Лекции, страница 17

È íàêîíåö, â-òðåòüèõ, ìîæíî îòâåòèòü íà âîïðîñ î òîì, êàêèå âåëè÷èíû ñëåäóåò èçìåðÿòü â îïûòàõ è êàê ïåðåíîñèòü ðåçóëüòàòû íà íàòóðíûé îáúåêò. Òàê êàê ïðè ïðîâåäåíèè îïûòîâ íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü ðàâåíñòâî ÷èñåë ïîäîáèÿ íàòóðû è ìîäåëè, òî ÿñíî, ÷òî èçìåðåíèþ ïîäëåæàò ëèøü òå âåëè÷èíû, êîòîðûå âõîäÿò â ýòè ÷èñëà.

Ïî ðåçóëüòàòàì èçìåðåíèé ìîæíî âû÷èñëèòü ÷èñëà ïîäîáèÿ ìîäåëè è, èñõîäÿ èç ðàâåíñòâà èõ ÷èñëàì ïîäîáèÿ íàòóðû, ïðîèçâåñòè ïåðåñ÷åò.

Îñòàåòñÿ îòêðûòûì âîïðîñ, êîòîðûé, ïî ñóùåñòâó, ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì. Êàê æå íàéòè ÷èñëà ïîäîáèÿ, õàðàêòåðèçóþùèå èçó­÷àåìûé ïðîöåññ ëèáî ÿâëåíèå? Î÷åâèäíî, ÷òî òîëüêî îòâåò íà íåãî îòêðûâàåò ïóòü äëÿ ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè òåîðèè ïîäîáèÿ.

13.1. Èíñïåêöèîííûé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.

Èñõîäèì èç òîãî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà íàì èçâåñòíà, íî îíà íå ìîæåò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíà.  ýòîì ñëó÷àå ÷èñëà ïîäîáèÿ ìîãóò áûòü íàéäåíû ìåòîäîì, êîòîðûé ïî ïðåäëîæåíèþ èçâåñòíîãî àìåðèêàíñêîãî ìàòåìàòèêà è ãèäðîäèíàìèêà Ã.Áèðêãîôà íàçâàí èíñïåêöèîííûì àíàëèçîì. Êàê ñëåäóåò èç íàçâàíèÿ, ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â îðãàíèçîâàííîì ïî îïðåäåëåííûì ïðàâèëàì «èíñïåêòèðîâàíèè» äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðîå äîëæíî âûÿâèòü ÷èñëà ïîäîáèÿ, ïîçâîëÿþùèå ìîäåëèðîâàòü ïðîöåññ. Îòìåòèì ëèøü, ÷òî ýòîò ìåòîä íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. Èíòåðåñóþùèåñÿ äðóãèìè ïîäõîäàìè ìîãóò íàéòè èõ â êíèãå ß.Ì. Áðàéíèñà «Ïîäîáèå è ìîäåëèðîâàíèå â õèìè÷åñêîé è íåôòåõèìè÷åñêîé òåõíîëîãèè».-Ì.: Ãîñòîïòåõèçäàò, 1961. - 219 ñ.

Áàçîé èíñïåêöèîííîãî àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèå, ðàññìàòðèâàåìîå êàê ïîñòóëàò è ñâîäÿùååñÿ ê ñëåäóþùåìó.

Åñëè äâå ñèñòåìû îïèñûâàþòñÿ îäèíàêîâûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè è èìåþò îäèíàêîâûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, è åñëè çíà÷åíèÿ âñåõ ïàðàìåòðîâ â ýòèõ óðàâíåíèÿõ è ãðàíè÷íûõ óðàâíåíèÿõ ðàâíû, òî ýòè äâå ñèñòåìû ïîäîáíû, ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ.

Æåëàþùèå ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ïîäðîáíûì àíàëèçîì âñåõ ýëåìåíòîâ, âõîäÿùèõ â ýòî óòâåðæäåíèå ìîãóò îáðàòèòüñÿ ê ïðåâîñõîäíîé êíèãå À.À.Ãóõìàíà «Ââåäåíèå â òåîðèþ ïîäîáèÿ». - Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1963. - 253 ñ.

 äàííîì ïîñîáèè ìû ïðèìåì åãî êàê ïîñòóëàò, îïóñêàÿ âñå îáîñíîâàíèÿ. Âòîðàÿ åãî ïîëîâèíà îòíîñèòñÿ ê òàê íàçûâàåìûì óñ­ëîâèÿì îäíîçíà÷íîñòè. Ýòî êðàéíå âàæíîå ïîíÿòèå òðåáóåò áîëåå âíèìàòåëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ.

Ëþáîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå îïèñûâàåò öåëûé êëàññ ÿâëåíèé, ò.å. ðåøåíèå èõ ìíîãîçíà÷íî. Òàê, íàïðèìåð, òî æå óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà, ê êîòîðîìó ìû óæå íåîäíîêðàòíî âîçâðàùàëèñü, ìîæåò îïèñûâàòü äâèæåíèå æèäêîñòè â êàíàëàõ, ðåêàõ è îêåàíàõ, äâèæåíèå àòìîñôåðíûõ ìàññ âîçäóõà è ò.ï. Èíæåíåðà èíòåðåñóåò êîíêðåòíîå ÿâëåíèå äàííîãî êëàññà. Ïîýòîìó èç ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ðåøåíèé òðåáóåòñÿ ëèøü îäíî, ñîîòâåòñòâóþùåå èçó÷àåìîìó ÿâëåíèþ. Ýòîãî ìîæíî äîáèòñÿ, åñëè ïðè ïîñòàíîâêå çàäà÷è ââåñòè äîïîëíèòåëüíûå òàê íàçûâàåìûå óñëîâèÿ îäíîçíà÷íîñòè, êîòîðûå âêëþ÷àþò:

- äàííûå î ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ñðåäû (ïëîòíîñòü, âÿçêîñòü);

- ñâåäåíèÿ î íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ñèñòåìû (íà÷àëüíûå óñëî­âèÿ);

- äàííûå î ïîâåäåíèè ñèñòåìû íà å¸ ãðàíèöàõ (ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ).

Èíñïåêöèîííûé àíàëèç ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îïðåäåëåííûé àëãîðèòì, âêëþ÷àþùèé äâà ýòàïà: íà ïåðâîì èç íèõ îòíîøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ âåëè÷èí çàìåíÿþòñÿ îòíîøåíèÿìè ñàìèõ ïåðåìåííûõ, íà âòîðîì - óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê áåçðàçìåðíîìó âèäó ïóòåì äåëåíèÿ âñåõ åãî ÷ëåíîâ íà îäèí èç íèõ, âûáðàííûé ïðîèçâîëüíî.

Ìåòîä íàèáîëåå ïðîñòî óñâîèòü, îáðàòèâøèñü ê ðàññìîòðåíèþ êîíêðåòíîãî ïðèìåðà. Èìåÿ â âèäó, ÷òî â ìåõàíèêå æèäêîñòè îñíîâíûìè ñîîòíîøåíèÿìè, îïèñûâàþùèìè äâèæåíèå âÿçêèõ ñðåä, ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ Íàâüå-Ñòîêñà, öåëåñîîáðàçíî âîñïîëüçîâàòüñÿ èìåííî èìè. Ðàññìîòðèì îäíó èç ïðîåêöèé â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.  äàííîì ñëó÷àå áåçðàçëè÷íî êàêóþ, òàê êàê ñòðóêòóðà óðàâíåíèé îäèíàêîâà, ÷òî îáåñïå÷èò è îäèíàêîâîñòü ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ.

 ïðîåêöèè íà îñü x-îâ èìååì

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èç ìàññîâûõ ñèë äåéñòâóåò òîëüêî ñèëà òÿæåñòè, ò.å. ( ó÷èòûâàåò çíàê). Ñ ó÷åòîì ýòîãî è ïîñëå óìíîæåíèÿ âñåõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèÿ íà ïëîòíîñòü ïîëó÷èì

 òàêîé ôîðìå çàïèñè êàæäûé èç ÷ëåíîâ âûðàæàåò ñèëó, îòíåñåííóþ ê åäèíèöå îáúåìà. Ïðè ýòîì

è - ñèëû èíåðöèè;

- ñèëà òÿæåñòè;

- ñèëà äàâëåíèÿ;

- ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ.

Äåéñòâóÿ ïî àëãîðèòìó, çàìåíèì äèôôåðåíöèàëüíûå ñîîòíî­øåíèÿ îòíîøåíèÿìè âåëè÷èí. Èìååì:

; ; ;

;

Ïðèâîäèì ýòè ñîîòíîøåíèÿ ê áåçðàçìåðíîìó âèäó, ïðèíÿâ â êà÷åñòâå äåëèòåëÿ îäèí èç êîìïëåêñîâ. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, îí ìîæåò áûòü âûáðàí ïðîèçâîëüíî. Ïóñòü èì áóäåò , ò.å. ñèëû èíåðöèè. Ïîëó÷àåì:

- ýòî òàê íàçûâàåìûé êðèòåðèé ãîìîõðîííîñòè ëèáî ÷èñëî ïîäîáèÿ Ñòðóõàëÿ.

, îáðàòíàÿ âåëè÷èíà - ÷èñëî Ôðóäà - îòíîøåíèå ñèë èíåðöèè ê ñèëàì òÿæåñòè.

- ÷èñëî Ýéëåðà, îòíîøåíèå ñèë äàâëåíèÿ ê ñèëàì èíåðöèè.

, îáðàòíàÿ âåëè÷èíà - óæå èçâåñòíîå íàì ÷èñëî Ðåéíîëüäñà - îòíîøåíèå ñèë èíåðöèè ê ñèëàì âÿçêîãî òðåíèÿ.

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âîïðîñ î ïðàâèëüíîñòè èíòåðïðåòàöèè ÷èñåë ïîäîáèÿ êàê îòíîøåíèÿ ñèë ñòàâèëñÿ ðÿäîì èññëåäîâàòåëåé. Ïî íåêîòîðûì ñâåäåíèÿì, åùå Ïðàíäòëü âûñêàçûâàë ìíåíèå î òîì, ÷òî ÷èñëî Ðåéíîëüäñà íå âñåãäà ðàâíî îòíîøåíèþ ñèëû èíåðöèè ê ñèëå âíóòðåííåãî òðåíèÿ. Áîëåå òî÷íûì è ïðàâèëüíûì ÿâëÿåòñÿ óòâåðæäåíèå, ÷òî åñëè äâå ñèñòåìû ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíû è òå÷åíèå â íèõ ïðîèñõîäÿò ïðè îäèíàêîâûõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà, òî îòíîøåíèå ñèë èíåðöèè ê ñèëàì òðåíèÿ äëÿ îáîèõ ïîòîêîâ îäèíàêîâî. Ïîäðîáíîñòè, ñâÿçàííûå ñ òàêèì ïîäõîäîì ìîæíî íàéòè â êíèãå Ñ. Êëàéíà «Ïîäîáèå è ïðèáëèæåííûå ìåòîäû». - Ì.: Ìèð, 1968. - 302 ñ.

Òàêèì îáðàçîì, ïðè ìîäåëèðîâàíèè ãèäðîìåõàíè÷åñêèõ ÿâëåíèé íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ÷èñëà ïîäîáèÿ Ñòðóõàëÿ, Ôðóäà, Ðåéíîëüäñà è Ýéëåðà.

Àíàëèçèðóÿ âåëè÷èíû, âõîäÿùèå â ÷èñëà ïîäîáèÿ, ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî îíè ñîñòàâëåíû èç ïàðàìåòðîâ, âõîäÿùèõ â óñëîâèÿ îäíîçíà÷íîñòè. Ýòè ÷èñëà ïîäîáèÿ íàçûâàþò îïðåäåëÿþùèìè. Ýêñïåðèìåíòàòîð, ðàçóìååòñÿ, â îïðåäåëåííûõ ïðåäåëàõ, ìîæåò èçìåíÿòü èõ âåëè÷èíó ( ìåíÿòü ñêîðîñòü, ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû, âÿçêîñòü).  ÷èñëî Ýéëåðà âõîäèò âåëè÷èíà - ïåðåïàä äàâëåíèÿ (ïîòåðÿ äàâëåíèÿ), êîòîðàÿ, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé. Äðóãèìè ñëîâàìè, âåëè÷èíà ÷èñëà Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì (ðåçóëüòàòîì) ïðîöåññà. ×èñëà ïîäîáèÿ òàêîãî ðîäà íàçûâàþòñÿ íåîïðåäåëÿþùèìè. Ñ ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîçèöèé ñêàçàííîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

(13.7)

Åñëè èçó÷àåòñÿ óñòàíîâèâøååñÿ äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì ïàðàìåòðû â òî÷êå íå èçìåíÿþòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, òî èç ðàññìîòðåíèÿ âûïàäàåò ÷èñëî Ñòðóõàëÿ è

(13.8)

Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ìîäåëèðîâàíèè ãèäðîìåõàíè÷åñêèõ ÿâëåíèé â äàííîì ñëó÷àå äîëæíû ñîáëþäàòüñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå äèíàìè÷åñêîå ïîäîáèå:

;

ëèáî

; (13.9)

Åñëè ïðè ïðîâåäåíèè îïûòîâ óäàåòñÿ ñîáëþñòè ýòè òðåáîâàíèÿ, òî ïîäîáèå íàçûâàåòñÿ ïîëíûì. Îäíàêî â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ äîáèòüñÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî òðóäíî, à èíîãäà è ïðîñòî íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó îáû÷íî îãðàíè÷èâàþòñÿ ÷àñòè÷íûì ïîäîáèåì. Àíàëèçèðóÿ ñóùíîñòü ÿâëåíèÿ ýêñïåðèìåíòàòîð óñòàíàâëèâàåò êàêèå èç ñèë (òÿæåñòè, òðåíèÿ) èãðàþò îïðåäåëÿþùóþ ðîëü â èññëåäóåìîì ïðîöåññå è ìîäåëèðóåò òîëüêî èõ.  ýòîì ñëó÷àå ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ äâèæåíèè çàâèñèìîñòü (13.9) ðàñïàäàåòñÿ íà äâå

è (13.10)

èç êîòîðûõ è âûáèðàåòñÿ îïðåäåëÿþùàÿ.

Äîïîëíèòåëüíî îòìåòèì, ÷òî äëÿ ñæèìàåìûõ ñðåä â ÷èñëî îïðåäåëÿþùèõ ÷èñåë ïîäîáèÿ ïîìèìî ïîëó÷åííûõ âûøå âõîäèò è ÷èñëî Ìàõà.

Îñòàåòñÿ îòêðûòûì ëèøü âîïðîñ î êèíåìàòè÷åñêîì ïîäîáèè. Îïûò ìíîãî÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ åãî ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ êàêèõ-ëèáî ñïåöèàëüíûõ ìåð. Åñëè ñèñòåìû äèíàìè÷åñêè ïîäîáíû è òå÷åíèå ïðîèñõîäèò â ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíûõ êàíàëàõ, òî êèíåìàòè÷åñêîå ïîäîáèå îáåñïå÷èâàåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè.

Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ åùå íà äâóõ âîïðîñàõ, íîñÿùèõ ïðèíöèïèàëüíûé õàðàêòåð. Ïåðâûé èç íèõ ñâÿçàí ñ ïîíÿòèåì ãåîìåòðè÷åñ­êîãî ïîäîáèÿ «â áîëüøîì» è «ìàëîì».  íà÷àëå ðàçäåëà áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå ïîäîáèå íàòóðû è ìîäåëè ìîæåò áûòü ëåãêî ðåàëèçîâàíî. Ïîäîáèå ãåîìåòðè÷åñêèõ ãðàíèö îáúåêòîâ îòíîñèòñÿ ê ïîäîáèþ «â áîëüøîì». Âìåñòå ñ òåì ñòåíêè êàíàëîâ êàê íàòóðû, òàê è ìîäåëè èìåþò êàêóþ-òî øåðîõîâàòîñòü. Î÷åâèäíî, ÷òî ìîäåëèðîâàíèå øåðîõîâàòîñòè ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî, è ãåîìåòðè÷åñêîå ïîäîáèå «â ìàëîì» íåäîñòèæèìî.

Âòîðîé âîïðîñ ñâÿçàí ñ òàê íàçûâàåìûì «ìàñøòàáíûì ýôôåêòîì». Ñóòü åãî â òîì, ÷òî ìîäåëèðîâàíèå, îñíîâàííîå íà êëàññè÷åñêèõ ïðèíöèïàõ òåîðèè ïîäîáèÿ, íå îáåñïå÷èâàåò ìàñøòàáíûé ïåðåõîä. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýôôåêòèâíîñòü ðàçëè÷íîãî ðîäà ïðîìûøëåííûõ òåõíîëîãè÷åñêèõ àïïàðàòîâ îêàçûâàåòñÿ íèæå òîé, êîòîðàÿ äîëæíà áûëà áû áûòü ïî ðåçóëüòàòàì, ïîëó÷åííûì ïåðåñ÷åòîì ñ ìîäåëüíûõ èñïûòàíèé. Áîëåå òîãî, îíà óõóäøàåòñÿ ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ðàçìåðîâ àïïàðàòîâ. Ýòî âûíóæäàåò èññëåäîâàòåëåé îòêàçûâàòüñÿ îò èñïûòàíèé íà ìîäåëÿõ è ïåðåõîäó ê èñïûòàíèÿì íà îáúåêòàõ, ïîñòðîåííûõ â íàòóðàëüíóþ âåëè÷èíó, ÷òî ðåçêî ïîâûøàåò ñòîèìîñòü ýêñïåðèìåíòà, à ïðè ñîçäàíèè îñîáî êðóïíûõ àïïàðàòîâ òàêîé ïîäõîä âîîáùå íåâîçìîæíî ðåàëèçîâàòü. Èññëåäîâàíèÿ, âûïîëíåííûå â ïîñëåäíèå ãîäû, ïîêàçàëè, ÷òî â îñíîâå ìàñøòàáíîãî ýôôåêòà ëåæàò ÷èñòî ãèäðîäèíàìè÷åñêèå ÿâëåíèÿ: íåðàâíîìåðíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòîêîâ ïî ñå÷åíèþ àïïàðàòà, óâåëè÷åíèå ìàñøòàáà òóðáóëåíòíîñòè è ò.ï., ÷òî ïîçâîëÿåò íàéòè ñïîñîáû óñòðàíåíèÿ ýòîãî ýôôåêòà. Äîñòàòî÷íî ïîëíîå èçëîæåíèå òåîðèè ìîæíî íàéòè â êíèãå ïîä ðåä. À.Ì.Ðîçåíà «Ìàñøòàáíûé ïåðåõîä â õèìè÷åñêîé òåõíîëîãèè: ðàçðàáîòêà ïðîìûøëåííûõ àïïàðàòîâ ìåòîäîì ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ»: Õèìèÿ, 1980. - 320 ñ.

13.2. Ïîíÿòèå îá àâòîìîäåëüíîñòè.

Àâòîìîäåëüíîñòü - êàðäèíàëüíîå ïîíÿòèå òåîðèè ïîäîáèÿ, ïðèíöèïèàëüíîå ñîäåðæàíèå êîòîðîãî ñâîäèòñÿ ê òàê íàçûâàåìîìó âûðîæäåíèþ ÷èñåë ïîäîáèÿ. Ôîðìàëüíûì ïðèçíàêîì å¸ ñëóæèò âûïàäåíèå ÷èñåë ïîäîáèÿ êàê àðãóìåíòîâ, âõîäÿùèõ â ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü.

Îáñòîÿòåëüíîå ðàññìîòðåíèå ýòîãî âîïðîñà ìîæíî íàéòè â êíèãå À.À.Ãóõìàíà «Ïðèìåíåíèå òåîðèè ïîäîáèÿ ê èññëåäîâàíèþ ïðîöåññîâ òåïëîìàññîîáìåíà. Ïðîöåññû ïåðåíîñà â äâèæóùåéñÿ ñðåäå». - Ì.: Âûñøàÿ øêàëà,1967. - 302 ñ.

Ìû æå îãðàíè÷èìñÿ ëèøü êðàòêèì ðàññìîòðåíèåì ñîäåðæàíèÿ ýòîãî ïîíÿòèÿ áåç óÿñíåíèÿ êîòîðîãî íåâîçìîæíà ãðàìîòíàÿ ïîñòàíîâêà ýêñïåðèìåíòà.