Лекции, страница 8
Описание файла
Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика жидкости и газа (мжг или гидравлика)" из , которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "механика жидкости и газа (мжг или гидравлика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Лекции"
Текст 8 страницы из документа "Лекции"
Пример 6.1. Пусть выражение для потенциала скорости имеет вид 
, где a и b - действительные числа.
Найдем компоненты скорости. Имеем
и 
.
Вторые производные равны нулю, т.е. уравнение Лапласа удовлетворяется. Так как 
и 
, то из этого следует, что поток движется с постоянной скоростью
Выясним, что представляют собой линии тока. Дифференциальное уравнение линий тока
.
И после интегрирования
(6.18)
(см. рис. 6.4). Действительно, для линии тока можем записать:
; 
.
Пример 6.2. Потенциал скорости задан выражнием
Рис. 6.4
где a - действительное число. Необходимо найти линии тока этого течения.
Прежде всего проверим, удовлетворяет ли j уравнению Лапласа. Имеем 
; 
; 
; 
;
,
т.е. уравнение Лапласа удовлетворяется. Выясним, какое же движение описывается этой функцией, для чего установим вид функции тока.
(произвольная постоянная в данном случае нас не интересует).
Рис. 6.5
Для нахождения линии тока приравняем
какой-то постоянной величине 
либо 
. Следовательно, линии тока - гиперболы, для которых оси x и y - асимптоты. На рис. 6.5 показаны линии тока для верхней половины. Если считать, что оси координат являются твердыми стенками, то получим картину обтекания потоком прямого угла.Существует ряд простейших течений, для которых потенциалы скорости могут быть получены аналитическим путем. Эти течения играют заметную роль в гидромеханике, и поэтому их рассмотрение представляет несомненный интерес.
Рис. 6.6
Под источником (стоком) на плоскости понимают точку, из которой происходит истечение (либо втекание) жидкости. Пусть точка O на рис. 6.6 представляет плоский источник, из которого, как из центра, проведем несколько концентрических окружностей. Запишем уравнение неразрывности для цилиндрической поверхности единичной высоты: 
откуда
(6.19)
В декартовой системе координат
(6.20)
; 
(6.21)
Рис. 6.7
Вывод этих соотношений можно найти в книге: Аржаников Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Оборонгиз, 1956. - 483 с. Из (6.21) следует, что
не зависит от полярного угла, поэтому можно записать 
. Приравнивая это выражение (6.19), получим 
, откуда 
.И после интегрирования
(6.22)
Из (6.22) следует, что эквипотенциальные линии источника представляют собой окружности. Формулу (6.22) можно записать и в следующей форме
(6.23)
Для нахождения функции тока удобней использовать декартову систему координат. При этом (6.19) принимает вид:
(6.24)
С другой стороны, из рис. 6.7 следует:
Таким образом
Аналогично
Дифференциальное уравнение функции тока
(6.25)
Подстановка значений 
и 
в (6.25) дает
(6.26)
Выполним некоторые преобразования. Дифференциал от частного имеет вид 
, т.е. 
.
Из знаменателя (6.26) выносим за скобки 
, при этом
Таким образом, (6.26) принимает вид
и 
.
Но с другой стороны 
, т.е. 
, и
(6.27)
В полярной системе координат (6.27) представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат. Для стока потенциал скорости и функция тока имеют те же выражения, но с противоположными знаками, т.е.
и 
(6.28)
Иногда Q называют мощностью (обильностью) источника.
6.8. Наложение потенциальных потоков.
Предположим, что имеются два потока с известными потенциалами скорости 
и 
, удовлетворяющими уравнению Лапласа. Из теории линейных дифференциальных уравнений, к которым принадлежит и уравнение Лапласа, известно, что сумма частных решений этих уравнений также является их решением. Другими словами, это означает, что потенциал 
, образованный как 
, также будет удовлетворять уравнению Лапласа, т.е. будет описывать какой-то новый поток, имеющий потенциал j. Из этого следует, что можно получить новый поток путем сложения (наложения) уже известных. Следует обратить внимание на то, что собственно наложение потоков здесь не производится, а речь идет о сложении потенциалов скорости уже известных течений.
Скорость в каждой точке нового потока является суммой скоростей первоначальных потоков. Задача нахождения нового течения может быть решена как графически, так и аналитически.
Рассмотрим сначала графический метод. Общий подход сводится к следующему. Необходимо построить линии тока течений в одинаковом масштабе, что при достаточной густоте линий тока при пересечении дает фигуру, близкую к параллелограмму (рис. 6.8).
Рис. 6.8
В качестве примера рассмотрим картину течения, образующуюся при наложении плоского параллельного потока на сток (рис. 6.9). Как следует из рис. 6.9, частицы жидкости в новом течении будут двигаться по кривым, направленным к стоку. Задача, как отмечалось выше, может быть решена и аналитически. В этом случае должны быть известны j и обоих течений.
Рис. 6.9
Пример 6.4. Выполним сложение источника и стока с одинаковыми расходами, симметрично расположенными относительно начала координат на расстоянии a (см. рис. 6.10). Потенциалы скорости: источника 
; стока - 
.
Рис. 6.10
Выбираем произвольную точку M с координатами x и y. Потенциал скорости в этой точке
, т.е. 
Выполним некоторые преобразования этого соотношения. Из треугольников MИx и MСx получаем: 
Следовательно, потенциал скорости нового течения
(6.29)
Существенно больший интерес представляет функция тока. Как было показано, 
и 
.
Аналогично предыдущему
С другой стороны, из рис. 6.10 следует, что 
, откуда 
, т.е. 
. При этом условию 
(т.е. линии тока) соответствует 
. Таким образом, линии тока нового течения представляют собой окружности, проходящие через источник и сток.
Рассмотрим теперь картину, образующуюся при сближении источника и стока.
Пример 6.5. Забегая несколько вперед отметим, что получаемое при сближении источника и стока течение называется диполем. В чем особенность рассматриваемой задачи? Если просто предположить, что расстояние 
, то 
, и и тождественно равны нулю. Поэтому рассмотрим другой предельный случай. Пусть при 
расход 
, но так, что произведение 
, где M носит название момента диполя. Таким образом,
(6.30)
При этом потенциал скорости диполя
Рассмотрим предел этого отношения
Разберемся теперь в том, что представляет собой выражение, стоящее под знаком предела. Знаменатель можно рассматривать как приращение независимого переменного, а числитель - как соответствующее приращение функции. Действительно, рассмотрим функцию 
. Придадим x значение 
и 
. Если теперь из значения функции, соответствующей , вычесть ее значение при x-a, то получим числитель. Разность значений независимого переменного 
есть знаменатель. Таким образом, мы должны вычислить предел отношения приращения функции к приращению независимого переменного при стремлении последнего к нулю. Как известно, в математике такой предел называют производной функции, т.е.
Дифференцирование легко выполняется методом подстановок. Пусть 
; 
. Тогда 
; 
; 
.
Имеем: 
; 
,
т.е. 
.
Таким образом:
(6.31)
Действуя аналогичным образом, можно показать, что
(6.32)
Из чего следует, что линии тока и эквипотенциальные линии - окружности, касающиеся осей Ox и Oy в начале координат (рис. 6.11). Действительно, придавая функции тока постоянные значения, получаем:
где 
;
; 
;
,
а это и есть уравнения окружностей с разными центрами.
Рис. 6.11
6.9. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра.
Продолжим рассмотрение метода наложения потоков. Полученное в примере 6.5 течение, называемое диполем, на первый взгляд носит достаточно абстрактный характер. Однако, как будет показано ниже, такая точка зрения не совсем справедлива. Используя понятие диполя, можно получить весьма интересные и полезные для практических приложений результаты. Для подтверждения этого проанализируем течение, возникающее при наложении прямолинейного поступательного потока на диполь с центром, расположенным в начале координат. Прямолинейный поток движется вдоль оси Ox со скоростью, равной единице, т.е. 
; 
. Потенциал скорости
и 
с точностью до произвольной постоянной.
