Выражения в скобках есть не что иное, как удвоенные компоненты вихря и , т.е. можем записать

Подставляя полученные значения в (7.3) имеем

(7.4)

и по аналогии

(7.5)

(7.6)

В векторной форме выражение для ускорения будет иметь вид:

(7.7)

Если движение установившееся, то

(7.8)

7.3 Уравнение движения в форме Громеки-Лэмба.

Если в (7.2) в правую часть подставить ускорение в виде (7.7) либо (7.8), то это приводит к уравнению движения в форме Громеки-Лэмба. Для установившегося движения имеем

(7.9)

Выполним некоторые преобразования (7.9).

В разделе гидростатики было введено понятие о скалярной функции F, называемой силовой. Было показано, что

(7.10)

Поскольку эта функция является полным дифференциалом, то можно записать

(7.11)

Сопоставляя (7.10) и (7.11), получаем

(7.12)

С другой стороны вектор , проекциями которого являются X, Y, и Z

(7.13)

Из (7.12) и (7.13) следует, что

(7.14)

С учетом (7.14) выражение (7.9) принимает вид

(7.15)

Следует иметь в виду, что эта форма записи справедлива лишь для несжимаемой жидкости, т.е. при условии . И, наконец, уравнению движения (7.15) можно придать более удобную для анализа форму, умножив скалярно его левую и правую части на произвольный направленный отрезок

(7.16)

Опуская эту операцию, которую обучающийся при желании может выполнить самостоятельно, приведем лишь конечный результат

(7.17)

7.4 Интегрирование уравнения движения для установившегося течения

Интегрирование уравнения движения (7.17) возможно лишь в случае, когда его правая часть равна нулю. Из теории определителей известно, что признаками равенства нулю являются: равенство нулю какой-либо строки или пропорциональность элементов одной строки элементам другой.

Исходя из физического смысла имеем четыре возможных случая:

(7.18)

(7.19)

(7.20)

(7.21)

Для любого из них можем записать

И после интегрирования

(7.22)

Если из массовых сил действует только сила тяжести, то, как показано в разделе гидростатики,

и (7.22) принимает вид

(7.23)

Еще раз обратим внимание на то, что вид уравнения (7.23) одинаков вне зависимости от того, какой из четырех случаев равенства нулю определителя рассматривается. Однако смысл интеграла и область его применения различны. Именно поэтому следует разобраться в этом вопросе подробней.

Первый случай, как известно, является признаком потенциальности движения. Интеграл (7.23) в этом случае называют интегралом Коши-Лагранжа. Он справедлив для любых точек жидкости, движущейся без вращения частиц, т.е. потенциально.

Второй случай является признаком коллинеарности вектора вихря и вектора скорости. Это весьма редкий случай так называе­мого винтового движения.

Третий случай характеризует движение жидкой частицы вдоль вихревой линии, а четвертый - движение вдоль линии тока. Интеграл (7.23) при этом носит название интеграла Бернулли. Он справедлив как для потенциального, так и для вихревого движений. Именно этот случай и будет интересовать нас в дальнейшем.

7.5 Упрощенный вывод уравнения Бернулли.

В ряде пособий и учебников рассматривается упрощенный вывод уравнения Бернулли. Поэтому с целью расширения и углубления представления об этом основополагающем уравнении механики жидкости представляется целесообразным рассмотреть и этот подход. В основу его положено принимаемое без каких-либо доказательств положение о том, что рассматривается жидкая частица, движущаяся вдоль линии тока. После чего производится преобразование системы дифференциальных уравнений Эйлера (7.1) путем умножения каждой из его проекций соответственно на dx, dy и dz и почленного их сложения аналогично тому, как это делалось в гидростатике. Это преобразование уже рассматривалось в случае, когда из массовых сил действуют лишь силы тяжести (см. раздел «Гидро­статика»). Оно приводит к соотношению: . Поэтому рассмотрим лишь правую часть. Имеем

Считая, что ; ; , можем записать:

Таким образом

либо

(7.24)

Это выражение называют уравнением Бернулли в дифференциальной форме. При условии (для несжимаемой жидкости) интегрирование его дает

(7.25)

т.е. соотношение (7.23).

Очевидно, для обеспечения математической строгости следовало бы доказать, что вдоль линии тока проекции вектора скорости могут быть представлены не как частные, а как полные производные от соответствующих координат частицы. Но при этом вывод уравнения Бернулли утратил бы свою простоту.

7.6 Энергетический смысл уравнения Бернулли

Прежде чем приступить к анализу физического содержания полученного соотношения, следует вспомнить одно важное обстоятельство. При введении понятия о струйке было показано (см. раздел «Кинематика»), что одним из ее свойств является равномерное распределение скоростей в пределах любого ее поперечного сечения. Это означает, что соотношение (7.25) остается справедливым для любой линии тока, проходящей внутри струйки. Поэтому уравнение (7.25) можно назвать уравнением Бернулли для струйки идеальной жидкости. Для двух произвольных поперечных сечений струйки можно записать

(7.26)

Выясним физический смысл величин, входящих в уравнение Бернулли. Любое правильное физическое соотношение размерностно однородно, т.е. все его члены имеют одинаковую размерность, поэтому достаточно рассмотреть один из его членов. Наиболее удобно обратиться к третьему - . Эта величина выражается в м²/с². Умножим и разделим числитель и знаменатель на кг, что дает:

Из чего следует, что каждый член уравнения выражает энергию, отнесенную к единице массы, т.е. удельную энергию. Это позволяет придать уравнению Бернулли энергетический смысл. Первые два члена выражают удельную потенциальную энергию (положения - gz и давления - ), а третий - удельную кинетическую энергию. Следовательно, полная удельная энергия в любом сечении струйки остается неизменной. Другими словами, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии в ее простейшей форме - форме сохранения механической энергии.

7.7 Уравнение Бернулли в форме напоров.

В практических приложениях широко используется другая форма уравнения Бернулли - форма напоров. Разделив обе части уравнения (7.26) на ускорение свободного падения g, получаем

(7.27)

Рис. 7.1

Каждый член (7.27) имеет линейную размерность и выражает напор, под которым в общем случае понимают высоту столба жидкости, уравновешивающую давление в данной точке. Таким образом, z - геометрический напор, характеризующий положение жидкой частицы над какой-то произвольной плоскостью, называемой плоскостью отсчета; - пьезометри­ческий напор - высота столба жидкости, уравновешивающая давление в данной точке; - скоростной напор, представляющий собой высоту столба жидкости в так называемой трубке полного напора (трубке Пито). Принцип действия этого устройства легко уясняется из рис. 7.1.

Сумма двух первых членов носит название гидростатического напора, а трех - полного либо гидродинамического напора. Таким образом, уравнению Бернулли придается геометрическое толкование, которое сводится к следующему. Сумма трех высот: геометрической (z), пьезометрической ( ) и скоростной ( ) есть величина постоянная вдоль струйки. Либо, что то же самое, полный либо гидродинамический напор при движении вдоль струйки остается неизменным. Сказанное иллюстрируется рис. 7.2, который иногда называют диаграммой уравнения Бернулли.

На рис. 7.2 N-N - напорная линия; O-O - плоскость (линия) отсчета; P-P - пьезометрическая линия, лежащая ниже напорной на величину скоростного напора в данном сечении.

Рис. 7.2

8. ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

8.1 Модель вязкой жидкости

Приступая к рассмотрению движения вязкой жидкости, необходимо прежде всего уяснить терминологию , т. е. смысл, вкладываемый в понятие «вязкая жидкость». С математических позиций необходимо установить вид функциональной зависимости для напряжений, либо, другими словами, сформировать модель вязкой жидкости. В дальнейшем под вязкой мы будем понимать жидкость, удовлетворяющую трем гипотезам: линейности, однородности и изотропности.

8.1.1. Гипотеза линейности .

Применим закон Ньютона к жидкости, движущейся параллельно плоскости xOy (рис. 8.1), что дает

Воспользуемся результатом, полученным при рассмотрении теоремы Гельмгольца о движении жидкой частицы. Согласно теореме, скорость угловой деформации относительно оси y

Так как движение происходит в плоскости xOy, то и

и, следовательно, касательное напряжение

(8.1)

Рис. 8.1

Полученный результат иллюстрирует так называемый закон трения Стокса. Согласно этому закону, напряжения, возникающие в жидкости, в отличие от твердого тела, пропорциональны не величинам, а скоростям деформаций, и связаны с ними линейной зависимостью. При этом коэффициент пропорциональности остается неизменным и равным 2m.

Кроме того, согласно закону Стокса касательные напряжения, как показано выше, пропорциональны скоростям угловой деформации, а нормальные - скорости линейной деформации, т.е. , , .

Таким образом, можем записать

(8.2)