Лекции, страница 15

при , и . Таким образом,

(12.8)

Имея в виду, что , после подстановки получаем

(12.9)

Из чего следует, что в пределах подслоя скорость изменяется по линейному закону. Величина имеет размерность квадрата скорости, поэтому корень квадратный из нее, т.е.

(12.10)

называют динамической скоростью либо скоростью трения. Из выражения для напряжений Рейнольдса (см. 12.3) следует, что и

(12.11)

Таким образом, динамическая скорость является мерой интенсивности турбулентного пульсационного движения, т.е. мерой интенсивности переноса количества движения.

Подставляя (12.10) в (12.9), получаем

(12.12)

Оценим толщину вязкого подслоя. На его границе , и (12.12) можно придать вид

(12.13)

В правой части стоит выражение, аналогичное числу Рейнольдса. Согласно тщательным опытам ближайшего сотрудника Л.Прандтля, Никурадзе, эта величина приближенно равна 11,6; тогда

(12.14)

Очевидно, что этим соотношением можно воспользоваться лишь в случае, если известна динамическая скорость. Для ее нахождения необходимо увязать ее с параметрами осредненного потока, что является решаемой задачей.

Чтобы завершить вопрос о турбулентном течении в трубах, установим закон распределения осредненных скоростей в ядре потока. В этой области определяющую роль играют турбулентные касательные напряжения, и, следовательно, можно воспользоваться формулой Прандтля (см. 12.6). Однако для того, чтобы продвинуться дальше, необходимо принять дополнительные допущения. Они оказываются достаточно грубыми, и единственным их оправданием является то, что результаты, к которым они приводят, достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Первое допущение связано с длиной пути перемешивания. Согласно наиболее простой гипотезе, принадлежащей Л.Прандтлю,

(12.15)

где - какая-то величина, называемая постоянной Кармана. Выполненные измерения показывают, что . Более поздние исследования показали, что зависимость (12.15) справедлива лишь в пристенной части турбулентного ядра потока.

Вторым является допущение о касательных напряжениях. Следует полагать, что принципиально они являются величинами переменными. Однако, если рассматривать область, расположенную достаточно близко к стенке, то здесь величина касательного напряжения изменяется незначительно, и можно принять ее равной касательному напряжению на стенке, т.е. .

При этих допущениях формула Прандтля принимает вид

либо

Извлекая квадратный корень и разделяя переменные, получаем

и после интегрирования

(12.16)

т.е. скорости в ядре потока распределены по логарифмическому закону.

Произвольную постоянную интегрирования можно найти из граничных условий на оси трубы: при , и . После подстановки и простых преобразований

(12.17)

Строго говоря, соотношение (12.17) выводится для плоских труб, но опыт показывает, что оно оказывается справедливым и для круглых, и подтверждает экспериментально установленный факт о независимости распределения скорости от причин, обусловливаю­щих возникновение касательных напряжений (вязкости, шероховатости).

Выражение (12.17) иногда называют законом дефекта скорости.

Использование двухслойной модели, т.е. разделение потока на ядро и пристенный слой, приводит к специфической классификации стенок труб. Если толщина пристенного слоя больше выступов шероховатости, трубы называют гидравлически гладкими, в противном случае - шероховатыми.

Завершая раздел, обратим внимание на следующие обстоятельства. Как отмечалось, для получения закона распределения скоростей в поперечном сечении трубопровода использовались простейшие гипотезы: постоянство касательных напряжений в ядре потока ( ) и линейная зависимость для длины пути перемешивания ( ). Легко показать, что первая из них не согласуется с реальностью при рассмотрении течения в трубах. Действительно, выделим в трубе цилиндрический элемент жидкости длиной l и радиусом r, на который действует постоянный перепад давления . Сила давления на этот элемент , а сила трения . Приравняв эти силы, получаем

(12.18)

А для всей трубы длиной l и радиусом R

(12.19)

где - напряжение на стенке.

Поскольку по условию, то приравняв (12.18) и (12.19), с учетом того, что ,

(12.20)

т.е. касательные напряжения по сечению не постоянны, а изменяются по линейному закону, и лишь на достаточно малом расстоянии от стенки ( ) можно считать, что .

Вторая гипотеза также не согласуется с данными опытов. На рис. 12.3 приведены графики, характеризующие распределение длины пути перемешивания в поперечном сечении круглой трубы по данным опытов Никурадзе (кружки) и по формулам, предложенным различными авторами. В соответствии с результатами экспериментов, значение достигает максимума на оси трубы. Из графика следует, что гипотеза Прандтля (прямая 1) неприемлема.

.

Существенно отличаются от опытной и кривые, полученные другими авторами: Карманом (кривая 2), Конаковым (кри­вая 4), Саткевичем (кривая 5). Достаточно близка к эксперименту кривая Альтшуля (кривая 3), описывающая длину пути перемешивания с помощью формулы

Рис. 12.3

(12.21)

В последнее время Д.Н.Васильевым получена аппроксимирующая зависимость, практически точно совпадающая с данными опыта и имеющая вид

(12.22)

Использование этого соотношения с учетом линейного распределения касательных напряжений по сечению трубы приводит к закону распределения скоростей, соответствующему гиперболическому тангенсу. Вывод этого соотношения можно найти в книге: Павленко В.Г. Основы механики жидкости. - Л.: Судостроение, 1988. - 240 с.

Существуют и другие подходы к этому непростому вопросу. Так, например, А.Д.Альтшуль считает, что разделение потока на две области является грубой схематизацией, носящей искусственный характер. Не оправдана с теоретических позиций гипотеза о ламинарном подслое, как об области, в которой отсутствуют пульсации. Пульсации проникают и в этот слой, но следуют там особым закономерностям. Слабо обосновано и то, что в ядре потока физическая вязкость не играет никакой роли. На базе этих представлений автором разработана полуэмпирическая теория, рассматривающая турбулентный поток в трубе как единое целое, без разделения его на ядро и ламинарный подслой. Достаточно ясное и подробное изложение этой теории можно найти в книге: Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра, 1970. - 215 с.

Полуэмпирические теории неоднократно подвергались серьез­ной критике. Главные возражения обычно касались выводов, связанных с особенностями структуры турбулентности. Тем не менее, они широко распространены из-за их простоты и удобства, хотя получаемые результаты достаточно грубы и приближенны. Поэтому нельзя не согласиться с мыслью, высказанной крупнейшим специалистом в области механики жидкости Х.Раузом (Механика жидкости. - М.: Стройиздат, 1967. - 390 с.): «При сравнении простоты соотношений со сложностью явления вызывает удивление степень их полезности, а не их недостатки».

12.5. Степенные законы распределения скоростей.

Логарифмический закон распределения скоростей хорошо подтверждается результатами эксперимента, но вызывает опреде­ленные трудности при численных расчетах. Поэтому в последние годы получают распространение степенные зависимости вида

(12.23)

Главным достоинством этих формул является их простота, а недостатком - зависимость показателя степени от числа Рейнольдса. Поэтому степенной закон нельзя рассматривать как универсальный. В диапазоне изменения чисел показатель степени 1/n меняется в пределах от 1/6 до 1/10.

Следует отметить, что ни логарифмический, ни степенной законы не удовлетворяют условию равенства нулю производной от скорости на оси симметрии потока.

12.6. Потери давления (напора) при турбулентном течении в трубах.

Напомним, что рассмотрение закономерностей как ламинарного, так и турбулентного течений в трубах помимо чисто познавательных целей преследовало и цели сугубо практические: получить соотношения, позволяющие определять потери давления (напора) в трубопроводных сетях при выполнении инженерных расчетов. Для ламинарного течения эта задача решается с помощью формулы Хагена-Пуазейля. Из рассмотрения закономерностей турбулентного течения становится ясным, что вследствие его чрезвычайной сложности получение аналогичного соотношения чисто теоретическим путем практически невозможно. Поэтому, основываясь на уже известных положениях, установим хотя бы общую структуру необходимой формулы.

Как было показано, выражение для турбулентных касательных напряжений (напряжений Рейнольдса) имеет вид

Это с большой долей уверенности позволяет утверждать, что существует связь между средней скоростью и касательным напряжением на стенке трубы вида

(12.24)