Лекции, страница 5

Легко убедиться в том, что , где dA - площадь поперечного сечения струйки. Действительно, выражая параметры, входящие в это соотношение через единицы физических величин, получаем

.

Из сказанного выше следует, что

(4.10)

Это и есть уравнение неразрывности для струйки. Если жидкость несжимаема, т.е. , то и

(4.11)

При этом произведение udA выражает элементарный объемный расход - dQ.

4.7. Ускорение жидкой частицы.

Запишем выражение для проекции ускорения жидкой частицы на какую-либо координатную ось, например, x. Имеем

Для нахождения этой величины следует учесть, что проекция скорости (как и две другие проекции) является функцией координат x, y, z, которые, в свою очередь, в общем случае зависят от времени t. Представим величину в виде полного дифференциала

Разделим обе части на dt. Имея в виду, что , и , получим

(4.12)

Аналогичные соотношения можно записать и для двух других компонент.

Выражение (4.12) носит название полной либо субстанциональной производной. Установим смысл величин, входящих в нее. Производная - проекция локального ускорения, которое характеризует изменение скорости во времени в данной точке пространс­тва. Локальное ускорение обусловлено нестационарностью процесса. Из чего следует, что если движение стационарное (установившееся), то локальное ускорение отсутствует, т.е. . Три остальных члена (4.12) - проекции конвективного ускорения, которое возникает при переходе частицы от одной точки пространства к другой, оно обусловлено неравномерностью скоростного поля, т.е. неравномерным распределением скоростей.

4.8. Анализ движения жидкой частицы.

Движение жидкой частицы является более сложным, чем движение твердого тела, которое, как известно из механики, может быть поступательным и вращательным. Особенностью жидкости и ее частиц, как уже неоднократно отмечалось, является легкая деформируемость. Поэтому помимо поступательного и вращательного, жидкая частица может участвовать и в деформационном движении. Это положение и составляет суть так называемой первой теоремы Гельмгольца, к рассмотрению которой мы и приступаем. Оценивая значение работы Г.Гельмгольца, основоположник отечественной аэродинамики Н.Е.Жуковский писал, что «современная гидродинамика своим развитием обязана главным образом Гельмгольцу». Важнейшим достоинством приводимых ниже выкладок и рассуждений является то, что они раскрывают физический смысл и вносят ясность в ряд казалось бы совершенно абстрактных понятий. Выкладки эти достаточно просты, но требуют внимания. Поэтому нужно запастись определенной долей терпения и помнить, что достигаемое понимание сути явлений безусловно оправдает эти затраты труда.

Рис. 4.5

Рассмотрим жидкую частицу в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.5). Длина его ребер dx, dy, dz. Деформация такой жидкой частицы может быть как линейной (ребра удлиняются и укорачиваются), так и угловой (грани скашиваются). Удобней рассмотреть каждый из этих видов раздельно. Начнем с угловых деформаций.

4.8.1. Угловые деформации.

Из рис. 4.5 следует, что угловая деформация (скашивание) может возникнуть из-за разности скоростей, перпендикулярных ребрам (частично этот вопрос уже обсуждался в разделе 2.2). Для упрощения целесообразно ограничиться лишь одной гранью, показанной на рис. 4.6.

Пусть компоненты скорости в точке A равны , , . Найдем скорости в точке B, считая, что движение установившееся и, следовательно, все производные по t равны нулю. Приращение компоненты скорости при переходе из одной точки пространства в другую можно представить как u+du. Так для проекции можем записать , где

(4.13)

Аналогичные выражения можно записать и для других проекций.

Рис. 4.6

Рассмотрим приращение при переходе от точки A к точке B. В этом случае , т.е.

Предположим, что за время dt за счет разности скоростей в точках A и B ребро займет положение AB'.

Аналогично рассуждая относительно скорости в точках A и D получим:

Точка A: (по условию)

Точка D:

За счет разности этих скоростей точка D займет позицию D'. Таким образом

Путь, проходимый точкой B за время dt в положение B', определяет величину скашивания, которую можно найти как

Угловая деформация характеризуется тангенсом угла . При этом

(имея в виду, что ).

Вследствие малости угла можно считать, что .

Аналогично,

Полное скашивание первоначально прямого угла A определяется как сумма

(4.14)

Здесь следует обратить внимание на одно весьма существенное обстоятельство: рассматриваемое перемещение ребер вызвано не только деформацией, но и вращением частицы. Действительно, если бы грань только деформировалась без вращения, то ребра повернулись бы на одинаковый угол навстречу друг другу. Наоборот, если бы происходило только вращение, то ребра поворачивались бы на одинаковый угол в направлении вращения. Следовательно, в общем случае движение элемента можно рассматривать как сумму деформационного и вращательного движений, и таким образом определить и . Рассмотрим деформацию прямого угла A, считая, что вращение происходит против часовой стрелки. Чисто деформационное движение будем характеризовать углами , а чисто вращательное - .

Из рис. 4.7 следует, что

либо ,

откуда

(4.15)

Вычитая, получим

Рис. 4.7

(4.16)

Таким образом, деформация характеризуется полусуммой углов, а вращение - полуразностью. Имея в виду (4.14), можем записать:

(4.17)

Скорость угловой деформации, происходящей вокруг оси z

(4.18)

И по аналогии

(4.19)

(4.20)

Выражение есть угловая скорость вращения жидкой частицы. Проекции угловых скоростей

(4.21)

(4.22)

(4.23)

Соотношения (4.21­4.23) играют исключительно важную роль в механике жидкости. Они устанавливают связь между угловой и поступательной скоростями жидкой частицы. Вопрос о знаках чисто условный. В гидромеханике поворот против часовой стрелки считается положительным, по часовой - отрицательным.

В векторной форме выражение для угловой скорости может быть записано как

(4.24)

Заменяя , и их выражениями по (4.21-4.23) получаем:

(4.25)

Сопоставляя выражение в квадратных скобках с формулой (1.8) видим их полную идентичность, поэтому можем записать:

(4.26)

либо

(4.27)

Формула (4.27) раскрывает гидромеханический смысл вихря (рото­ра) векторного поля. Если характеризует поле мгновенных скоростей, то векторное поле представляет собой поле удвоенных угловых скоростей частиц жидкости этого поля.

4.8.2. Линейные деформации.

Очевидно, что линейные деформации частицы (рис. 4.8) могут возникнуть в результате различия в скоростях, совпадающих с направлением ребер. Как и ранее, компоненты скорости в точке A - , , .

Вдоль оси x:

Точка A:

Рис. 4.8

Точка D:

Разность скоростей, вызываю­щая удлинение ребра AD: . Удлинение частицы за время dt

(4.28)

Относительное удлинение

(4.29)

Скорость относительного удлинения

(4.30)

Аналогично для других осей

;

Если процесс происходит одновременно вдоль всех осей, то это приводит к объемному расширению либо сжатию частицы. Таким образом, объемная деформация сводится к изменению первоначального объема параллелепипеда на величину за счет растяжения либо сжатия ребер. При этом , и с учетом (4.28) . Аналогично и . Таким образом

Скоростью относительной объемной деформации назовем отношение изменения объема к его первоначальному объему и скорости деформации, т.е.

Если , то это означает, что , т.е. деформация жидкой частицы происходит без изменения ее объема. В этом и заключается гидромеханический смысл равенства нулю дивергенции.

Полученную выше связь между поступательной и вращательной скоростями жидкой частицы можно получить и более коротким путем, представляющим определенный интерес. Разные подходы к одному и тому же вопросу способствуют углубленному пониманию. Поэтому рассмотрим этот путь.

Пусть жидкая частица вращается вокруг оси z с угловой скоростью . Запишем выражение для ротора в проекциях на оси координат (см. формулу 1.8). Имеем: