Лекции, страница 3

; (3.1)

В векторной форме эта система может быть записана в форме

(3.2)

Уравнения (3.1) носят название системы дифференциальных уравнений Эйлера для гидростатики. Эта система уравнений показывает, что существует непосредственная связь между величиной гидростатического давления в точке и ее координатами. Эта связь может быть раскрыта, если проинтегрировать (3.1).

На жидкое тело могут действовать силы, имеющие различную физическую природу. Поэтому правомерна такая постановка вопроса: всегда ли под действием приложенных сил жидкость может находиться в состоянии равновесия? Для ответа на этот вопрос необходимо выполнить некоторые преобразования системы дифференциальных уравнений (3.1).

3.2. Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме.

Умножим каждое из уравнений, входящих в (3.1) на dx, dy и dz соответственно и просуммируем их, что даст

(3.3)

Выражение, стоящее в скобках во втором члене уравнения, есть не что иное, как полный дифференциал давления - dp, поэтому можем записать

(3.4)

Это уравнение называют основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме. В левой части его - полный дифференциал, поэтому и правая часть также должна быть полным дифференциалом. Следовательно, силы и плотность должны быть такими функциями x, y и z, чтобы они обращали правую часть (3.4) в полный дифференциал. Если этого не происходит, то равновесие жидкости невозможно. Другими словами, если жидкость находится в состоянии равновесия, то правая часть (3.4) является полным дифференциалом какой-то функции F.

Считая плотность постоянной ( ), можем записать

(3.5)

Из теоретической механики известно, что скалярное произведение силы на элементарное перемещение частицы называют элементарной работой, т.е.

(3.6)

Силы, работа которых не зависит от пути движения, а только от начального и конечного положений, называют потенциальными. При этом для того, чтобы работа силы не зависела от пути движения, необходимо и достаточно, чтобы выражение для элементарной работы, т.е. (3.6), было полным дифференциалом некоторой скалярной функции P, называемой силовой. Взятая с противоположным знаком, она называется потенциалом. Таким образом, рассмотренную выше функцию можно назвать силовой функцией, а (3.4) представить как

(3.7)

Из чего следует, что несжимаемая жидкость может находиться в равновесии только под действием сил, имеющих потенциал.

3.3. Эквипотенциальные поверхности и поверхности равного давления.

Поверхности, в каждой точке которых , называют эквипотенциальными. Частным случаем эквипотенциальной поверхности является поверхность равного давления, т.е. поверхность, в каждой точке которой . В этом случае и (3.4) принимает вид

Но плотность , и, следовательно,

(3.8)

Уравнение (3.8) называют уравнением поверхности равного давления. Если из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести, то ; (знак минус, т.к. сила тяжести ориентирована в сторону, противоположную оси z); и , т.е. в покоящейся жидкости любая горизонтальная плоскость есть поверхность равного давления.

3.4. Равновесие однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести. Закон Паскаля. Гидростатичес­кий закон распределения давления.

Проинтегрируем основное уравнение гидростатики (3.4) в предположении, что (жидкость несжимаема) и считая, что из массовых сил действует только сила тяжести. Как показано выше, в этом случае , , т.е. , и после интегрирования

(3.9)

где C - произвольная постоянная. Для ее нахождения используем следующее граничное условие (см. рис. 3.1): при . Из (3.9) следует, что

И после подстановки

(3.10)

Рис. 3.1

Как видно из рис. 3.1, разность ( ) - глубина погружения рассматриваемой частицы, которую будем обозначать буквой h, т.е.

(3.11)

Полученное уравнение выражает известный из курса физики закон Паскаля: давление, приложенное к свободной поверхности, передается во все точки без изменения.

Поскольку любое правильное физическое уравнение должно быть размерностно однородным, то ясно, что член должен выражаться в единицах давления, т.е. в паскалях (Па - Н/м²). Эту величину называют избыточным давлением. Она может быть как положительной, так и отрицательной. Такая трактовка приводит нас к понятию абсолютного давления, которое в соответствии с (3.11) может быть представлено как сумма барометрического (атмосферного) давления и избыточного, т.е.

(3.12)

Отрицательное избыточное давление называют вакуумом.

Вернемся вновь к уравнению (3.10). После деления обеих его частей на получаем

(3.13)

В таком виде все его члены выражаются в единицах длины и носят название напоров. Величина z характеризует положение жидкой частицы над произвольно выбираемой горизонтальной плоскостью отсчета, т.е. z - это геометрический напор; - пьезометрический напор. Сумму этих величин называют гидростатическим напором. Чтобы уяснить физический смысл этих величин, рассмотрим простую схему, показанную на рис. 3.2.

Представим герметично закрытый сосуд, заполненный жидкостью, находящейся под давлением. Выберем в этом сосуде две произвольно рас­положенные точки A и B и, опять-таки произвольно, горизонтальную плоскость O-O, которую назовем плоскостью отсчета.

Рис. 3.2

Координаты частиц, расположенных в точках A и B будут и . В соответствии со сказанным выше, величины и выражают геометрический напор. Введем теперь через крышку сосуда в точки A и B сообщенные с атмосферой стеклянные трубки. Эти трубки называют пьезометрами. Поскольку по условию жидкость находится под давлением, то она начнет подниматься по пьезометрам. Не представляет труда и ответ на вопрос о том, когда прекратится подъем. Очевидно, что это произойдет в тот момент, когда высота столба жидкости уравновесит давление в рассматриваемой точке. Это и есть пьезометрическая высота, либо пьезометрический напор.

Соотношение (3.13) справедливо для любых произвольно выбранных частиц покоящейся жидкости, поэтому в общем виде его можно записать как , т.е. для любых точек жидкости гидростатический напор одинаков. Следовательно, уровни в пьезометрах установятся на одной и той же высоте (плоскость C-C на рис. 3.2). Уравнение (3.13) выражает так называемый гидростатический закон распределения давления.

3.5. Определение силы давления жидкости на поверхности тел.

Задача сводится к нахождению силы давления жидкости на поверхности стенок, ограничивающих ее.

Рассмотрим криволинейную поверхность AB произвольной формы, площадь которой S (рис. 3.3). Выделим на ней элементарную площадку dS, пусть - орт внешней нормали. Сила, дейст­вующая на эту площадку

где p - гидростатическое давление в центре площадки. Обычно в технических приложениях интерес представляет лишь сила, возникающая от избыточного давления. Имея в виду, что , получаем

(3.14)

На всю площадь действует сила

Рис. 3.3

(3.15)

Запишем это выражение в проекциях на оси координат, что дает

(3.16)

(3.17)

Для удобства изобразим отдельно элементарную площадку (см. рис. 3.4). Из рисунка следует, что

где - вертикальная, и - горизонтальная проекции dS. Таким образом

(3.18)

(3.19)

Рис. 3.4

Рассмотрим горизонтальную составляющую.

Из механики известно, что интеграл (3.18) есть статический момент площади, равный произведению , где - координата центра тяжести вертикальной проекции.

Следовательно,

(3.20)

т.е. горизонтальная составляющая равна произведению вертикальной проекции стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой проекции.

Определим теперь вертикальную составляющую силы, для чего воспользуемся следствием из формулы Гаусса-Остроградского (см. ф-лу 1.16)

Из уравнения равновесия (3.2) имеем , т.е.

Вертикальная проекция единичной массовой силы (знак плюс, т.к. в данном случае ось z ориентирована вниз).

Следовательно,

(3.21)

V носит название объема тела давления. Таким образом, вертикальная составляющая равна весу жидкости, заключенному в объеме тела давления. Для нахождения этого объема следует использовать формальное правило: тело давления - это объем, образованный криволинейной стенкой, ее проекцией на свободную поверхность (либо на продолжение свободной поверхности) и вертикальными проектирующими плоскостями. На рис. 3.5 показаны примеры определения тел давлений для двух случаев.