85681 (Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами), страница 8

то - группа порядка и . Из того, что факторгруппа сверхразрешима и подгруппа циклическая, следует, что - сверхразрешимая группа. Допустим, что - наибольший простой делитель порядка группы . Тогда и поэтому . Значит, и , противоречие. Если - наибольший простой делитель порядка группы , то рассуждая как выше видим, что и . Полученное противоречие показывает, что - наибольший простой делитель порядка группы . Значит, - нормальная подгруппа в группе . Если , то и , где - группа порядка , - -группа. Ясно, что - единственная -максимальная подгруппа в . Поскольку - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то - циклическая группа и поэтому - циклическая группа. Следовательно, - группа типа (2).

Пусть теперь . Поскольку в группе все максимальные подгруппы примарны и цикличны, то и поэтому .

II. Пусть . Согласно лемме Error: Reference source not found, , где - минимальная нормальная подгруппа в группе и либо , либо .

1. Пусть .

Пусть - силовская -подгруппа группы .

Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Рассуждая как выше видим, что - примарная циклическая группа. Значит, .

Предположим, что - -группа. Тогда . Пусть - максимальная подгруппа группы .

Допустим, что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что . Тогда - -максимальная подгруппа группы , и следовательно, - подгруппа группы , что влечет

Полученное противоречие показывает, что и поэтому . Значит, , где - минимальная нормальная подгруппа группы порядка и . Следовательно, .

Пусть теперь и . Пусть - силовская -подгруппа в и - максимальная подгруппа группы , которая содержит . Тогда .

Так как - циклическая силовская -подгруппа группы , то - -сверхразрешимая группа.

Предположим, что . Пусть - силовская -подгруппа группы и пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда . Допустим, что . Тогда ввиду леммы Error: Reference source not found, - сверхразрешимая группа, и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Пусть - силовская -подгруппа группы . Так как - нормальная максимальная подгруппа в группе , то . Поскольку сверхразрешима, то , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Из того, что - циклическая группа, следует, что . Значит, - нормальная подгруппа в группе . Предположим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Поскольку по условию подгруппы и перестановочны, то

противоречие. Следовательно, . Пусть теперь - произвольная максимальная подгруппа группы . Поскольку - -максимальлная подгруппа группы , то

Полученное противоречие показывает, что . Значит, и . Так как - максимальная подгруппа группы , то - минимальная нормальная подгруппа в группе . Из того, что - силовская -подгруппа группы , следует, что . Ясно, что . Следовательно, , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Допустим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Рассуждая как выше видим, что

противоречие. С другой стороны, если , то как и выше получаем, что

что невозможно. Следовательно, .

Предположим теперь, что . Допустим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Поскольку - максимальная подгруппа группы и , то - -максимальная подгруппа группы . По условию - подгруппа группы . Следовательно, , противоречие. Используя приведенные выше рассуждения можно показать, что при этот случай также невозможен.

Полученное противоречие показывает, что . Пусть . Тогда , и поэтому - нормальная силовская -подгруппа в группе . Значит, , где . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что - максимальная подгруппа в . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Поскольку , то и поэтому . Значит, - единственная максимальная подгруппа группы . Следовательно, - циклическая группа. Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Так как

,

то . С другой стороны, и поэтому - максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы , отличная от . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Поскольку подгруппы и перестановочны и , то и поэтому . Следовательно, - единственная -максимальная подгруппа группы . Значит, согласно теореме Error: Reference source not found, - либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка . Пусть имеет место первый случай. Тогда . Это означает, что - нормальная подгруппа в , и поэтому Полученное противоречие показывает, что первый случай невозможен. Следовательно, , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка .

Пусть теперь . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы , и, следовательно, - подгруппа группы . Но поскольку , то этот случай невозможен.

2. Для любой максимальной и не нормальной в подгруппы имеет место , где и - различые простые числа. Более того, мы теперь уже можем предполагать, что индекс любой максимальной в подгруппы есть простое число. Это означает, что группа сверхразрешима, что в свою очередь влечет сверхразрешимость подгруппы . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Рассуждая как выше видим, что - примарная циклическая подгруппа и поэтому для некоторых и . Следовательно, . Пусть - силовская -подгруппа группы , пусть - силовская -подгруппа группы , которая содержится в и пусть - силовская -подгруппа группы , которая содержится в . Если - нормальная подгруппа группы , то . Полученное противоречие показывает, что не является нормальной подгруппой группы .

Допустим, что . Тогда - силовская -подгруппа группы и . Из сверхразрешимости группы следует, что - нормальная подгруппа группы . Значит, , где - группа простого порядка . Ясно, что и поэтому . Поскольку все максимальные подгруппы группы , отличные от , цикличны, то - группа типа (3).

Пусть . Тогда и - нормальная подгруппа группы . Значит, . Так как - максимальная подгруппа группы , то - циклическая подгруппа и . Если , то . Если , то - группа типа (1).

Пусть теперь, - различные простые числа. Тогда и . Если - нормальная подгруппа группы , то и поэтому - группа типа (1). Пусть не является нормальной подгруппой группы . Тогда - наибольший простой делитель порядка группы и поэтому - нормальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что и . Допустим, что - нормальная подгруппа группы . Значит, в ней существует нормальная силовская подгруппа. Если , то и поэтому - нормальная подгруппа группы . Полученное противоречие показывает, что для некоторого , - нормальная подгруппа группы . Следовательно, - нормальная подгруппа группы , противоречие. Значит, не является нормальной подгруппой в группе . Рассуждая как выше видим, что у все максимальные подгруппы отличные от примарны и цикличны и . Значит, - группа типа (1).

Достаточность. Если и , то очевидно, что любая -максимальная погруппа группы перестановочна с ее максимальными подгруппами.

Пусть - группа Шмидта, где - группа кватернионов порядка и - группа порядка . Ясно, что в группе -максимальные подгруппы перестановочны со всеми максимальными подгруппами.

Предположим теперь, что - группа типа (1)-(3). Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Докажем, что подгруппы и перестановочны.

Пусть - группа типа (1). Пусть .

1. Пусть , где - простое число, отличное от . Пусть - силовская -подгруппа группы , которая содержится в . Тогда .

Допустим, что . Поскольку группа сверхразрешима, то индекс максимальной подгруппы является простым числом.

Пусть . Тогда . Значит, . Поскольку

,

то - максимальная в подгруппа. Если , то - примарная циклическая группа. Так как делит , то , и поэтому для некоторого , . Полученное противоречие показывает, что . Это означает, что - нормальная подгруппа в .

Допустим, что . Пусть . Тогда - нормальная подгруппа в . Поскольку в любая максимальная подгруппа индекса совпадает с , то - нормальная подгруппа в и поэтому перестановочна с .

Пусть теперь . Пусть - силовская -подгруппа и - силовская -подгруппа в соответственно. Пусть . Тогда и поэтому для некоторого , . Из того, что , следует, что - максимальная подгруппа группы . С другой стороны, - максимальная подгруппа циклической группы . Значит, . Отсюда следует, что и поэтому - нормальная подруппа в . Следовательно, перестановочна с . Пусть . Тогда для некоторого , . Рассуждая как выше видим, что . Значит, - нормальная подгруппа в . Поскольку

,

то . Это означает, что подгруппы и перестановочны. Пусть . Используя приведенные выше рассуждения видим, что - нормальная подгруппа в . Поскольку , то - нормальная подгруппа в . Следовательно, подгруппы и перестановочны. Пусть . Рассуждая как выше видим, что - нормальная подгруппа в и . Значит, . Следовательно, подгруппы и перестановочны. Пусть теперь . Поскольку , то - нормальная подгруппа в . Пусть . Тогда , где . Пусть - силовская -подгруппа группы . Пусть . Тогда - -группа и для некоторого , . Без ограничения общности можно предположить, что . Поскольку , то . Значит, . Следовательно, подгруппы и перестановочны. Пусть . Тогда . Следовательно, и поэтому подгруппа перестановочна с . Пусть . Тогда . Ясно, что . Следовательно, . Это означает, что подгруппы и перестановочны. Пусть . Тогда . Поскольку , то