Лекции, страница 18

Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â èíòåðåñóþùåì èññëåäîâàòåëÿ ïðîöåññå îïðåäåëÿþùèìè ÿâëÿåòñÿ ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ ò.å. çàâèñèìîñòü (13.8) èìååò âèä . Ãðàôèê ýòîé çàâèñèìîñòè óñòàíàâëèâàåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî, è ÷àñòî èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 13.1.

Êàê ñëåäóåò èç ðèñóíêà, ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà Ðåéíîëüäñà â îïûòàõ çàâèñèìîñòü îñëà­áåâàåò è ïðè íåêîòîðîì êîíêðåòíîì äëÿ êàæäîãî ñëó÷àÿ çíà÷åíèè ÷èñëà Re, íàçûâàåìîãî ãðàíè÷íûì ( ) ïðîèñõîäèò «âûðîæäåíèå», ò.å. ÷èñëî Ýéëåðà ïåðåñòàåò çàâèñåòü îò Re.

Ðèñ. 13.1

Èñ÷åçíîâåíèå (âûðîæ­äåíèå) ÷èñëà Ðåéíîëüäñà îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ïðåäïîñûëîê äëÿ ïîäîáèÿ . Î÷åâèäíî, ìåõàíèçì ïðîöåññà òàêîâ, ÷òî íå íàäî íèêàêèõ óñëîâèé äëÿ ïîäîáèÿ è âñå ïðîöåññû òàêîãî òèïà àâòîìàòè÷åñêè ïîäîáíû ìåæäó ñîáîé. Ýòîò ñëó÷àé è íàçûâàåòñÿ àâòîìîäåëüíîñòüþ. Íà ðèñ.13.1 àâòîìîäåëüíàÿ îáëàñòü îáîçíà÷åíà ðèìñêîé öèôðîé II.

 îáùåì ñëó÷àå ïîä àâòîìîäåëüíîé ïîíèìàþò îáëàñòü, â êîòîðîé íåîïðåäåëÿþùåå ÷èñëî ïîäîáèÿ ïåðåñòàåò çàâèñåòü îò îïðåäåëÿþùåãî (ëèáî îïðåäåëÿþùèõ).

Ïðîâåäåíèå îïûòîâ â ýòîé îáëàñòè ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè â îáëàñòè I ýêñïåðèìåíòàòîð äîëæåí çàáîòèòüñÿ î òîì, ÷òîáû , ÷òî äàëåêî íå âñåãäà âîçìîæíî, òî â àâòîìîäåëüíîé îáëàñòè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû áûëî áîëüøå . Íóæíî ëèøü ïîìíèòü, ÷òî êàêîãî-òî óíèâåðñàëüíîãî çíà÷åíèÿ íå ñóùåñòâóåò, îíî âñåãäà çàâèñèò îò ïðèðîäû èçó÷àåìîãî îáúåêòà, â ÷àñòíîñòè, îò åãî ôîðìû. Ïîýòîìó, êàê ïðàâèëî, çàäà÷åé ïåðâîãî ýòàïà ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå ãðàíè÷íîãî çíà÷åíèÿ îïðåäåëÿþùåãî ÷èñëà ïîäîáèÿ.

Òàêèì îáðàçîì, ïðèâåäåííûå ñâåäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî åñëè â ðåçóëüòàòå àíàëèçà èçó÷àåìîãî ÿâëåíèÿ óäàåòñÿ ñîñòàâèòü åãî ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü, òî ïðèíöèïèàëüíî çàäà÷à ïîñòàíîâêè ýêñïåðèìåíòà ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ðàçðåøåííîé. Ê ñîæàëåíèþ, âîçìîæíîñòü àíàëèòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñêîðåå èñêëþ÷åíèåì, ÷åì ïðàâèëîì. Ïîýòîìó öåëüþ ñëåäóþùåãî ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ îçíàêîìëåíèå ñî ñòðàòåãèåé èññëåäîâàòåëÿ ïðè âîçíèêíîâåíèè òàêîé ñèòóàöèè.

13.3. Àíàëèç ðàçìåðíîñòåé.

Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî êîíå÷íàÿ öåëü â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îñòàåòñÿ ïðåæíåé: íàõîæäåíèå ÷èñåë ïîäîáèÿ, ïî êîòîðûì ñëåäóåò âåñòè ìîäåëèðîâàíèå, íî ðåøàåòñÿ îíà ïðè ñóùåñòâåííî ìåíüøåì îáúåìå èíôîðìàöèè î õàðàêòåðå ïðîöåññà.

Äëÿ óÿñíåíèÿ äàëüíåéøåãî êðàòêî ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îñíîâîïîëàãàþùèå ïîíÿòèÿ. Îáñòîÿòåëüíîå èçëîæåíèå ìîæíî íàéòè â êíèãå À.Í.Ëåáåäåâà «Ìîäåëèðîâàíèå â íàó÷íî-òåõíè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ». - Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü. 1989. -224 ñ.

Ëþáîé ìàòåðèàëüíûé îáúåêò îáëàäàåò ðÿäîì ñâîéñòâ, êîòîðûå äîïóñêàþò êîëè÷åñòâåííîå âûðàæåíèå. Ïðè ýòîì êàæäîå èç ñâîéñòâ õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàçìåðîì îïðåäåëåííîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû. Åäèíèöû íåêîòîðûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ìîæíî âûáèðàòü ïðîèçâîëüíî, è ñ èõ ïîìîùüþ ïðåäñòàâëÿòü åäèíèöû âñåõ îñòàëüíûõ. Ôèçè÷åñêèå åäèíèöû, âûáèðàåìûå ïðîèçâîëüíî, íàçûâàþò îñíîâíûìè.  ìåæäóíàðîäíîé ñèñòåìå (ïðèìåíèòåëüíî ê ìåõàíèêå) ýòî - êèëîãðàìì, ìåòð è ñåêóíäà. Îñòàëüíûå âåëè÷èíû, âûðàæåííûå ÷åðåç ýòè òðè, íàçûâàþò ïðîèçâîäíûìè.

Îñíîâíàÿ åäèíèöà ìîæåò îáîçíà÷àòüñÿ ëèáî ñèìâîëîì ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíû, ëèáî ñïåöèàëüíûì ñèìâîëîì. Íàïðèìåð, åäèíèöû äëèíû - L, åäèíèöû ìàññû - M, åäèíèöà âðåìåíè - T. Ëèáî, åäèíèöà äëèíû - ìåòð (ì), åäèíèöà ìàññû - êèëîãðàìì (êã), åäèíèöà âðåìåíè - ñåêóíäà (ñ).

Ïîä ðàçìåðíîñòüþ ïîíèìàþò ñèìâîëè÷åñêîå âûðàæåíèå (èíîãäà åãî íàçûâàþò ôîðìóëîé) â âèäå ñòåïåííîãî îäíî÷ëåíà, ñâÿçûâàþùåå ïðîèçâîäíóþ âåëè÷èíó ñ îñíîâíûìè. Îáùèé âèä ýòîé çàêîíîìåðíîñòè èìååò âèä

(13.11)

ãäå x, y, z- ïîêàçàòåëè ðàçìåðíîñòè.

Íàïðèìåð, ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè

Äëÿ áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíû âñå ïîêàçàòåëè , è, ñëåäîâàòåëüíî, .

Äâà ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî ÿñíû è íå íóæäàþòñÿ â êàêèõ-ëèáî ñïåöèàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâàõ.

Îòíîøåíèå ðàçìåðîâ äâóõ îáúåêòîâ ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ïîñòîÿííîé âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, â êàêèõ åäèíèöàõ îíè âûðàæàþòñÿ. Òàê, íàïðèìåð, åñëè îòíîøåíèå ïëîùàäè, çàíèìàåìîé îêíàìè, ê ïëîùàäè ñòåí ñîñòàâëÿåò 0,2, òî ýòîò ðåçóëüòàò îñòàíåòñÿ íåèçìåííûì, åñëè ñàìè ïëîùàäè âûðàæàòü â ìì², ì² èëè êì².

Âòîðîå ïîëîæåíèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ëþáîå ïðàâèëüíîå ôèçè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå äîëæíî áûòü ðàçìåðíîñòíî îäíîðîäíûì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå ÷ëåíû, âõîäÿùèå êàê â ïðàâóþ, òàê è â ëåâóþ åãî ÷àñòè äîëæíû èìåòü îäèíàêîâóþ ðàçìåðíîñòü. Ýòî ïðîñòîå ïðàâèëî ÷åòêî ðåàëèçóåòñÿ â æèòåéñêîì îáèõîäå. Âñå îñîçíàþò, ÷òî ìåòðû ìîæíî ñêëàäûâàòü òîëüêî ñ ìåòðàìè è íèêàê íå ñ êèëîãðàììàìè èëè ñ ñåêóíäàìè. Íóæíî ÷åòêî ïðåäñòàâëÿòü, ÷òî ïðàâèëî îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è ïðè ðàññìîòðåíèè äàæå ñàìûõ ñëîæíûõ óðàâíåíèé.

Ìåòîä àíàëèçà ðàçìåðíîñòåé áàçèðóåòñÿ íà òàê íàçûâàåìîé -òåîðåìå (÷èòàåòñÿ: ïè-òåîðåìà). -òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ôóíêöèåé, âûðàæåííîé ÷åðåç ðàçìåðíûå ïàðàìåòðû, è ôóíêöèåé â áåçðàçìåðíîé ôîðìå. Áîëåå ïîëíî òåîðåìà ìîæåò ñôîðìóëèðîâàíà òàê:

Ëþáàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå çàâèñèìîñòè ìåæäó N áåçðàçìåðíûìè êîìïëåêñàìè (÷èñëàìè ), ñîñòàâëåííûìè èç ýòèõ âåëè÷èí. ×èñëî ýòèõ êîìïëåêñîâ , ãäå n - ÷èñëî îñíîâíûõ åäèíèö. Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, â ãèäðîìåõàíèêå (êã, ì, ñ).

Ïóñòü, íàïðèìåð, âåëè÷èíà À ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïÿòè ðàçìåðíûõ âåëè÷èí ( ), ò.å.

(13.12)

Èç -òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ýòà çàâèñèìîñòü ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà â çàâèñèìîñòü, ñîäåðæàùóþ äâà ÷èñëà ( )

(13.13)

ãäå è - áåçðàçìåðíûå êîìïëåêñû, ñîñòàâëåííûå èç ðàçìåðíûõ âåëè÷èí.

Ýòó òåîðåìó èíîãäà ïðèïèñûâàþò Áýêèíãåìó è íàçûâàþò -òåîðåìîé Áýêèíãåìà.  äåéñòâèòåëüíîñòè â å¸ ðàçðàáîòêó âíåñëè âêëàä ìíîãèå êðóïíûå ó÷åíûå, â òîì ÷èñëå Ôóðüå, Ðÿáóøèíñêèé, Ðýëåé.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû âûõîäèò çà ðàìêè êóðñà. Ïðè íåîáõîäèìîñòè îíî ìîæåò áûòü íàéäåíî â êíèãå Ë.È.Ñåäîâà «Ìåòîäû ïîäîáèÿ è ðàçìåðíîñòåé â ìåõàíèêå» - Ì.: Íàóêà, 1972. - 440 ñ. Ïîäðîáíîå îáîñíîâàíèå ìåòîäà ïðèâîäèòñÿ è â êíèãå Â.À.Âåíèêîâà è Ã.Â.Âåíèêîâà «Òåîðèÿ ïîäîáèÿ è ìîäåëèðîâàíèÿ» - Ì.: Âûñøàÿ øêî­ëà, 1984. -439 ñ. Îñîáåííîñòüþ ýòîé êíèãè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïîìèìî âîïðîñîâ, ñâÿçàííûõ ñ ïîäîáèåì, â íåå âêëþ÷åíû ñâåäåíèÿ î ìåòîäèêå ïîñòàíîâêè ýêñïåðèìåíòà è îáðàáîòêè åãî ðåçóëüòàòîâ.

Èñïîëüçîâàíèå àíàëèçà ðàçìåðíîñòåé äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ñâÿçàíî ñ íåîáõîäèìîñòüþ ñîñòàâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè âèäà (13.12), êîòîðàÿ íà ñëåäóþùåì ýòàïå îáðàáàòûâàåòñÿ ñïåöèàëüíûìè ïðèåìàìè, ïðèâîäÿùèìè â êîíå÷íîì èòîãå ê ïîëó÷åíèþ ÷èñåë (÷èñåë ïîäîáèÿ).

Îñíîâíûì, íîñÿùèì òâîð÷åñêèé õàðàêòåð, ÿâëÿåòñÿ ïåðâûé ýòàï, òàê êàê ïîëó÷àåìûå ðåçóëüòàòû çàâèñÿò îò òîãî, íàñêîëüêî ïðàâèëüíî è ïîëíî ïðåäñòàâëåíèå èññëåäîâàòåëÿ î ôèçè÷åñêîé ïðèðîäå ïðîöåññà. Äðóãèìè ñëîâàìè, íàñêîëüêî ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü (13.12) ïðàâèëüíî è ïîëíî ó÷èòûâàåò âñå ïàðàìåòðû, âëèÿþùèå íà èçó÷àåìûé ïðîöåññ. Ëþáàÿ îøèáêà çäåñü íåèçáåæíî ïðèâîäèò ê îøèáî÷íûì âûâîäàì.  èñòîðèè íàóêè èçâåñòíà òàê íàçûâàåìàÿ «îøèáêà Ðýëåÿ». Ñóòü åå â òîì, ÷òî èçó÷àÿ çàäà÷ó î òåï­ëîîáìåíå ïðè òóðáóëåíòíîì òå÷åíèè, Ðýëåé íå ó÷åë âëèÿíèå âÿçêîñòè ïîòîêà, ò.å. íå âêëþ÷èë å¸ â çàâèñèìîñòü (13.12).  ðåçóëüòàòå â êîíå÷íûå ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷åííûå èì, íå âîøëî ÷èñëî ïîäîáèÿ Ðåéíîëüäñà, èãðàþùåå èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü â òåïëîîáìåíå.

Äëÿ óÿñíåíèÿ ñóùíîñòè ìåòîäà ðàññìîòðèì ïðèìåð, èëëþñò­ðèðóþùèé êàê îáùèé ïîäõîä ê çàäà÷å, òàê è ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ÷èñåë ïîäîáèÿ.

Íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü âèä çàâèñèìîñòè, ïîçâîëÿþùèé îïðåäåëèòü ïîòåðè äàâëåíèÿ ëèáî íàïîðà ïðè òóðáóëåíòíîì òå÷åíèè â êðóãëûõ òðóáàõ.

Íàïîìíèì, ÷òî ýòà çàäà÷à óæå ðàññìàòðèâàëàñü â ðàçäåëå 12.6. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò íåñîìíåííûé èíòåðåñ óñòàíîâèòü, êàê îíà ìîæåò áûòü ðàçðåøåíà ñ ïîìîùüþ àíàëèçà ðàçìåðíîñòåé è äàåò ëè ýòî ðåøåíèå êàêóþ-òî íîâóþ èíôîðìàöèþ.

ßñíî, ÷òî ïàäåíèå äàâëåíèÿ âäîëü òðóáû, îáóñëîâëåííîå çàòðàòàìè ýíåðãèè íà ïðåîäîëåíèå ñèë âÿçêîãî òðåíèÿ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî å¸ äëèíå, ïîýòîìó ñ öåëüþ ñîêðàùåíèÿ ÷èñëà ïåðåìåííûõ öåëåñîîáðàçíî ðàññìàòðèâàòü íå , à , ò.å. ïîòåðè äàâëåíèÿ íà åäèíèöó äëèíû òðóáû. Íàïîìíèì, ÷òî îòíîøåíèå , ãäå - ïîòåðè íàïîðà, íîñèò íàçâàíèå ãèäðàâëè÷åñêîãî óêëîíà.

Èç ïðåäñòàâëåíèé î ôèçè÷åñêîé ñóùíîñòè ïðîöåññà ìîæíî ïðåäïîëîæèòü ÷òî âîçíèêàþùèå ïîòåðè äîëæíû çàâèñåòü: îò ñðåäíåé ñêîðîñòè òå÷åíèÿ ðàáî÷åé ñðåäû (v); îò ðàçìåðà òðóáîïðîâîäà, îïðåäåëÿåìîãî åãî äèàìåòðîì (d); îò ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ òðàíñïîðòèðóåìîé ñðåäû, õàðàêòåðèçóåìûõ å¸ ïëîòíîñòüþ ( ) è âÿçêîñòüþ ( ); è, íàêîíåö, ðàçóìíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòåðè äîëæíû áûòü êàê-òî ñâÿçàíû ñ ñîñòîÿíèåì âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòüþ òðóáû, ò.å. ñ øåðîõîâàòîñòüþ (k) åå ñòåíîê. Òàêèì îáðàçîì, çàâèñèìîñòü (13.12) â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èìååò âèä