Таким образом

(9.9)

Секундная энергия (мощность) потока в соответствии со струйной моделью

(9.10)

либо

(9.11)

Так как поток слабодеформированный, то и первый интеграл принимает вид

(9.12)

(9.13)

По физическому смыслу второй член в (9.13) представляет собой кинетическую энергию секундной массы.

Поскольку мы ограничимся одномерным представлением, то в (9.13) необходимо ввести среднюю скорость. Поступим следующим образом: разделим обе части уравнения на массовый расход rQ, т.е. отнесем это соотношение, как и уравнение Бернулли для струйки, к единице массы ( Дж/с; кг/с; и, следовательно, -удельная энергия.

Таким образом, имеем

(9.14)

Разделив и умножив третий член на квадрат средней скорости , с учетом того, что , получим

(9.15)

Обозначим выражение ; тогда

(9.16)

Величина носит название коэффициента кинетической энергии, корректива скорости либо коэффициента Кориолиса. Физический смысл этой величины будет раскрыт позже.

Разделив обе части (9.16) на ускорение свободного падения g, выразим это соотношение в единицах длины, т.е. в форме напоров

(9.17)

Рассмотрим движение потока вязкой жидкости в канале (рис. 9.2) от сечения 1-1 к сечению 2-2. Обозначим удельную энергию потока в сечении 1-1 через , а в 2-2 - .

Рис. 9.2

Так как жидкость вязкая, то процесс ее перемещения сопровождается диссипацией энер­гии, т.е. какая-то ее часть расходуется на преодоление сил внутреннего трения и превращается в тепло, следовательно, . Поэтому баланс энергии для выбранных сечений должен быть записан в виде

(9.18)

где - потери энергии.

Раскрывая значения и , получаем:

(9.19)

Это и есть энергетическая форма уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости.

В практических приложениях чаще используют уравнение Бернулли, выраженное в напорах

(9.20)

где - потери напора.

Для газовых потоков (без учета сжимаемости), а также при расчетах систем гидравлического привода обычно используют уравнение Бернулли в форме давлений

(9.21)

где - потери давления.

Обычно в упомянутых системах член оказывается пре­небрежимо малым по сравнению с остальными. В этих случаях (9.21) принимает вид:

(9.22)

9.4 Физический смысл коэффициента Кориолиса.

Как уже упоминалось, коэффициент a носит название коэффициента кинетической энергии, корректива скорости, коэффициента Кориолиса. Выясним физический смысл этой величины.

Как уже отмечалось выше, второй член в уравнении (9.13) представляет собой кинетическую энергию секундной массы потока, определяемую истинным распределением скоростей в сечении, т.е.

(9.23)

Если бы скорости в сечении были бы распределены равномерно, то ( - средняя скорость потока), и кинетическая энергия потока была бы

(9.24)

Разделив (9.23) на (9.24), получим:

(9.25)

Следовательно, коэффициент Кориолиса представляет собой отношение кинетической энергии потока, вычисленной по истинному распределению скоростей, к кинетической энергии, определенной по средней скорости.

Для уяснения вопроса рассмотрим гипотетический «поток», состоящий из двух струек, скорости которых м/с и м/с и вычислим коэффициент Кориолиса.

Истинная кинетическая энергия (сумма кинетических энергий струек)

Средняя скорость ;

и , т. е. (истинная кинетическая энергия больше средней).

Легко убедится, что чем больше неравномерность распределения скоростей, тем больше коэффициент Кориолиса. Так, если м/с, а м/с, то . Очевидно, что минимальное значение будет при равномерном распределении скоростей. Действительно, пусть м/с, тогда и . Следовательно, можно утверждать, что корректирует ошибку, возникающую при вычислении кинетической энергии при замене истинного распределения скоростей условным равномерным.

Забегая несколько вперед, отметим, что в природе существует два принципиально отличающихся режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный. При ламинарном течении в трубах , при турбулентном . Это позволяет утверждать, что в турбулентном потоке скорости в поперечном сечении распределены существенно равномерней, чем в ламинарном (эпюра турбулентного потока более «наполненная», ближе к прямоугольной по сравнению с эпюрой ламинарного потока).

Подведем некоторые итоги. Использование струйной модели потока и сведение его к одномерному путем введения представления о средней скорости позволяют получить одно из основных уравнений гидродинамики - уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости. Принципиально, с помощью этого уравнения можно рассчитать движение жидкости в каналах при установившемся течении и условии, что в выбранных сечениях поток слабодеформированный либо параллельно-струйный. Однако, для полного решения задачи необходимо уметь определять потери напора ( ), возникающие при движении жидкости в каналах. Эта далеко не простая задача и будет являться предметом дальнейшего рассмотрения.

10. КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ.

В 80-х годах прошлого столетия работы, связанные с изучением сопротивления движению жидкости при течении в трубах, зашли в тупик. Опыты одних исследователей (немецкий инженер-строитель Г.Хаген, французский врач Ж.Пуазейль) показали, что сопротивление линейно зависит от скорости. В то же время не менее тщательные и точные опыты французского инженера А.Дарси свидетельствовали, что сопротивление пропорционально квадрату скорости. Возникшее противоречие тормозило развитие инженерной практики и требовало разрешения.

Наблюдения, выполненные Г.Хагеном еще в 1855 г. показали, что характер движения в трубе изменяется при достижении каких-то определенных условий. На это же со всей определенностью было указано в 1870 году нашим соотечественником проф. Н.Н.Петровым при разработке им теории гидродинамической смазки. Эта гипотеза нашла блестящее подтверждение в опытах английского физика Осборна Рейнольдса, результаты которых были опубликованы в 1883-1884 годах и имели далеко идущие последствия для всей механики жидкости.

Идея опытов отличалась ясностью и предельной простотой. В стеклянную трубу, скорость движения воды в которой могла регулироваться, Рейнольдс вводил струйки красителя. При малых скоростях струйки двигались параллельно оси трубы и вся картина представлялась неподвижной. При увеличении скорости воды за счет открытия крана картина изменялась, струйка красителя сначала приобретала синусоидальную форму, а дальнейшее увеличение скорости приводило к ее размыву, что свидетельствовало о беспорядочном движении.

Первый режим - спокойный, слоистый без перемешивания частиц был назван ламинарным. Второй - бурный, хаотичный, приводящий к перемешиванию частиц, позднее по предложению У. Томсона (Лорда Кельвина) получил название турбулентного. Как истинный ученый, Рейнольдс не остановился на констатации факта. Он предположил, что увеличении скорости потока приводит к возникновению каких-то возмущений, дестабилизирующих его структуру. Если понимать под устойчивостью способность потока подавлять возникающие в нем малые возмущения, то переход к турбулентному режиму может рассматриваться как потеря устойчивости. При этом из двух категорий сил, действующих на жидкие частицы, вязкого трения и инерции, первые играют стабилизирующую роль, а вторые - дестабилизирующую. Таким образом, отношение этих сил может служить критерием (мерой) устойчивости потока, т.е.

Мера устойчивости

Такой подход позволяет получить и количественную меру. Действительно, сила инерции . Массу можно представить как произведение плотности на объем, но объем пропорционален кубу линейных размеров, т. е. . Ускорение есть изменение скорости в единицу времени . Таким образом

(10.1)

По смыслу есть скорость, следовательно,

(10.2)

Сила вязкого трения (по Ньютону)

(10.3)

Действуя аналогично предыдущему, получаем

и безразмерный комплекс, характеризующий устойчивость, приобретает вид

(10.4)

В дальнейшем это соотношение получило название числа Рейнольдса, т.е.

(10.5)

где u - характерная скорость течения; l - характерный линейный размер.

Оригинальное толкование этого комплекса дано самим Рейнольдсом. Он писал: «Жидкость можно уподобить отряду воинов, ламинарное течение - монолитному походному строю, турбулентное - беспорядочному движению. Скорость жидкости - скорость отряда, диаметр трубы - величина отряда. Вязкость - дисциплина, а плотность - вооружение. Чем больше отряд, чем быстрее его движение и тяжелей вооружение, тем раньше распадается строй».

Для круглых труб характерный размер - диаметр, характерной скоростью является средняя скорость. С учетом этого, имея в виду, что , выражение (10.5) принимает вид

(10.6)

При течении в каналах некруглого сечения в качестве характерного размера принимают так называемый гидравлический радиус

(10.7)

где A - площадь поперечного сечения канала; P - смоченный периметр (часть периметра, находящаяся в контакте с жидкостью).