ëèáî

(13.14)

Íà ýòîì è çàêàí÷èâàåòñÿ ïåðâûé è, íóæíî ïîä÷åðêíóòü, íàèáîëåå îòâåòñòâåííûé ýòàï àíàëèçà ðàçìåðíîñòåé.

 ñîîòâåòñòâèè ñ -òåîðåìîé, ÷èñëî âëèÿþùèõ ïàðàìåòðîâ, âõîäÿùèõ â çàâèñèìîñòü, . Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî áåçðàçìåðíûõ êîìïëåêñîâ , ò.å. ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùåé îáðàáîòêè (13.14) äîëæíà ïðèíÿòü âèä

(13.15)

Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ñïîñîáîâ íàõîæäåíèÿ ÷èñåë . Ìû âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì, ïðåäëîæåííûì Ðýëååì.

Îñíîâíûì äîñòîèíñòâîì åãî ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâîåîáðàçíûé àëãîðèòì, ïðèâîäÿùèé ê ðåøåíèþ çàäà÷è.

Èç ïàðàìåòðîâ, âõîäÿùèõ â (13.15) íåîáõîäèìî âûáðàòü òðè ëþáûõ, íî òàê, ÷òîáû â íèõ âõîäèëè îñíîâíûå åäèíèöû, ò.å. ìåòð, êèëîãðàìì è ñåêóíäà. Ïóñòü èìè áóäóò v, d, . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî îíè óäîâëåòâîðÿþò ïîñòàâëåííîìó òðåáîâàíèþ.

Îáðàçóþòñÿ ÷èñëà â âèäå ñòåïåííûõ îäíî÷ëåíîâ èç âûáðàííûõ ïàðàìåòðîâ, óìíîæåííûõ íà îäèí èç îñòàâøèõñÿ â (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

Òåïåðü çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ âñåõ ïîêàçàòåëåé ñòåïåíåé. Ïðè ýòîì îíè äîëæíû áûòü ïîäîáðàíû òàê, ÷òîáû ÷èñëà áûëè áåçðàçìåðíû.

Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è îïðåäåëèì ïðåæäå âñåãî ðàçìåðíîñòè âñåõ ïàðàìåòðîâ:

; ;

Âÿçêîñòü , ò.å. .

Ïàðàìåòð , è .

È, íàêîíåö, .

Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåðíîñòè ÷èñåë áóäóò

ëèáî

Àíàëîãè÷íî äâà äðóãèõ

 íà÷àëå ðàçäåëà 13.3 óæå îòìå÷àëîñü, ÷òî äëÿ ëþáîé áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíû ïîêàçàòåëè ðàçìåðíîñòè . Ïîýòîìó, íàïðèìåð, äëÿ ÷èñëà ìîæåì çàïèñàòü

Ïðèðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé, ïîëó÷àåì òðè óðàâíåíèÿ ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè

Îòêóäà íàõîäèì ; ; .

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â ( 13.6), ïîëó÷àåì

(13.19)

Äåéñòâóÿ àíàëîãè÷íî, ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî

è .

Òàêèì îáðàçîì, çàâèñèìîñòü (13.15) ïðèíèìàåò âèä

(13.20)

Òàê êàê åñòü íåîïðåäåëÿþùåå ÷èñëî ïîäîáèÿ (÷èñëî Ýéëåðà), òî (13.20) ìîæíî çàïèñàòü êàê ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü

ëèáî

(13.21)

Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî àíàëèç ðàçìåðíîñòåé íå äàåò è ïðèíöèïèàëüíî íå ìîæåò äàòü êàêèõ-òî ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé â ïîëó÷àåìûõ ñ åãî ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿõ. Ïîýòîìó îí äîëæåí çàâåðøàòüñÿ àíàëèçîì ðåçóëüòàòîâ è ïðè íåîáõîäèìîñòè èõ êîððåêòèðîâêîé, èñõîäÿ èç îáùèõ ôèçè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé. Ðàññìîòðèì ñ ýòèõ ïîçèöèé âûðàæåíèå (13.21).  ïðàâóþ åãî ÷àñòü âõîäèò êâàäðàò ñêîðîñòè, íî ýòà çàïèñü íå âûðàæàåò íè÷åãî, êðîìå òîãî, ÷òî ñêîðîñòü âîçâîäèòñÿ â êâàäðàò. Îäíàêî, åñëè ïîäåëèòü ýòó âåëè÷èíó íà äâà, ò.å. , òî êàê èçâåñòíî èç ãèäðîìåõàíèêè, îíà ïðèîáðåòàåò âàæíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: óäåëüíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, à - äèíàìè÷åñêîå äàâëåíèå, îáóñëîâëåííîå ñðåäíåé ñêîðîñòüþ. Ñ ó÷åòîì ýòîãî (13.21) öåëåñîîáðàçíî çàïèñàòü â âèäå

(13.22)

Åñëè òåïåðü, êàê â (12.26), îáîçíà÷èòü áóêâîé , òî ïðèõîäèì ê ôîðìóëå Äàðñè

(13.23)

ëèáî

(13.24)

ãäå - ãèäðàâëè÷åñêèé êîýôôèöèåíò òðåíèÿ, êîòîðûé, êàê ñëåäóåò èç (13.22), ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ÷èñëà Ðåéíîëüäñà è îòíîñèòåëüíîé øåðîõîâàòîñòè (k/d). Âèä ýòîé çàâèñèìîñòè ìîæåò áûòü íàéäåí òîëüêî ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóòåì.

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

1. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÏÏÀÐÀÒ, ÈÑÏÎËÜÇÓÅÌÛÉ Â ÌÅÕÀÍÈÊÅ ÆÈÄÊÎÑÒÈ 3

1.1. Âåêòîðû è îïåðàöèè íàä íèìè. 4

1.2. Îïåðàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà (äèôôåðåíöèàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ). 5

1.3. Îïåðàöèè âòîðîãî ïîðÿäêà. 6

1.4. Èíòåãðàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ òåîðèè ïîëÿ. 7

1.4.1. Ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ. 7

1.4.2. Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà ïîëÿ. 7

1.4.3. Ôîðìóëà Ñòîêñà. 7

1.4.4. Ôîðìóëà Ãàóññà-Îñòðîãðàäñêîãî. 7

2. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ È ÏÀÐÀÌÅÒÐÛ ÆÈÄÊÎÑÒÈ. ÑÈËÛ È ÍÀÏÐßÆÅÍÈß. 8

2.1. Ïëîòíîñòü. 8

2.2. Âÿçêîñòü. 9

2.3. Êëàññèôèêàöèÿ ñèë. 12

2.3.1. Ìàññîâûå ñèëû. 12

2.3.2. Ïîâåðõíîñòíûå ñèëû. 12

2.3.3. Òåíçîð íàïðÿæåíèÿ. 13

2.3.4. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â íàïðÿæåíèÿõ. 16

3. ÃÈÄÐÎÑÒÀÒÈÊÀ. 18

3.1. Óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòè. 18

3.2. Îñíîâíîå óðàâíåíèå ãèäðîñòàòèêè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå. 19

3.3. Ýêâèïîòåíöèàëüíûå ïîâåðõíîñòè è ïîâåðõíîñòè ðàâíîãî äàâëåíèÿ. 20

3.4. Ðàâíîâåñèå îäíîðîäíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â ïîëå ñèë òÿæåñòè. Çàêîí Ïàñêàëÿ. Ãèäðîñòàòè÷åñêèé çàêîí ðàñïðå­äåëåíèÿ äàâëåíèÿ. 20

3.5. Îïðåäåëåíèå ñèëû äàâëåíèÿ æèäêîñòè íà ïîâåðõíîñòè òåë. 22

3.5.1. Ïëîñêàÿ ïîâåðõíîñòü. 24

4. ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ. 25

4.1. Óñòàíîâèâøååñÿ è íåóñòàíîâèâøååñÿ äâèæåíèå æèäêîñòè. 25

4.2. Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (ñïëîøíîñòè). 26

4.3. Ëèíèè òîêà è òðàåêòîðèè. 28

4.4. Òðóáêà òîêà (ïîâåðõíîñòü òîêà) 28

4.5. Ñòðóéíàÿ ìîäåëü ïîòîêà. 28

4.6. Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè äëÿ ñòðóéêè. 29

4.7. Óñêîðåíèå æèäêîé ÷àñòèöû. 30

4.8. Àíàëèç äâèæåíèÿ æèäêîé ÷àñòèöû. 31

4.8.1. Óãëîâûå äåôîðìàöèè. 31

4.8.2. Ëèíåéíûå äåôîðìàöèè. 35

5. ÂÈÕÐÅÂÎÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÆÈÄÊÎÑÒÈ 37

5.1. Êèíåìàòèêà âèõðåâîãî äâèæåíèÿ. 37

5.2. Èíòåíñèâíîñòü âèõðÿ. 38

5.3. Öèðêóëÿöèÿ ñêîðîñòè. 40

5.4. Òåîðåìà Ñòîêñà. 41

6. ÏÎÒÅÍÖÈÀËÜÍÎÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÆÈÄÊÎÑÒÈ 43

6.1. Ïîòåíöèàë ñêîðîñòè. 43

6.2. Óðàâíåíèå Ëàïëàñà. 45

6.3. Öèðêóëÿöèÿ ñêîðîñòè â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå. 46

6.4. Ôóíêöèÿ òîêà ïëîñêîãî òå÷åíèÿ. 46

6.5. Ãèäðîìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèè òîêà. 48

6.6. Ñâÿçü ïîòåíöèàëà ñêîðîñòè è ôóíêöèè òîêà. 48

6.7. Ìåòîäû ðàñ÷åòà ïîòåíöèàëüíûõ ïîòîêîâ. 49

6.8. Íàëîæåíèå ïîòåíöèàëüíûõ ïîòîêîâ. 53

6.9. Áåñöèðêóëÿöèîííîå îáòåêàíèå êðóãëîãî öèëèíäðà. 57

6.10. Ïðèìåíåíèå òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî ê èçó÷åíèþ ïëîñêèõ ïîòîêîâ èäåàëüíîé æèäêîñòè. 59

6.11. Êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ. 61

7. ÃÈÄÐÎÄÈÍÀÌÈÊÀ ÈÄÅÀËÜÍÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ 64

7.1. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè. 64

7.2. Ïðåîáðàçîâàíèå Ãðîìåêè-Ëýìáà. 65

7.3. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ôîðìå Ãðîìåêè-Ëýìáà. 66

7.4. Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ òå÷åíèÿ 67

7.5. Óïðîùåííûé âûâîä óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè. 68

7.6. Ýíåðãåòè÷åñêèé ñìûñë óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè 69

7.7. Óðàâíåíèå Áåðíóëëè â ôîðìå íàïîðîâ. 70

8. ÃÈÄÐÎÄÈÍÀÌÈÊÀ ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ 71

8.1. Ìîäåëü âÿçêîé æèäêîñòè 71

8.1.1. Ãèïîòåçà ëèíåéíîñòè . 71

8.1.2. Ãèïîòåçà îäíîðîäíîñòè 73

8.1.3. Ãèïîòåçà èçîòðîïíîñòè 73

8.2 Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè. (óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà) 73

9. ÎÄÍÎÌÅÐÍÛÅ ÒÅ×ÅÍÈß ÍÅÑÆÈÌÀÅÌÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ (îñíîâû ãèäðàâëèêè). 75

9.1. Ðàñõîä ïîòîêà è ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü. 76

9.2. Ñëàáîäåôîðìèðîâàííûå ïîòîêè è èõ ñâîéñòâà. 77

9.3. Óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ ïîòîêà âÿçêîé æèäêîñòè. 78

9.4. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë êîýôôèöèåíòà Êîðèîëèñà. 81

10. ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÒÅ×ÅÍÈÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÄÂÈÆÅÍÈß. 83

11. ÇÀÊÎÍÎÌÅÐÍÎÑÒÈ ËÀÌÈÍÀÐÍÎÃÎ ÐÅÆÈÌÀ ÒÅ×ÅÍÈß Â ÊÐÓÃËÛÕ ÒÐÓÁÀÕ. 85

12. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÇÀÊÎÍÎÌÅÐÍÎÑÒÈ ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß. 89

12.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ. 89

12.2. Óðàâíåíèÿ Ðåéíîëüäñà. 91

12.3. Ïîëóýìïèðè÷åñêèå òåîðèè òóðáóëåíòíîñòè. 92

12.4. Òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå â òðóáàõ. 94

12.5. Ñòåïåííûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòåé 99

12.6. Ïîòåðè äàâëåíèÿ (íàïîðà) ïðè òóðáóëåíòíîì òå÷åíèè â òðóáàõ. 99

13. ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÎÐÈÈ ÏÎÄÎÁÈß È ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß

13.1. Èíñïåêöèîííûé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. 105

13.2. Ïîíÿòèå îá àâòîìîäåëüíîñòè.

13.3. Àíàëèç ðàçìåðíîñòåé.

129