где k - коэффициент пропорциональности.

С другой стороны, из условия равновесия движущегося под действием постоянного перепада давления жидкого цилиндра длиной l (см. 12.19)

После замены радиуса диаметром и подстановки

(12.25)

либо

(12.26)

В такой форме записи выражение имеет четкий физический смысл. Это так называемое динамическое давление потока, обусловленное средней скоростью, либо кинетическая энергия потока, заключенная в единице объема.

Обозначим величину и назовем ее гидравлическим коэффициентом трения, тогда

(12.27)

либо

(12.28)

Полученное соотношение носит название формулы Дарси. Более строго это соотношение будет получено методом анализа размернос­тей.

Отметим попутно, что если в преобразованной формуле Хагена-Пуазейля (см. 11.17) обозначить величину буквой , то она превращается в формулу Дарси. В этом смысле формула Дарси может быть названа универсальной, т.е. пригодной как для ламинарного, так и для турбулентного течений. В последнем случае открытым остается вопрос о нахождении гидравлического коэффициента трения, который, как следует из всего сказанного выше, может быть решен только экспериментальным путем.

В заключение отметим, что хотя поставленная главная проб­лема и оказалась теоретически неразрешимой, полученные результаты позволяют найти решения ряда частных задач, имеющих важное практическое значение.

13. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

При рассмотрении различных разделов, связанных с движением жидких сред, неоднократно приходилось сталкиваться с процессами и явлениями, которые в силу своей сложности не позволяют получить аналитические решения, необходимые для инженерной практики. Вместе с тем переход от качественных суждений к количественным соотношениям играет ведущую роль в творческой деятельности человека.

Рассматриваемые в настоящем пособии вопросы непосредст­венно связаны с методологией научного познания. Однако, этот аспект, безусловно важный с познавательных позиций, далеко выходит за рамки курса, поэтому в настоящем пособии мы ограничимся лишь технической стороной.

Принципиально, процесс познания человеком природы можно условно разделить на две стадии: анализ и синтез. На первой стадии, т.е. на стадии анализа, изучаемый объект мысленно расчленяется на более простые составные части, выделяются свойства и связи.

На этапе синтеза происходит их соединение с целью воссоздания единого целого. Этап завершается построением математичес­кой модели, которая с какой-то степенью приближения описывает поведение изучаемого объекта. Обычно математическая модель представляет систему либо системы дифференциальных уравнений. Что же касается степени приближения модели, то она обусловлена теми упрощающими предпосылками, которые положены в основу. Здесь важную роль играет так называемый фактор неопределенности. Суть его сводится к тому, что с усложнением математической модели за счет более полного учета влияющих факторов уменьша­ется возможность получения точного, имеющего практическое значение представления. Другими словами, неопределенность решения возрастает по мере углубленного анализа реальной задачи.

Так, например, система дифференциальных уравнений Эйлера для гидродинамики является математической моделью, описывающей движение идеальной жидкости. Усложнение модели за счет учета сил вязкого трения приводит к системе дифференциальных уравнений Навье-Стокса.

Если модель разрешима, т.е. уравнения могут быть проинтегрированы любым путем, то можно считать, что решена и поставленная конкретная задача. Полученные результаты сопоставляются с теми, что наблюдаются в природе. Если они близки, то это означает, что модель правильно отражает поведение и свойства реального объекта, если нет, нужно ввести какие-то дополнительные факторы, не учтенные ранее, т.е. улучшить ее. Все это, конечно, не означает, что этот процесс идет легко и просто. Он может быть связан с преодолением огромных трудностей как математического, так и вычислительного характера. Новые проблемы возникают в двух случаях: несмотря на все усилия уравнения, составляющие математическую модель, проинтегрировать не удается; изучаемое явление оказыва­ется столь сложным, что не поддается математическому описанию.

В качестве примера первого случая можно привести уравнения Навье-Стокса, которые не могут быть проинтегрированы для большинства важных для практики случаев. Очевидно, что единст­венным в этих условиях способом решения задачи является эксперимент на физической модели, под которой понимается уменьшенный (либо увеличенный) реальный объект исследования. При этом сразу возникают три вопроса: как спроектировать и построить модель, какие величины необходимо измерять при проведении опытов, и как перенести результаты опытов, полученных на модели на натурный объект. На эти вопросы и отвечает теория подобия, являющаяся основой современного физического эксперимента. Прежде чем приступить к в ее рассмотрению, необходимо уяснить, что же понимается под подобием? Одно из наиболее удачных определений этого понятия принадлежит академику Л.И.Седову: «Подобными называются такие явления (процессы), когда по характеристикам одного из них можно получить характеристики другого простым пересчетом, аналогичным переходу от одной системы единиц к другой».

В общем случае различают три вида подобия: геометрическое, кинематическое и динамическое. Наиболее простым является подобие геометрическое, требующее, чтобы линейные размеры натуры и модели находились в постоянном соотношении, другими словами, модель повторяет натуру в каком-то масштабе.

Это требование можно записать в виде

ãäå - ìàñøòàáíûé ìíîæèòåëü.

Äëÿ ïëîùàäåé (S) è îáúåìîâ (V)

;

Ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðàâèëà ãåîìåòðè÷åñêîãî ïîäîáèÿ áûëè èçâåñòíû åùå Äæîíîòàíó Ñâèôòó, êîòîðûé îòìå÷àë, ÷òî â ñòðàíå, â êîòîðóþ ïîïàë Ãóëëèâåð â îäíîì èç ñâîèõ ïóòåøåñòâèé, îí îáíàðóæèë ñóùåñòâà, ïðåâîñõîäèâøèå åãî ïî ðîñòó â 12 ðàç, ïî ïëîùàäè - â 144 ðàçà è ïî îáúåìó - â 1728 ðàç.

Ïðèìåíèòåëüíî ê ôèçè÷åñêèì ÿâëåíèÿì ýëåìåíòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ïîäîáèÿ ðàñøèðÿþòñÿ è ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà âñå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå äàííûé ïðîöåññ. Åñëè ó÷åñòü, ÷òî îíè ìîãóò èçìåíÿòüñÿ êàê âî âðåìåíè, òàê è â ïðîñò­ðàíñòâå, îáðàçóÿ ïîëÿ, òî âîçíèêàåò ïîíÿòèå î âðåìåííîì ïîäîáèè è ïîäîáèè ïîëåé, íàçûâàåìîå êèíåìàòè÷åñêèì ïîäîáèåì.

 ìåõàíèêå æèäêîñòè îíî ñâîäèòñÿ ê ïîäîáèþ ïîëåé ñêîðîñòåé â ïîòîêàõ, äâèæóùèõñÿ â ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíûõ êàíàëàõ.

È íàêîíåö, èìåÿ â âèäó, ÷òî ìåõàíè÷åñêîå äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïîä äåéñòâèåì ñèë, ââîäèòñÿ ïîíÿòèå äèíàìè÷åñêîãî ïîäîáèÿ, êîòîðîå òðåáóåò, ÷òîáû â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ íàòóðû è ìîäåëè ñèëû íàõîäèëèñü â ïîñòîÿííîì ñîîòíîøåíèè.

Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ïðèìåð. Èçâåñòíî, ÷òî äâèæåíèå ëþáîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Íüþòîíà

(13.1)

Äëÿ äâóõ ïîäîáíûõ ñèñòåì ìîæíî çàïèñàòü

è

Ðàçäåëèâ ïåðâîå íà âòîðîå ïîëó÷èì:

ëèáî

Èìåÿ â âèäó, ÷òî èìååì

Ïî ñìûñëó åñòü ñêîðîñòü, ïîýòîìó

(13.2)

ëèáî

(13.3)

Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëó÷åííûå êîìïëåêñû áåçðàçìåðíû.

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äâóõ ïîäîáíûõ ñèñòåì ñîõðàíÿåòñÿ ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî áåçðàçìåðíûõ êîìïëåêñîâ . Êðàòêî ýòî óñëîâèå ìîæíî çàïèñàòü òàê: .  ÷åñòü Íüþòîíà ýòîò êîìïëåêñ îáîçíà÷àåòñÿ äâóìÿ ïåðâûìè áóêâàìè åãî ôàìèëèè, ò.å.

(13.4)

è íàçûâàþò ÷èñëîì ïîäîáèÿ Íüþòîíà, à âûðàæåíèå - îñíîâíûì çàêîíîì äèíàìè÷åñêîãî ïîäîáèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì (çàêîíîì Íüþòîíà).

Âåëè÷èíû L è u, âõîäÿùèå â (13.4), íàçûâàþòñÿ îïðåäåëÿþùèì ëèíåéíûì ðàçìåðîì è îïðåäåëÿþùåé ñêîðîñòüþ. Ïðè ïðîâåäåíèè îïûòîâ îíè âûáèðàþòñÿ ýêñïåðèìåíòàòîðîì ïðîèçâîëüíî, èñõîäÿ èç óäîáñòâà èõ èçìåðåíèÿ.

Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû çàñëóæèâàþò òîãî, ÷òîáû îñòàíîâèòüñÿ è ñäåëàòü êîå-êàêèå ïîëåçíûå âûâîäû. Âî ïåðâûõ, îíè ïîç­âîëÿþò îòâåòèòü íà îäèí èç ïîñòàâëåííûõ âûøå âîïðîñîâ: êàê ñïðîåêòèðîâàòü è ïîñòðîèòü ìîäåëü. Îòâåò î÷åâèäåí: òàê, ÷òîáû îíà áûëà ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíà íàòóðå.

Âî-âòîðûõ, èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îáåñïå÷åíèÿ äèíàìè÷åñêîãî ïîäîáèÿ íå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû âñå âåëè÷èíû, îïðåäåëÿþùèå õàðàêòåð ïðîöåññà â íàòóðíîì îáúåêòå, áûëè ÷èñëåííî ðàâíû àíàëîãè÷íûì âåëè÷èíàì â ìîäåëè. Äîñòàòî÷íûì ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî áåçðàçìåðíûõ êîìïëåêñîâ, ñîñòàâëåííûõ èç ýòèõ âåëè÷èí äëÿ íàòóðû è ìîäåëè, íàçûâàåìûõ ÷èñëàìè ïîäîáèÿ.

Êàêèå ïðåèìóùåñòâà äàåò òàêîé ïîäõîä â ïðàêòè÷åñêîì ïëàíå?

Èç ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè èçâåñòíî, ÷òî ÷èñëî îïûòîâ, êîòîðîå íåîáõîäèìî ïîñòàâèòü äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü çàêîíîìåðíîñòü, äîñòîâåðíî îïèñûâàþùóþ êàêîå-òî ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå, îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ:

(13.5)

ãäå - ÷èñëî ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê, êîòîðîå íåîáõîäèìî ñíÿòü äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ïðåäñòàâèòåëüíîñòè îïûòà ( ); k - ÷èñëî âåëè÷èí, ïîäëåæàùèõ âàðüèðîâàíèþ â îïûòàõ.

Òàêèì îáðàçîì, ìèíèìàëüíîå ÷èñëî îïûòîâ

(13.6)

Åñëè â îïûòàõ âàðüèðóåòñÿ ÷èñëî Íüþòîíà (íàïðèìåð, çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè), òî è , íî åñëè èçó÷àòü âëèÿíèå êàæäîé èç âåëè÷èí ( , u, L), òî è ÷èñëî îïûòîâ . Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçîâàíèå ÷èñëà ïîäîáèÿ â êà÷åñòâå ñâîåîáðàçíîé «îáîáùåííîé ïåðåìåííîé» ïîçâîëÿåò óìåíüøèòü ÷èñëî íåîáõîäèìûõ îïûòîâ â 25 ðàç, à åñëè äëÿ íàäåæíîñòè ïðèíÿòü , òî â 100 ðàç.