рис. 6.2). Вычислим объемный расход жидкости, протекающий между ними, для чего разложим вектор скорости частицы на две составляющие и , что позволит представить расход как сумму , при этом и (рис. 6.2).

(6.15)

т.е. разность значений функций тока на двух смежных линиях тока равна объемному расходу между ними.

6.6. Связь потенциала скорости и функции тока.

Связь между этими параметрами может быть легко установ­лена, если записать полученные выше выражения для проекций скоростей

; ;

; ,

откуда

; (6.16)

Эти соотношения играют чрезвычайно важную роль в механике жидкости и носят название соотношений Коши-Римана. Более подробно они будут рассмотрены ниже. Пока же ограничимся тем, что перемножим их. Это дает

(6.17)

Рис. 6.3

Из математики известно, что выражения типа (6.17) свидетельст­вуют о взаимной ортогональности кривых. Следовательно, линии тока и эквипотенциальные линии образуют сетку взаимно ортогональных кривых, которая носит название гидродинамической сетки движения. Примерный ее вид показан на рис. 6.3.

6.7. Методы расчета потенциальных потоков.

Как уже отмечалось, для нахождения потенциала скорости необходимо проинтегрировать уравнение Лапласа при заданных граничных условиях. Задача эта достаточно сложна. Поэтому в теории потенциальных течений особый интерес представляют случаи, которые дают точные значения функций тока и потенциала скорости без интегрирования уравнения Лапласа. Общая идея такого подхода сводится к следующему: задаются какой-то функцией, которая заведомо удовлетворяет уравнению Лапласа и выясняют, что представляет собой гидродинамическая сетка движения. Эту методику рассмотрим на ряде простейших примеров.